第03讲 平面向量的数量积 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10649" 第03讲 平面向量的数量积 (精讲） PAGEREF _Tc10649 \h 1
\l "_Tc13179" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc13179 \h 2
\l "_Tc31682" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc31682 \h 4
\l "_Tc15192" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15192 \h 6
\l "_Tc5320" 高频考点一：平面向量数量积的定义 PAGEREF _Tc5320 \h 6
\l "_Tc23437" 角度1：平面向量数量积的定义及辨析 PAGEREF _Tc23437 \h 6
\l "_Tc31467" 角度2：平面向量数量积的几何意义 PAGEREF _Tc31467 \h 8
\l "_Tc15101" 高频考点二：平面向量数量积的运算 PAGEREF _Tc15101 \h 11
\l "_Tc29880" 角度1：求数量积 PAGEREF _Tc29880 \h 11
\l "_Tc7269" 角度2：向量模运算 PAGEREF _Tc7269 \h 15
\l "_Tc7862" 角度3：向量的夹角 PAGEREF _Tc7862 \h 18
\l "_Tc1001" 角度4：两向量成锐角（钝角）求参数 PAGEREF _Tc1001 \h 24
\l "_Tc18250" 角度5：已知模求数量积 PAGEREF _Tc18250 \h 28
\l "_Tc15848" 角度6：已知模求参数 PAGEREF _Tc15848 \h 30
\l "_Tc2751" 高频考点三：向量的垂直关系 PAGEREF _Tc2751 \h 32
\l "_Tc31064" 高频考点四：向量的投影（投影向量） PAGEREF _Tc31064 \h 35
\l "_Tc14494" 高频考点五：平面向量的综合应用 PAGEREF _Tc14494 \h 38
\l "_Tc31307" 高频考点六：最值范围问题 PAGEREF _Tc31307 \h 44
\l "_Tc5304" 高频考点七：极化恒等式 PAGEREF _Tc5304 \h 50
\l "_Tc19781" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc19781 \h 53
\l "_Tc22929" 第五部分：高考新题型 PAGEREF _Tc22929 \h 58
\l "_Tc27270" ①开放性试题 PAGEREF _Tc27270 \h 58
\l "_Tc20236" ②探究性试题 PAGEREF _Tc20236 \h 59
\l "_Tc28799" 第六部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc28799 \h 62
\l "_Tc8068" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc8068 \h 62
\l "_Tc5893" ②数形结合的思想 PAGEREF _Tc5893 \h 64
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第一部分：知识点必背
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【详解】因为，所以.
故选：D
3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
4．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）已知向量．若，则______________．
【答案】##
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
5．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
【答案】
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知在方向上的投影为，则的值为
A．3B． C．2D．
【答案】B
【详解】设与的夹角为，
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，||＝6，||＝3.若点是的中点，点是的三等分点，且，则·＝（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】C
【详解】由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得，
，
所以
.
故选C．
例题3．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）在中，为边上上的中点，，．
（1）___________．
（2）为内一点，最小值为___________
【答案】 -5 -2
【详解】由题意知，，，
则
，
由，
得；
因为是的中点，所以，
所以，
由，得，
所以当即即与反向时，取到最小值，
此时，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：-5；-2.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】D
【详解】在中，，，，
又为的外心，是的中点，
故选：D
角度2：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】B
【详解】解：根据题意，，即，
所以，则向量在向量上的投影为的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，作的延长线于M，的延长线于N，根据正八边形的特征，可知，
于是在方向上的投影的取值范围为，结合向量数量积的定义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，
又，∴的最大值为，的最小值为．
则的取值范围是.
故选：B．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正六边形边长为1，点是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
【答案】
【详解】解：由正六边形的性质得： ，
则，，
，
而表示在上的投影，
当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，
所以的取值范围为，
故答案为：
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】BCD
【详解】由题意知，，
当P点与D重合时，向量在方向上的投影的数量最大，为，
当P点与A重合时，向量在方向上的投影的数量最小，为，
所以的最大值为，最小值．
可知，故A不满足，BCD都满足．
故选：BCD．
2．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．
【答案】##－0.5
【详解】设正六边形边长为1，则与的夹角为 ，
故在向量上的投影向量为，
所以.
