第05讲 三角函数的图象与性质（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第05讲 三角函数的图象与性质(精讲）
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 4
第三部分：高频考点一遍过 8
高频考点一：三角函数的定义域 8
高频考点二：三角函数的值域 11
高频考点三：三角函数的周期性 17
高频考点四：三角函数的奇偶性 22
高频考点五：三角函数的对称性 25
高频考点六：三角函数的单调性 30
角度1：求三角函数的单调区间 30
角度2：根据三角函数的单调性比较大小 36
角度3：根据三角函数的单调性求参数 40
高频考点七：三角函数中的求解 45
角度1：的取值范围与单调性相结合 45
角度2：的取值范围与对称性相结合 48
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合 51
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合 54
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合 57
第四部分：数学文化题 59
第五部分：高考新题型 61
①开放性试题 61
②探究性试题 64
③劣够性试题 65
第六部分：数学思想方法 68
①函数与方程的思想 68
②数形结合思想 69


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第一部分：知识点必背
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数



图象



定义域



值域



周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心



对称轴方程


无
递增区间



递减区间


无
2、三角函数的周期性
函数



周期







函数



周期







函数
()
()
()
周期



其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
三角函数
取何值为奇函数
取何值为偶函数

()
()

()
()

()

(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；
(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；
(3)函数是奇函数⇔()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
3．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
4．（2022·全国（甲乙卷文）·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
5．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
6．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
7．（多选）（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数的定义域
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，得，则，即，
∴.
故选：A.
例题2．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）函数的定义域为（    ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】由题意可得：，且，
即，
∴，．
故选：C．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数式知：，
∴，即.
故选：B.
例题4．（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）函数的定义域为______．
【答案】
【详解】函数
要使函数有意义，则，
即，
，，
即原函数的定义域为：.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）函数的定义域为________．
【答案】且
【详解】由题意得，，
即
解得且，，
故定义域为：且，
故答案为：且．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数定义域为____.
【答案】∪
【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.
故答案为：∪.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】由已知可得，解得，即或.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
4．（2023·上海静安·统考一模）函数的定义域是____________．
【答案】
【详解】，则，.
故答案为：
高频考点二：三角函数的值域
典型例题
例题1．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）函数的值域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解法一：
因为，所以
∴或，∴或
故的值域为
解法二：由，得，易知，
所以，则，解得或
故的值域为．
故选：B．
例题2．（2023春·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）函数的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
故当时，函数取最大值，且.
故选：A.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【详解】设，因为，可得，
因为正切函数在上的值域为，
即函数在的值域为.
故答案为：.
例题4．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为，则，且，
则，解得.
故答案为：.
例题5．（2023·高一课时练习）函数的值域为___________．
【答案】
【详解】∵，∴，
，
∴时，，时，，∴所求值域为．
故答案为：．
例题6．（2023春·广东佛山·高一佛山市第三中学校考阶段练习）函数的在上的值域是，则 =___________.
【答案】##
【详解】画出函数的大致图象，

，
函数的在上的值域是，
当时，，
所以必有，即，
结合图像，，.
故答案为：.
例题7．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知
(1)将表示成的形式．
(2)求在上的最大值．
(3)求对称中心．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）
；
（2）因为，所以，
所以当时，有最大值为 ；
（3）由，得
所以的对称中心为，．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）函数，的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
2．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）函数的最小值是___________
【答案】
【详解】令，当时，，
则，，
由二次函数知识，，
∴当时，单调递减，
∴当时，取最小值，最小值为，
∴当，即，时，函数的最小值是.
故答案为：.
3．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）函数的最小值是_________．
【答案】##
【详解】，
所以当时，.
故答案为：.
4．（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）设m为实数，已知，则m的取值范围为_____________
【答案】
【详解】，
因为，所以，
所以，则的取值范围.
故答案为：.
5．（2023春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设，若对任意实数x都有成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】若对任意实数x都有成立，则，
又，
令，
，，
其对称轴为，
故函数在上单调递增，
，
.
故答案为：.
6．（2023·全国·高一专题练习）函数的最大值为__．
【答案】9
【详解】，
因为，所以当时，取到最大值为9．
故答案为：9
7．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的最值及对应的取值；
(2)若，求函数的最大值.
【答案】(1)有，有；
(2)答案见解析
【详解】（1）由题设，
所以，当，即时，；
当，即时，；
（2）由，
当，即时，
当，即，；
当，即时，
当时，；
当，即时，
当，即时，；
综上，时；时；时.
高频考点三：三角函数的周期性
典型例题
例题1．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
又由函数的周期，得到函数的最小正周期为.
故选：B
例题2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：，
所以AC选项不符合题意；
对于B：周期为：，且在上单调递增，
所以B选项符合题意；
对于D：周期为：，且在上单调递减，
所以D选项不符合题意；
故选：B.
例题3．（多选）（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）以下函数中，最小正周期不是的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】A. 的最小正周期为；
B. 的最小正周期为；
C. 的最小正周期为；

