第03讲导数与函数的极值、最值(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16155" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc16155 \h 2
\l "_Tc32756" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc32756 \h 2
\l "_Tc24459" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24459 \h 3
\l "_Tc9164" 高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 PAGEREF _Tc9164 \h 3
\l "_Tc4522" 高频考点二：求已知函数的极值（点） PAGEREF _Tc4522 \h 5
\l "_Tc11551" 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 PAGEREF _Tc11551 \h 6
\l "_Tc11461" 高频考点四：求函数的最值（不含参） PAGEREF _Tc11461 \h 7
\l "_Tc29749" 高频考点五：求函数的最值（含参） PAGEREF _Tc29749 \h 9
\l "_Tc21870" 高频考点六：已知函数的最值求含参 PAGEREF _Tc21870 \h 10
\l "_Tc11037" 高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用 PAGEREF _Tc11037 \h 12
\l "_Tc7729" 第四部分：数学文化（高观点）题 PAGEREF _Tc7729 \h 14
\l "_Tc2049" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc2049 \h 15
\l "_Tc25370" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25370 \h 15
\l "_Tc8993" ②分类与整合的思想 PAGEREF _Tc8993 \h 16
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第一部分：知识点必背
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（多选）（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
4．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上有且仅有3个零点
D．在区间上存在极大值点
例题2．（2023·高二校考课时练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
例题3．（多选）（2023·高二单元测试）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
练透核心考点
1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．为的极小值点
D．为的极大值点
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点
B．函数在上单调递减
C．为函数的极大值点
D．是函数的最小值
3．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A．0个B．1个C．2个D．3个
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则的极小值为（ ）
A．2B．C．D．
例题2．（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点B．的极大值点为
C．的极小值为D．的最大值为
例题3．（2023·高二校考课时练习）已知函数，则的极大值为________________
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则（ ）
A．1为的极大值点B．1为的极小值点
C．－1为的极大值点D．－1为的极小值点
2．（2023·高二校考课时练习）函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值D．无最大（小）值，但有极值
3．（多选）（2023·高二校考课时练习）若函数，则（ ）
A．函数只有极大值没有极小值B．函数只有最大值没有最小值
C．函数只有极小值没有极大值D．函数只有最小值没有最大值
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
例题2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．一定有两个极值点D．的单调递增区间是
例题4．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知在处取得极值，则的最小值为__________.
练透核心考点
1．（2023·高二校考课时练习）当时，函数取得极小值4，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（多选）（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．2D．
3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）若函数在处取得极大值10，则的值为___________.
4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数有小于0的极值点，则a的范围是________．
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（2023·高二校考课时练习）函数在区间上的最大值是（ ）
A．0B．C．D．
例题2．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在的最大值和最小值．
例题3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求的极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
例题4．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数在处有极值6.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
练透核心考点
1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）在上的最大值是________.
2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知的一个极值点为2.
(1)求函数的单调区间.
(2)求函数在区间上的最值.
3．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求在上的最值.
4．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最值．
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值．
例题2．（2023·高二课时练习）已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求实数的值；
(2)当时．求函数的最大值．
例题3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
练透核心考点
1．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知.
(1)若在处有极大值，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．
高频考点六：已知函数的最值求含参
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知，函数在上的最小值为2，则实数__________.
例题3．（2023·高二课时练习）设是函数的一个驻点，曲线在处的切线斜率为9．
(1)求的单调区间；
(2)若在闭区间上的最大值为20，求的值．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，试判断在定义域内的单调性；
（2）若在上的最小值为，求实数的值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（ ）
A．7B．C．3D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．
3．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设，，若时，的最小值是3，求实数的值.（是自然对数的底数）
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______.
例题3．（2023·北京丰台·统考一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为_______；的最大值为________．
例题4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数的最小值为，求的最大值．
练透核心考点
1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是________ ．
2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若且存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值.
4．（2023·高三课时练习）已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）求的值；
（2）讨论的单调性，并求的极大值．
第四部分：数学文化（高观点）题
1．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____.
2．（2023全国·高二专题练习）声音的波长变化曲线一般都可用多个形如的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如图所示）可用若干个声音函数来描述．已知某声音函数，则在区间上的最小值与最大值之积为______．
3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料：
（1）直接写出初等函数极值点
（2）求初等函数极值.
4．（2023·高二单元测试）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）若曲线与在处的曲率分别为，比较大小；
（2）求正弦曲线曲率的最大值．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·高二校考课时练习）已知函数有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（且）有唯一极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·河南·高三校联考阶段练习）若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围为_____________．
②分类与整合的思想
1．（2023·山东威海·高三校考阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）．
(1)若是的极值点，求的取值范围；
2．（2023·山东临沂·高二统考）已知实数，且函数的定义域为．
(1)求的导数；
(2)当时，求的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值．