第10讲拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21399" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc21399 \h 2
\l "_Tc25777" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25777 \h 2
\l "_Tc32208" 高频考点一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc32208 \h 2
\l "_Tc2651" 高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc2651 \h 9
\l "_Tc25972" 高频考点三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc25972 \h 16
\l "_Tc30893" 高频考点四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc30893 \h 24
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第一部分：知识点必背
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求的取值范围．
例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围.
例题3．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若，求的最小值．
练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
2．（2023·高二课时练习）已知
(1)求的极值点；
(2)求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2023·山西太原·统考一模）已知函数.
(1)若恰有三个不同的极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明：
①；
②.
例题2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
例题3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知函数，为正实数．
(1)若在上为单调函数，求的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求的取值范围．
例题2．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，
(1)证明：当时，；
(2)时，设，讨论零点的个数
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若曲线不存在斜率为－2的切线，求a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围.（只需直接写出结论）
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若在单调，求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知．
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对任意的，恒成立.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)证明：当时，．
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在使，证明：．
练透核心考点
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
3．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值;
(2)设的一个正根为m，当，且时，证明:.