故答案为：
3．（2023·全国·高一专题练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】正六边形ABCDEF中，过点B作于，则
又
即，故的取值范围为
故答案为：
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：求数量积
典型例题
例题1．（2023·河南郑州·统考二模）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．12B．4C．3D．1
【答案】D
【详解】由已知,
所以
故选:D.
例题2．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．9B．C．16D．
【答案】C
【详解】

．
故选：C
例题3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则设，则，
因为，
所以，解得，即，
则，
所以，
故选：D
例题4．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】,
且在平行四边形中，， .
以A为原点建坐标系，则
点P在边上，设,
;
，
所以.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图做，则夹角为，又由题可知，
则.
故选：A
2．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，，其中．满足，则（ ）
A．B．C．9D．22
【答案】D
【详解】由已知，且，
所以，
所以或（舍去，），所以，
又，所以，所以，
故选：D.
3．（多选）（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的可能取值是（ ）
A．－2B．2
C．4D．8
【答案】BC
【详解】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
易知正六边形的每个内角为，所以，
则，．
设，则，且.
所以．
故选：BC.
4．（2023春·吉林·高一校考阶段练习）在中，，，，D是边BC上一点，，设，．
(1)试用，表示；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵D是边BC上一点，，
∴，又∵，，得，
∴．
（2）∵，，，
∴，
．
角度2：向量模运算
典型例题
例题1．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）已知向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．12B．16C．D．4
【答案】C
【详解】与的夹角为60°，，，
，
故选：C.
例题2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．B．C．5或2D．10或4
【答案】D
【详解】.
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或,
当夹角为时，，
当夹角为时， ，
所以或.
故选：D．
例题3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知向量，满足，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，，，，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
例题4．（2023春·山西运城·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则________．
【答案】1
【详解】根据题意可知，,,
所以，
由可得，
整理可得，解得.
故答案为：1
练透核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，若与方向相反，则=（ ）
A．54B．8C．D．
【答案】B
【详解】向量，与方向相反，则，解得，
即，则，
所以.
故选：B
2．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）设平面向量，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，
∵，，，
∴，
解得，
∴
∴
故选：A.
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知向量，为单位向量，，的夹角为，则_______．
【答案】
【详解】因为向量，为单位向量，，的夹角为，
所以，，，
故，
所以.
故答案为：.
4．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，且，则_________.
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，又，，
所以，
故答案为：.
角度3：向量的夹角
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为已知向量满足，
可得，
且，
所以.
故选：D.
例题2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以， 因为，
所以，解得，
所以，
设与夹角为，则，
即与夹角的余弦值为.
故选：B
例题3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）在以为边､为对角线的菱形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题设，，且，
所以，则，故，
由，则，
又，则，
所以.
故选：B
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，若，则______
【答案】##
【详解】，又，
，解得：，
，
.
故答案为：.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面四边形中，，，，，，则_______.
【答案】
【详解】如图以为原点建立直角坐标系，
则，设，
∴，由知，
∴，解得，即，
∴，
∴.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，
由，得，
所以，解得，
所以．
故选：D．
2．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
则，解得，
∵，∴，∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则______．
【答案】##0.2
【详解】由题意，解得．
故答案为：
4．（2023·广东·统考一模）已知向量满足，则与的夹角为___________.
【答案】
【详解】由，
，
故答案为：
5．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）如图，在梯形，，，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的正切值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，，因为，则，
所以，，
因为，所以，解得
（2）解：当时，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
故与的夹角的正切值为；
角度4：两向量成锐角（钝角）求参数
典型例题
例题1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，由，得，即①，
因为，所以，又向量与的夹角为，所以，
所以②，由①②解得或，
又向量与向量的夹角为钝角，所以，所以，故，
故选：A
例题2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意可得，
因为与的夹角为锐角，
所以且与不同向，
由，即，解得，
当时，则，解得，
综上y的取值范围为.
故答案为：.
例题3．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知，且向量与不共线.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）与的夹角为，
，
.
（2）与的夹角为，
，
向量与的夹角为锐角，
，且不能同向共线，
，，
解得且，
即或，
实数k的取值范围是
例题4．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若且与垂直，求与的夹角；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由得，即，所以，
得，又，所以；
（2）解：因为，，所以
所以，则，
由 得，即，
因为与的夹角为锐角，所以
练透核心考点
1．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.