D. 的最小正周期为.
故选：AB
例题4．（多选）（2023秋·山东·高一山东省实验中学校考期末）已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是（    ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AC
【详解】函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；
函数不是周期函数，故②不正确；

函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；

函数的周期为，故④不正确.

故选：AC.
例题5．（2023·高一课时练习）下列函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数序号为______．
【答案】③④
【详解】由题知，的大致图象为

由图知，并不是周期函数，故①错误；
的大致图象为

由图知的最小正周期为，故②错误；
最小正周期为，故③正确；
最小正周期为，故④正确.
故答案为：③④
练透核心考点
1．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（    ）
A．②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【详解】解：①函数不是周期函数；
②的最小正周期为，
③的最小正周期为，
④的最小正周期为，
故选：A．
2．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）下列函数：，，，，中，最小正周期是π有（    ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】对于，令，，令，，
所以的最小正周期不是；
，其最小正周期为；
的最小正周期为，所以的最小正周期为；
的最小正周期为，所以的最小正周期为；
的最小正周期为；
综上所述，共1个，
故选：A
3．（多选）（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）下列函数中以为周期的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，，则，故A正确；
对于B，，则，
所以不以为周期，故B错误；
对于C，因为，
所以，，
所以至少存在，使得，
所以不是以为周期的周期函数，故C错误；
对于D，，则，故D正确.
故选：AD.
4．（多选）（2023春·江西抚州·高一金溪一中校考阶段练习）下列函数，最小正周期为的有（     ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为令，，令，，
所以的最小正周期不是；
对于B，的最小正周期为，所以的最小正周期为；
对于C，，则最小正周期为；
对于D，的最小正周期为，则小正周期为.
故选：BCD.
5．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数，则的最小正周期为____．
【答案】π
【详解】
，
所以的最小正周期为,
故答案为: .
高频考点四：三角函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为，
若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，
若，则为偶函数，
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B.
例题2．（2023春·广东佛山·高一佛山市顺德区郑裕彤中学校考阶段练习）把函数的图像向右平移个单位，所得的图像正好关于轴对称，则的最小正值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得平移后所得图像对应的函数为偶函数，
∴
∴.
∵，∴.
故选:.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】的最小正周期为,故A错误；
为非奇非偶函数，故B错误；
，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
为偶函数，故D错误.
故选:C.
例题4．（2023春·天津东丽·高一天津市第一百中学校考阶段练习）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则的可能取值是______（只需填一个值）
【答案】(答案不唯一)
【详解】将函数的图像向右平移个单位长度得
，
是奇函数，

