第06讲 函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象及其应用（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13976" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc13976 \h 2
\l "_Tc24222" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc24222 \h 2
\l "_Tc17724" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17724 \h 3
\l "_Tc14980" 高频考点一：函数的图象变换 PAGEREF _Tc14980 \h 3
\l "_Tc20407" 高频考点二：根据图象确定函数的解析式 PAGEREF _Tc20407 \h 5
\l "_Tc8105" 高频考点三：五点法作图 PAGEREF _Tc8105 \h 9
\l "_Tc29984" 高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用 PAGEREF _Tc29984 \h 15
\l "_Tc2313" 角度1：图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc2313 \h 15
\l "_Tc9172" 角度2：函数的零点（方程的根）的问题 PAGEREF _Tc9172 \h 17
\l "_Tc21904" 角度3：三角函数模型 PAGEREF _Tc21904 \h 21
\l "_Tc26863" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc26863 \h 24
\l "_Tc26697" ①开放性试题 PAGEREF _Tc26697 \h 24
\l "_Tc25670" ②探究性试题 PAGEREF _Tc25670 \h 25
\l "_Tc20190" ③劣够性试题 PAGEREF _Tc20190 \h 26
\l "_Tc19804" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc19804 \h 28
\l "_Tc18751" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc18751 \h 28
\l "_Tc6387" ②数学结合的思想 PAGEREF _Tc6387 \h 29
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第一部分：知识点必背
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
例题2．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
例题3．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
例题4．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
例题5．（2023·全国·高三专题练习）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
2．（2023·河南·统考模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
例题2．（多选）（2023秋·广东汕头·高二统考期末）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
例题3．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）已知函数部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求曲线的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围.
例题4．（2023春·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（多选）（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．周期为
B．直线是图像的一条对称轴
C．点是图像的一个对称中心
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
2．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）如图，是函数的一段图象．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过的图象变换得来的？
3．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标；
(2)先将的图象的向上平移1个单位，再保持横标不变、纵标缩短到原来的倍，最后向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调增区间.
4．（2023春·广东江门·高一江门市棠下中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．，，．
(1)求的解析式；
(2)将的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为，求在上的最大值与最小值．
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象；
(2)解不等式.
例题2．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)用“五点法”画出在一个周期内的图象，并直接写出函数在区间上的取值范围.
例题3．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数在一个周期内的图像；
(2)将的图形向右平移个单位长度，得到的图像，若的图像关于轴对称，求的最小值.
例题4．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离为.
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)若时，方程有解，求实数的取值范围.
(3)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数的图象.填写下表，并用“五点法”画出在上的图象.
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域.
2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．
3．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知函数.
(1)化简函数解析式，并填写下表，用“五点法”画出在上的图象；
(2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位长度后，得到的图象，求的对称中心.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；
(2)解不等式.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．函数在上单调递增
C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
例题2．（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则（ ）
A．的图像关于直线对称B．
C．的一个周期为4D．的图像关于点对称
例题3．（多选）（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，然后向左平移个单位长度得到函数图象，则（ ）
A．是函数的一个解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数是周期为π的奇函数
D．函数的递减区间为
例题4．（多选）（2023春·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知函数，则下列叙述中，正确的是（ ）．
A．函数的图象关于点对称B．函数在上单调递增
C．函数的最小正周期为D．函数是偶函数
练透核心考点
1（多选）（2023春·福建南平·高一校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的一个对称中心为
C．函数在区间上单调递减D．将函数的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称
2．（多选）（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．最小值是
C．直线是图像的一条对称轴D．在处取得最大值
3．（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列选项中结论正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．函数为偶函数
C．函数在为增函数
D．函数在区间上有20个零点
4．（多选）（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是奇函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图像关于点（，0）对称
C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图像关于直线对称
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知函数，若存在实数满足互不相等，则的取值范围是__________.
例题2．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）已知函数 （）的相邻两对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象，记方程在 上的根从小到大依次为 ，求的值域.