【答案】
【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
，，即，且，
解得且
故答案为：
2．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
【答案】且.
【详解】由得，，.
由已知得，，所以，即，且不共线.
则，.
又不共线，则.
所以，的取值范围为且.
故答案为：且.
3．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：由，得．
又与的夹角为钝角，
∴，得，
若，则，即．
当时，与共线且反向，不合题意．
综上，k的取值范围为，
故答案为：．
4．（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，
所以，
所以，
即方向的单位向量为；
（2）由已知，，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
从而，
解得.
角度5：已知模求数量积
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）已知向量满足则＝（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】C
【详解】因为，即，
故选：C
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，是单位向量，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，即，的夹角是.
故选：B
例题3．（2023·全国·高一专题练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．
【答案】##-0.5
【详解】由已知有，∴，得，
∴，当且仅当时取等号.
即的最大值为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）空间向量，，若，，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【详解】由题意可得：，即，解得，
∴，
且，可得.
故选：B.
2．（2023春·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）已知向量，满足，，则，则______．
【答案】
【详解】因为，所以，
又因为，，代入有：
所以.
故答案为：.
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知非零向量，，满足且，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】由已知，所以，以为三边的三角形为等边三角形，
所以，的夹角为.
所以有，，故.
由向量模长的三角不等式，，
即.
显然恒成立，所以，
所以有，所以，
所以，的取值范围是.
故答案为：.
角度6：已知模求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【详解】解：,
又，
，
，
，
，
即，
得或（舍去），
故的值为2.
故选：A.
例题2．（2023·山西吕梁·高一校联考）已知单位向量，，与的夹角为.
(1)求证；
(2)若，，且，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)或.
【详解】（1）因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，
即.
因为，与的夹角为，
所以，，
所以，
即.所以或.
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一校联考阶段练习）已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，即，
即，即对任意的恒成立，
则，解得，
又因为，所以.
故选：C.
2．（2023·高二课时练习）已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：向量垂直于向量；
(2)已知，求k的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(1)证明： 因为，且､､之间的夹角均为，
所以，
所以向量垂直于向量；
(2)，
所以.
因为，
所以，解得或.
高频考点三：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
由 ，可得，
即，
即，即，
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，若，则__________
【答案】
【详解】由平面向量满足，，可得，
因为，可得，解得.
故答案为：.
例题3．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知向量，，若，则______．
【答案】##
【详解】∵，∴，
又因为，，所以，，
∴，∴，
故答案为：．
例题4．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，且，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，即，所以，
所以，
又，所以．
（2）因为，且，
所以．
即，解得．
练透核心考点
1．（多选）（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知向量，，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】由已知得，，，
，CD正确；
与垂直，
，
解得，AB错误.
故选：CD.
2．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）已知向量，，若，则______．
【答案】
【详解】由题意可得，
则，解得，
故答案为：．
3．（2023春·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知两个非零向量与不共线，
(1)试确定实数k，使得与共线；
(2)若，且，求实数的值．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）若与共线，则，
解得
（2）得
由，知，解得.
4．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：∵向量与互相垂直，
∴，整理得，又，，
∴，解得.
∴当时，向量与互相垂直.
高频考点四：向量的投影（投影向量）
典型例题
例题1．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，
由知为中点，
又为外接圆圆心，，，
，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故选：D．
例题2．（2023·河南·统考模拟预测）已知，，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，且，则有，即，解得，
所以在方向上的投影为.
故选：D
例题3．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知向量，则在方向上的数量投影为___________
【答案】
【详解】向量，
， ，
所以 在 方向上的数量投影为
；
故答案为：
例题4．（2023·浙江温州·统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为，
所以，即，
所以，
则在方向上的投影为，
因为，所以，
所以在方向上的投影的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知的外接圆圆心为O，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以点为的中点，即为的外接圆的直径，
又，所以为等边三角形，所以且，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
2．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以向量在方向上的投影向量为，
投影向量的长度为，
故选：A
3．（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【【详解】由题意得， ，
则向量在向量上的投影向量为 ，
故选：B
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.
【答案】##0.5
【详解】解：因为，所以，所以，又，
所以向量在向量上的投影为.
故答案为：.