，
，
则的可能取值是.
故答案为：.
例题5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，则______．
【答案】
【详解】由于是奇函数，
所以，
所以，
此时，经验证可知是奇函数，符合题意，
所以的值为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A：由函数定义域为，不关于原点对称，不可能为偶函数；
B：由，故不为偶函数；
C：且定义域为R，故为偶函数；
D：且定义域为R，故为奇函数.
故选：C
2．（2023秋·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数为奇函数，
则，取，则．
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件
故选：B
4．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）函数，是偶函数，则实数________．
【答案】
【详解】解：因为是偶函数，
令，由于
根据诱导公式可得，
故答案为：.
5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）写出使“函数为奇函数”的的一个取值______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为函数为奇函数，所以.
即的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）
高频考点五：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）函数 的图象（    ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
【详解】的对称轴满足，即，
当时，A满足，其他选项不满足.
故选：A
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值在处取到，则是（    ）．
A．奇函数，且关于点成中心对称
B．偶函数，且关于点成中心对称
C．奇函数，且关于点成中心对称
D．偶函数，且关于点成中心对称
【答案】D
【详解】由最大值在处取到可得，
所以，故为偶函数，且关于对称，
故选:D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（    ）
A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称
【答案】A
【详解】解：依题意，解得，所以，将函数向左平移个单位长度得到，
因为关于坐标原点对称，所以，解得，因为，所以，所以，
因为，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，，所以函数关于对称；
故选：A
例题4．（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）函数图象的对称中心可能是(    )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，
当时，．
故选：C．
例题5．（2023·全国·高一专题练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知，令
当时，，ABD均符合题意，
故选：C
例题6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则___．
【答案】##
【详解】∵函数，
，
（），
则由正弦函数的对称性可得：，
所以，
故答案为：.
例题7．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数.
(1)求函数的对称轴与对称轴中心;
(2)讨论函数的单调区间.
【答案】(1)对称轴为,,对称中心为,
(2)单调递增区间是,;单调递减区间是,
【详解】（1）令,,
解得,
所以函数的对称轴为,.
令,,解得,.
所以函数的对称中心为,
（2）当,时,
解得,,故函数的单调递增区间是,;
令,,解得,,
故函数的单调递減区间是,
练透核心考点
1．（2023·高一单元测试）下列是函数图像的对称轴的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
显然，，，，
所以函数图像的对称轴的是，ABC错误，D正确.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）下列可能是函数对称中心的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
令，，则，对称中心为，，
当时，对称中心为.
故选：B．
3．（2023·高一课时练习）函数图象的一个对称中心为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
所以的对称中心为，取时，得.
故选：A
4．（2023春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）函数的图象的对称中心为___________.
【答案】
【详解】∵的对称中心为，
∴令，则，
即的对称中心为.
故答案为：.
5．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考阶段练习）已知函数满足条件：的最小正周期为，且，则函数的解析式是___________
【答案】
【详解】由的最小正周期为，即 ，得，
由，得函数关于对称，
则，得，
因为，故取时，，
即，
故答案为：
6．（2023春·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）函数的图象的对称轴方程是______（）．
【答案】
【详解】令,
解得，
即函数的图象的对称轴方程是，
故答案为：
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
典型例题
例题1．（2023春·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）下列函数中，在上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，
所以该函数单调递减，不符合题意；
，，
显然此时函数不是单调递增函数，不符合题意；
，，此时该函数单调递减，不符合题意；
，，
所以该函数单调递增，符合题意，
故选：D
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】

对于A，当时，，单调递增，A错误；
对于B，当时，，没有单调性，B错误；
对于C，当时，，单调递减，C正确；
对于D，当时，，没有单调性，D错误.
故选：C
例题3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列选项中，是函数的单调递增区间的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】令
可得
函数的单调递增区间为
令，函数的单调递增区间为，B正确；
令，函数的单调递增区间为，C正确，
故选：BC.
例题4．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】(1)
(2)最小正周期是，单调递增区间是
【详解】（1），
故．
（2）由（1）知，则的最小正周期是．
由正弦函数的性质易知，函数在，上单调递增，
令，解得，
∴的单调递增区间是．
例题5．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期及值域；
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)最小正周期的值域为
(2)
【详解】（1），
故的最小正周期
由于，所以的值域为
（2），
令，解得
故的单调增区间为：
练透核心考点
1．（多选）（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，∵，且函数的定义域为，
∴函数为偶函数，又时，，且函数在
上单调递增，∴函数在上单调递减，故A符合题意；
对于B，∵，且函数定义域为，
∴函数为偶函数，当时，，
且函数在上单调递减，
∴函数在上单调递减，故B符合题意；
对于C，∵，
∴函数在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，记，
则，∴，
∴函数不是偶函数，故D不符合题意.
故选：AB.
2．（多选）（2023秋·广东深圳·高一统考期末）下列函数中，最小正周期是，且在区间上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】A，，最小正周期为，在区间上单调递增，故A正确；
B，，最小正周期为，且在上单调递增，故B正确；
C，，最小正周期为，且在上不具有单调性，故C错误；
D，，最小正周期为，且在上单调递减，故D错误.

