第12讲拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10143" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc10143 \h 1
\l "_Tc2558" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2558 \h 3
\l "_Tc29475" 高频考点一：洛必达法则的简单计算 PAGEREF _Tc29475 \h 3
\l "_Tc7836" 高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 PAGEREF _Tc7836 \h 5
第一部分：知识点必背
一、型及型未定式
1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、型、、、型
1、型的转化：
或；
2、型的转化：
3、、型的转化：幂指函数类
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：洛必达法则的简单计算
典型例题
例题1、求
例题2、求
例题3．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
例题4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
练透核心考点
1．求
2．求
3．（2023·广东韶关·校考模拟预测）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再
4．（2023·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
例题2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数.
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.
例题3．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.