高频考点五：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影等于2
C．
D．的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A,设AB的中点为M,则,故原式,故A正确；
对于 B, 因为 , 所以 在 方向上的投影等于 , 故B错误；
对于 C, 设中点为 , 则 ，
而，故 ,
所以, 从而可得, 故 ,故C正确;
对于D, 设中点 O, A O中点为 , 则
,（当P与Q重合时最小）.
而 , 故
, 故 , 故D正确.
故选: ACD.
例题2．（多选）（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】ABD
【详解】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得 ，且，
若，则，
解得，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，所以，
所以，故B正确；
，由于，故，
故，故C错误；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正确，
故选：ABD
例题3．（2023春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知平面向量，，函数.
(1)若，，求满足方程的值；
(2)已知函数为定义在上的减函数，且对任意的，都满足，是否存在实数，使对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
设，则，所以，
当时，，
解得：或（舍去），所以，
所以，因为，则.
（2）因为，所以，
因为函数为定义在上的减函数，
假设存在符合条件的实数，则依题意有，
对任意恒成立.
设，则，
所以，恒成立，
即，恒成立，
∵，∴
∴，恒成立
令
由在上单调递增，
则
∴
所以存在符合条件的实数，并且的取值范围为.
练透核心考点
1．（多选）（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．为锐角的充要条件是
C．若O为所在平面内一点，且，则O为的重心
D．若，且，则为等边三角形
【答案】AD
【详解】对于A，，，且，于是，则，A正确；
对于B，当时，，有，B错误；
对于C，在中，由得，即，
同理，，则O为的垂心，C错误；
对于D，在中，，则，
，则，因此为等边三角形，D正确.
故选：AD
2．（2023春·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，，，，．
(1)若，，为轴上的一动点，点．当，，三点共线时，求点的坐标；
(2)若，，且与的夹角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，因为，所以，
因为，，所以，，，
因为，，三点共线，即与共线，所以，解得，
则点的坐标为．
（2），所以，，，
因为与的夹角为，所以恒成立，
所以，
又因为，所以，
所以，
即，
因为，所以恒成立，
令，，，，所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
即的最小值为5，所以，
则的取值范围是．
高频考点六：最值范围问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，，，，设点为直角梯形内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：依题意过点作交的延长线于点，则，
设与的夹角为，
因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，
所以
故选：A
例题2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，
如上图所示，
即
的取值范围为.
故选：C
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
例题4．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________.
【答案】
【详解】如图所示：
；
设夹角为，，，则，
，
故.
故答案为：；
练透核心考点
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（ ）
A．[2，3]B．[4，3]C．[2，4]D．[2，5]
【答案】D
【详解】解：由题可知，当点P在点C处时，最小，
此时
过圆心O作OPAB交圆弧于点P，连接AP，此时最大，
过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，
则=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，
所以的取值范围为[2，5].
故选：D.
2．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆．已知正的中心为，，点为与边相切的旁切圆上的动点，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】如图所示，的旁切圆为圆，设其半径为，因为正的边长为1，所以，易知为的重心，则.
易知与相似，则，即.
由平面向量数量积的几何意义可知：表示在上的投影与的乘积，由图可知：当点P位于点E时最大，最大值为，当点P位于点F时最小，最小值为.
于是，的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，为外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________.
【答案】
【详解】由余弦定理得，
由正弦定理得外接圆半径，
所以，其中是在上的投影，
过点作交圆于点，如图所示，
则，
所以的最大值为.
故答案为：
4．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，.
(1)若，，求；
(2)若菱形的边长为6，求的取值范围.
【答案】(1)-16
(2)
【详解】（1）在菱形中，有，且，，
又∵，∴，
∴
.
（2）∵菱形，∴，，则
，
∵，
∴
，
∵，∴，
∴的取值范围是：.
高频考点七：极化恒等式
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得，
，
为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时，
又，因此，
所以的最小值为.
故选：D.
例题2．（2023春·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）圆为锐角的外接圆，，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】依题意，设中点，
则
为中垂线交点，由三角形为锐角三角形，
根据临界位置结合图形可知，则范围是．
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，于是，
令，
∵，则，，共线，
故，
由图可得，当时，有最小值，
又∵，，
∴，即，
即为等边三角形．
由余弦定理，，
设M为BC中点，
，
∴当取最小值时，有最小值，
∵为边上任意一点，
∴当时，有最小值，
设，过点作于点，则，
又∵，为的中位线，
∴，即，
∴．
故选：B.
