第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第04讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高频考点一遍过 2
高频考点一：分离变量法 2
高频考点二：分类讨论法 7
高频考点三：等价转化法 11
高频考点四：双元最值法 18
高频考点五：构造法和同构法 20








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第一部分：知识点必背
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、双元最值法
形如：，不等式或者的模型
（或者）

第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数，对，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．



例题2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数对一切，恒成立，则实数的取值范围是__________.

例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．








例题4．（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.






练透核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）
A． B． C． D．-1
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝xln x，若对于所有都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围．






3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.




高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数的图像与直线相切于点．
(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
(2)求与的函数关系；
(3)当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．





练透核心考点
1．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数．
(1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；
(2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．












2．（2023·四川广安·统考一模）已知函数．
(1)若是的极小值点，求a的取值范围；
(2)若，，求a的取值范围．










高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求的极值；
(2)证明：当时，.








例题2．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知函数在处取极大值，．
(1)求的值；
(2)求证：．




例题3．（2023秋·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末）已知函数，
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.






练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．
(1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．









2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数，.
(1)求的极值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.





3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设，，已知和在处有相同的切线.
（1）求，的解析式；
（2）求在上的最小值；
（3）若对，恒成立，求实数的取值范围.




高频考点四：双元最值法
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）已知函数对区间上任意的都有，则实数的最小值是________.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对、，使恒成立，求的取值范围.



练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极大值为2．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．




高频考点五：构造法和同构法
典型例题
例题1．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ）
A． B．1 C．e D．
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________．
例题4．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为________.
例题5．（2023·甘肃·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若时，恒有，求的取值范围.




练透核心考点
1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则k的取值范围是______________．
3．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）已知函数，若任意，使得，则的取值范围是__________.