故选：AB.
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）函数在上的单调递增区间为______.
【答案】.
【详解】由题意知，，，解得：，，
又因为，所以.
所以在上的单调递增区间为.
故答案为：.
4．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的单调递增区间；
(3)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)；．
【详解】（1）的最小正周期．
（2）
由，，得，．
又
所以函数的单调递增区间为．
（3）∵，∴
当，即时，；
当，即时，．
5．（2023春·四川成都·高一成都市第二十中学校校考阶段练习）求函数的单调增区间.
【答案】.
解得，
所以函数的单调增区间是.
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2023·贵州·统考模拟预测）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，
因为，且在上是增函数
所以，即.
故选：D.
例题2．（2023春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由诱导公式可得，
，
由在上单调递增，得，即，
，
所以.
故选：C.
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）下列各组中两个值大小关系正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于选项A、B：由正切函数的单调性可得，，则A正确，B错误；
对于选项C：，则根据正弦函数的单调性可得，则C错误；
对于选项D：根据余弦函数的单调性可得，则D错误；
故选：A.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式中不成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为余弦函数是偶函数，比较与即可，
因为，所以，即，A正确；
，正弦函数，在（，）上单调递减，且，
所以，即，B正确；
因为，且在内单调递增，所以，C错误；
因为，则，D正确.
故选：C
例题5．（多选）（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）下列各式中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，，A错误;
对于B，，由于函数在上单调递增，
故，B正确；
对于C，，
，故，C正确；
对于D,函数在上是增函数，而，
所以，D不正确；
故选：BC
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由于在上递增，
所以，A选项错误.
由于在上递减，
所以，B选项错误.
，
，
所以，C选项正确.
在上递增，
所以，D选项错误.
故选：C
2．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知，则有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
，
因为在为增函数，所以，
又，
所以，
故选：C
3．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）下列选项中大小关系正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，且在内单调递减，在内单调递减，在内单调递增，
所以，，，
所以
故选：B
4．（多选）（2023春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）下列不等式中成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对A，因为，在单调递增，所以，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对C，因为，在单调递减，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
5．（多选）（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）下列大小关系中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】，
又，；
且.
故选：BC.
角度3：根据三角函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2023春·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时，由，可得，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，
当时，由，可得，
又单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，由正弦函数单调性知不存在，
即时无解，
综上的取值范围为，
故选：B
例题2．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）设函数（，，是常数，，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期是______．
【答案】##
【详解】由于在区间上具有单调性，
则，所以，
由可知函数的一条对称轴为，
又，则有对称中心，
从而．
故答案为：．
例题3．（2023春·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.
【答案】
【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，
所以，，即，，
又，所以，从而.
因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故的最大值为.
故答案为：
例题4．（2023·高一课时练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：因为，所以，
所以，解得，即．
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，且当时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
故，所以，解得：，
因为，所以只有当时，满足要求，
故，因为，所以，
故，解得：，
故a的最小值为.
故选：A
2．（多选）（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为，所以，所以根据余弦函数的性质可得函数在上的单调递减，
由于函数与函数在上的单调性相同，
所以函数在上单调递减，
所以解得，
当时，，B满足，
当时，，C满足，
故选:BC.
3．（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）已知函数，，若当时，总有，则正实数的最大值为______.
【答案】
【详解】∵
∴令，由题意，在区间上单调递增，