例题3．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
例题4．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，有
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，且对，都有恒成立.求的取值范围：
(3)若，函数在有五个不同的零点，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且.若恒成立，则实数k的取值范围是__________.
2．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知函数的最小值为，其图像经过点，且图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，，求实数的取值范围，并求出的值．
3．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将得到的图象向下平移个单位长度得到函数的图象．若函数在上的零点个数为，求的取值范围．
4．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)将函数的解析式写成分段函数;
(2)函数与直线有2个交点，求实数的范围.
角度3：三角函数模型
典型例题
例题1．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，若点的纵坐标为，，则时的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为，其中心O到水面的距离为，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为，当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时，经过后水筒A距离水面的高度为（单位：，在水面下时，高度为负数），则当时，_______．
例题3．（2023春·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻（单位：min）时点距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点距离地面的高度；
(2)当点距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
例题3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．
(1)根据图象，求，，，的值；
(2)由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．
练透核心考点
1．（2023秋·浙江·高一校联考期末）如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m．
2．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米．
3．（2023春·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）某港口的水深y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：
经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间）
4．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： _________．
①的周期为2；②在上为减函数；③的值域为．
2．（2021春·陕西汉中·高一统考阶段练习）函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的一个值为__________．
3．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）将函数的图象先向右平移个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则的一个可能取值为_________.
②探究性试题
1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
2．（2022·上海·高一专题练习）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
③劣够性试题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点.请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)若，且，求的值；
(2)求函数在上的单调递减区间．
(3)请用五点作图法作出函数的图象.
2．（2023春·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）在①是函数图象的一条对称轴，②函数的最大值为2，③函数图象与y轴交点的纵坐标是1，这三个条件中选取两个补充在下面题目中，并解答．
已知函数，___________．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
3．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知函数，且满足________．从①函数的图象关于点对称；②函数的最大值为2；③函数的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
(1)求实数a的值并求函数的单调递增区间；
(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
4．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）已知函数（，），记其最小正周期为T，若．
(1)求φ；
(2)从①；②两个条件中任选一个，补充在下面的横线处，并解答，若在上单调，且______，求方程在上的解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·河北衡水·高三校联考阶段练习）如图所示，某摩天轮上一点从摩天轮的最低点处顺时针匀速转动，经过秒后，点第一次位于摩天轮的最高点，且距离地面米，当点距离地面最低点时开始计时，若点在时刻距离地面高度（米）关于（分钟）的解析式为，则以下说法正确的是（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为米
B．摩天轮的转盘直径为米
C．若在时刻，点距离地面的高度相等，则的最小值为
D．，使得点在时刻距离地面的高度均为米
3．（2023·全国·高一专题练习）某港口其水深度y（单位：m）与时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是水深与时间的数据：
经长期观察，的曲线可近似地看作函数的图象，其中A＞0，，．
(1)试根据以上数据，求出函数的近似表达式；
(2)一般情况下，该港口船底离海底的距离为3m或3m以上时认为是安全的（船停靠时，近似认为海底是平面）．某船计划靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12m．如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
②数学结合的思想
1．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）水车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图是水车示意图，其半径为，中心O距水面，一盛水斗从点处出发，逆时针匀速旋转，转动一周．假设经t秒后，该盛水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h，则下列说法正确的是（ ）．
A．高度h表示为时间t的函数为：
B．高度h表示为时间t的函数为：
C．当时，该盛水斗在水面下处
D．该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）在区间内恰有4个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在内有且仅有1个极大值点
B．在内有且仅有2个极小值点
C．的取值范围是
D．在内单调递减
4．（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知函数，点A，B，C是它们图象相邻的三个交点，且ABC是正三角形，则正数ω的值为_____________．
5．（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）已知函数
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
0
0
x
0
2
0
0
0
t（单位：h）
0
…
3
…
9
…
15
…
h（单位：m）
10
…
13
…
7
…
13
…
t/h
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
12.0
15.0
18.1
14.9
12.0
15.0
18.0
15.0