第05讲利用导数研究不等式能成立（有解）问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背 1
第二部分：高频考点一遍过 2
高频考点一：分离变量法 2
高频考点二：分类讨论法 4
高频考点三：等价转化法 6
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题 7
高频考点五：值域法解决双参等式问题 9



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第一部分：知识点必背
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行，若存在，使得不等式成立，则实数的最小值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.




例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在时有解，求实数的取值范围．








例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若存在，使成立，求整数的最小值．






练透核心考点
1．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．



3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．





高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．




例题2．（2023春·四川遂宁·高三四川省大英中学校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．






例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，
（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；
（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.







练透核心考点
1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数．
（1）讨论的单调性﹔
（2）若存在，求的取值范围．





2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.







高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若存在，使得，求的取值范围．










例题2．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数，
(1)若，试确定函数的单调区间；
(2)若，且对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)令，若至少存在一个实数，使成立，求实数的取值范围.








练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知函数在处有极值．
（1）求的解析式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．





高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（　　）
A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，）
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.



练透核心考点
1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）






3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，使得，求实数a的取值范围.









高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（   ）
A．[﹣，1] B．[，] C．[，] D．[，2]
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________.



练透核心考点
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．[，4]
C． D．