由，，得，，
∴的单调递增区间为，，
当时，在单调递增，（在区间上单调递减）
∴若在区间上单调递增，的最大值为，
∴若当时，总有，则正实数的最大值为.
故答案为：.
4．（2023·高一课时练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为函数在上是严格减函数，
所以，，，
.
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小正周期为__________；若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________.
【答案】     2     ##0.25
【详解】，故，当时，，故，解得,故的最大值为.
故答案为：2，
高频考点七：三角函数中的求解
角度1：的取值范围与单调性相结合
典型例题
例题1．（2023·河南新乡·统考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
因为在上存在零点，所以，解得．
又在上单调，所以，即，
解得，则，
则则解得．
故选：C.
例题2．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数为奇函数，
所以，
故，
要使得在上单调递减，只需在上单调递增，
因为，所以，其中，
结合正弦函数图象可知：，
解得：，
综上：.
故选：C
例题3．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）已知函数，若在区间上为单调函数，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为，所以，
在区间上为单调函数，又由余弦函数的单调性可得
，所以．
故答案为：
例题4．（2023·高一课时练习）已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】解：∵函数在内是单调增函数，
∴，解得，经检验，满足题意.
∴的取值范围是．
故答案：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()在上是单调函数，则的最大值是（    ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【详解】解：，
由()，
得()，令，得，
故在上单调，于是，得，所以的最大值是4.
故选：B．
2．（2023·高一课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数在内是减函数，可得，
由，可得，
则，所以.
故选：B.
3．（多选）（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为，则，由函数在区间上单调递增得，，，解得：，
由可得，
因为，，
所以令，因为，所以，故选项正确；
令，则，故选项正确；
故选：.
角度2：的取值范围与对称性相结合
典型例题
例题1．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）已知曲线C：，，若关于轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】关于轴对称，则，
即，且，
则时， 为最小值；
故选：C.
例题2．（2023·北京·校考模拟预测）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
例题3．（2023·云南红河·统考二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【详解】解：设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两
个对称中心之间的距离为，知，，
又因为，所以，即，则．
故选：B．
例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
【答案】或1
【详解】∵函数的图象关于点对称，且，
∴，，或，
则令，可得实数或，
故答案为：或1.
练透核心考点
1．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）若函数在区间内单调递增，且是的图象的一个对称中心，则（    ）．
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【详解】因为是的图象的一个对称中心，所以，则，,
故可取
又在区间内单调递增，故,解得，则当，满足，其他均不满足，此时函数，
故选：A．
2．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考期末）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（    ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：A.
3．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________．
【答案】
【详解】由题意，函数，
因为，可得，
要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足，解得，所以的取值范围为．
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）若函数y＝cos（ωx）（ω＞0）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为_____.
【答案】2
【详解】令ω（k∈Z），整理得ω＝6k+2（k∈Z），
当k＝0时，ω的最小值为2．
故答案为: 2
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
典型例题
例题1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以 ，
因为函数在上有3个极值点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：C.
例题2．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）设函数，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，是的最小值点，
，解得：，
又，当时，.
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
【答案】##-0.25
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】由题意，函数在上为减函数，
可得且，解得，
当时，解得，故选A．
2．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由，可得，
又函数在上单调递增，
所以，
所以，又函数在上有最大值，
所以，即，
综上，.
故答案为：.
3．（2023·高一课时练习）设函数，其中（），若对任意实数都成立，则的最小值为______．
【答案】##
【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，所以，
因为，所以当时，取最小值为.
故答案为：
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，且在上有5个零点，则（    ）
A．1 B．5 C．9 D．13
【答案】B
【详解】解：因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为是的一个单调递增区间，
所以，，即，解得，
因为在上有5个零点，作出其草图如图，

