第01讲 平面向量的概念及其线性运算(逐级突破)-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第01讲 平面向量的概念及其线性运算(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
2．（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
3．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ）
A． B．或
C． D．
4．（贵州省贵阳市三新改革联盟校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题）（    ）
A． B． C． D．
5．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在正六边形中，（    ）

A． B． C． D．
6．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（    ）
A．若满足，且与同向，则
B．
C．若，则存在唯一的实数，使
D．
7．（2023·全国·高一专题练习）设是两个非零向量（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
8．（2023·山东聊城·统考一模）是内的一点，若，，则（    ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．（2022秋·辽宁·高一辽阳市第一高级中学校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ）
A．若，则存在实数，使得.
B．若，则.
C．若，则，反向.
D．若，则，一定同向
10．（2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在中，M，N分别是线段，上的点，与交于P点，若，则（    ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022春·湖北·高一校联考期中）给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
12．（2023·全国·高一专题练习）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则__________（用表示）.

四、解答题
13．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量不共线，且，，．
(1)用表示；
(2)若，求的值，






14．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.

(1)证明：三点共线的充要条件是；
(2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.





B能力提升
1．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．在上的投影向量为
2．（2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中）如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（    ）

A． B． C． D．
3．（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）在中，在射线上，且满足，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）如图矩形ABCD，，，AC与EF交于点N．

(1)若，求的值；
(2)设，，试用，表示．

5．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）（1）已知向量，不共线，向量，，，若A，，三点共线，求实数的值；
（2）已知，，，求．