2．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知为圆的直径，点为直线上的任意一点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】圆心，半径为，且点为线段的中点，
，
圆心到直线的距离为，
当与直线垂直时，取最小值，即取最小值，
且.
故答案为：.
第四部分：数学文化题
1．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，给出下列结论：
①与的夹角为；
②；
③；
④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．
其中正确结论为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【详解】在图2中，正八边形的对角线把周角进行八等分，所以每一份均为.
对于①：与的夹角为.故①错误；
对于②：因为.
在中，，，所以.
而，所以正确.故②正确；
对于③：由向量加法的三角形法则得：.故③错误；
对于④：由图知，在上的投影向量与方向相反.故④错误.
故选：B
2．（2023·河南安阳·统考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可得，解得，，故圆M的方程为．
，
画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大．
直线的斜率为1，设l的方程为，由圆心到直线l的距离为，
解得或（舍去）．
故l的方程为，其与直线PA：的交点坐标为，
所以，所以，
即的最大值为．
故选：C
3．（多选）（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则为的中点
D．若在线段上，且，则的取值范围为
【答案】BD
【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，
，
，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，
，即投影向量为，正确；
对选项C：，
，
，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，
，，
整理得到，，故，正确.
故选：CD
4．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
5．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则__________．
【答案】
【详解】解：由题意可知，
，
故答案为：．
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·山东青岛·统考一模）已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______．
【答案】
【详解】根据题意可得：，，
设，
因为向量，且与的夹角为钝角，
所以
所以，
不妨令
所以
，
故答案为：.
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.
【答案】（答案不唯一）
【详解】根据题意，向量，且，
则有，即，
当时，，则.
故答案为：（答案不唯一）
3．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，非零向量满足，请写出的一个坐标________．
【答案】(答案不唯一)
【详解】设向量，，
由，可得，
，又，
所以，
令，可得，
所以向量的坐标可为.
故答案为：.
②探究性试题
1．（多选）（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模(表示向量，的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．B．与共线
C．D．与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【详解】对于A，对于A，设正方体的棱长为，在正方体中，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于B，在正方形中，，又因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于C，由，和构成右手系知，与方向相反，
又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误；
对于D，设正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以D对．
故选：ABD．
2．（多选）（2023春·湖北武汉·高一武钢三中校联考）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．设，，若，则，
B．设，则
C．设，，若，则
D．设，，若与的夹角为，则
【答案】AC
【详解】，
对于A：即，则，
A正确；
对于B：
即
B错误；
对于C：若，
当即时，显然满足：；
当即或时，则，使得，
即
则可得，消去得：；
C正确；
对于D：结合可A、B知：若，
则，，
根据题意得：
即，可得：即
D不正确；
故选：AC．
第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知平面向量、满足，则的取值范围是______
【答案】
【详解】不妨设与的夹角为，且，
得，故，解得，
所以，
为计算方便，不妨令，，则，，
所以，
因为，所以，即，
故，即.
故答案为：.
2．（2023·浙江·模拟预测）已知，则的取值范围是_________．
【答案】
【详解】由题意，图中是等腰三角形，C为中点，，
因此，
设，
所以,
（其中）
又，所以，又，所以，
所以
所以，，
∴，∴
故答案为：
3．（2023·天津·）在中，，，，，，则_________，若是线段上的一个动点，则的最小值为_____________.
【答案】
【详解】由，知：为中点，为靠近的三等分点；
，
，解得：，；
又，为等边三角形，；
设，
，
，
则当时，取得最小值.
故答案为：；.
②数形结合的思想
1．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，
∵点M是△ABC所在平面内一点，且满足，
以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，，
则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比，
所以．
故选：A
2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则_________
【答案】
【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.
∵为的重心，∴，
,同理，
故
故答案为：
3．（2021春·陕西西安·高一统考期末）骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为__________．
【答案】##
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则， ，圆D的方程为，则可设，，
所以 ， ，
所以，
当时， 的最大值为.
故答案为：．
4．（2020秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知向量，的夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为_________.
【答案】
【详解】因为，所以，
整理可得，
因为对任意，上式恒成立，所以；
由题意知，所以，所以.
可以看作点与点的距离之和；
如图，点关于的对称点为，则；
所以的最小值为.
故答案为：.