所以，由上图可知，，解得  ，
所以，当时，
故选：B
例题2．（2023·河南新乡·统考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
因为在上存在零点，所以，解得．
又在上单调，所以，即，
解得，则，
则则解得．
故选：C.
练透核心考点
1．（2022·浙江·高一期中）已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，
所以，
所以，
又，且，解得，
又因，
所以，解得，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
所以.
故选：B.
2．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调，且满足.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在区间上单调，，
的对称中心为，且，
，即，即，.
又的对称中心为，，
在区间上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，只需即可，即，
又，.
故选：B.
3．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则ω的最小值为______________．
【答案】
【详解】函数， 由，则，
时，，
依题意有，解得，
所以ω的最小值为.
故答案为：
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
典型例题
例题1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）函数在上恰有两个极大值点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：令，，则，，又，
解得，，
所以函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，第三个极大值点为，
因为在上恰有两个极大值点，
于是，解得，即.
故选：C
例题2．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数（其中，）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意可得：的最小正周期，
∵，且，则为的一条对称轴，
∴，解得，
又∵，则，
故，
∵，则，
若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以 ，
因为函数在上有3个极值点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：C.
2．（2023·四川成都·统考模拟预测）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】设函数的最小正周期为，
由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，
则，则，
注意到，解得，
∵，则，
由题意可得：，解得，
故的取值范围为.
故答案为：.
第四部分：数学文化题
1．（2023·吉林·统考模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中），则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，，
即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，
即，
因为，所以令，即，
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（    ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】由题意，函数，
所以，
所以，
所以由拉格朗日中值定理得：，即，
所以，
由于时，
所以在无解，在上有2解.
所以函数在区间上的中值点的个数为2个.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式(其中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”．根据上述材料可知的最大值为（    ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】根据和得，
所以，
由于，所以，
所以
所以的最大值为.
故选：B
4．（多选）（2023春·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期不可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由，
对A：，故A不可能.
对B：，故B可能；
对C：，故C不可能；
对D：，故D不可能；
故选：ACD.
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：___________.
①为偶函数；  ②为奇函数；  ③在上的最大值为2.
【答案】（答案不唯一）
【详解】从三角函数入手，由于为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设，
由为奇函数，且是向左平移个单位长度得到，所以是的对称中心，
则，即，不妨令，则，
由在上的最大值为2，可得，所以.
故答案为：（答案不唯一）.
2．（2023·全国·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： _________．
①的周期为2；②在上为减函数；③的值域为．
【答案】（答案不唯一）
【详解】不妨设，
由的周期为2可得，当时，，
不妨令，则，
要使在上为减函数，且的值域为，
则有，解得，
所以，
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2023·江苏常州·高三校考）已知函数的最小值为0，且，则图象的一个对称中心的坐标为________．
【答案】(答案不唯一)
【详解】由题意得，
所以最小值为，则，
故，
而，
即，，
所以，又，，
故，，
由，得，，
故图象的对称中心为.
故答案为：（答案不唯一）
4．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数，则使在上为增函数的的值可以为__________.（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【详解】，
令，，
解得，
即函数在，上单调递增，
而函数在上为增函数，
令，，解得，
，则取0，
此时函数的单调递增为，
则，
则，解得，
则使在上为增函数的的值的范围为，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
5．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________．
①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3．
【答案】（答案不唯一）
【详解】由题意：函数为偶函数，所以关于y轴对称，又关于中心对称，且在上的最大值为3，
所以可以取三角函数（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
②探究性试题
1．（2023·贵州毕节·高一统考）已知函数的图象关于直线对称．
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）∵最小正周期为，则，且，
∴，
又∵函数的图象关于直线对称，
则，，可得，，
且，可得，
故函数．
（2）①若是的零点，由于的图象关于直线对称，
则，，整理得，
②根据在上单调，，整理得，
③由题意可得：的单调区间为，即，
故，整理得，
由①②③可得：，解得，
故的取值集合为．
③劣够性试题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若__________．
条件①：，且在时的最大值为；
条件②：．
请写出你选择的条件，并求函数在区间上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为．
【详解】


，其中，
若选①，，解得，得，
所以，
由，得，
当时，，
当时，；
若选②，，得，
所以，
由，得，
当时，，
当时，.
2．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点.请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)若，且，求的值；
(2)求函数在上的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）选条件
因为
，
又，所以，所以.
选条件
因为，，
所以，
又，所以，所以．
选条件③
由题意可知，，所以，所以．
又因为函数图象经过点，所以，即，
因为，所以 ，所以．
因为，，所以 ，
所以．
（2）由，
得，
令，得，令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，．
第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）函数在的极值点个数为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】令，解得，
由于，
当时，；
当时，；
当时，.
故选：B.
2．（2023·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以，
又因为当 时，，
因为函数在区间上有且只有两个零点，
当时，的零点只能是，
所以，
解得，
所以的取值范围为是.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的最大值为2 B．函数的最小值为
C．函数在上单调递减 D．函数在内有且只有一个零点
【答案】BCD
【详解】，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，为，当时，函数取得最小值，为，所以的最大值为，最小值为，故A错误，B正确；
当时，单调递减，且，此时单调递增，所以函数在上单调递减，C正确；
当时，先增后减且，易知在内有且仅有一个零点，且，数形结合可知在内有唯一根，即函数在内有且只有一个零点，D正确.
故选：BCD.
②数形结合思想
1．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）不等式在上的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，则，
注意到，结合余弦函数图象解得.
故选：D.

2．（多选）（2023秋·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．是偶函数 B．的定义域是
C．在上单调递增 D．的最小正周期是
【答案】AD
【详解】因为函数，作出函数的大致图象，

对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误；
对于A，定义域关于原点对称，且，故是偶函数，故A正确；
对于C，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，由的图象的可知函数最小正周期是，故D正确；
故选：AD.
3．（2023·新疆·统考一模）以函数的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则__________.
【答案】##
【详解】作出函数的大致图像，不妨取如图的相邻三个最值点，设其中两个最大值点为，最小值点为，过作交于，如图，

根据正弦函数的性质可知，，
因为是正三角形，所以，
故，则，
又，则，故，所以.
故答案为：.
4．（2023·高三课时练习）函数：的最小正周期是______.
【答案】
【详解】，
函数的图象如图：

由图可知，函数的最小正周期是.
故答案为：.