第03讲 平面向量的数量积(逐级突破)-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第03讲 平面向量的数量积 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知向量，，，且，则实数为（    ）
A．-4 B．-3 C．4 D．3
【答案】A
【详解】，
由于，
所以.
故选：A
2．（2023春·山东潍坊·高一山东省高密市第一中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以.
故选：D.
3．（2023春·山东青岛·高一校考阶段练习）若向量与向量的夹角为，，，则（    ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【详解】解：因为
，
解得（舍），或，所以.
故选：B
4．（2023春·重庆巫溪·高一校考阶段练习）已知，，，向量在方向上的投影是（    ）
A．12 B．4 C．－8 D．2
【答案】B
【详解】记向量与的夹角为，
所以在方向上的投影为.
故选：B.
5．（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，，两式相加，得，
所以，，所以，
所以.
故选：A．
6．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）已知点，，．则在上的投影向量为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，．
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
7．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设
①，
，②，
与向量(1，0)夹角为钝角，，③，
由①②③解得，，
故选：D．
8．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（      ）．

A．22 B．24
C．20 D．18
【答案】A
【详解】解：因为，，
所以
，
因为，，所以，
因为直角梯形ABCD，所以，故，
所以原等式




.
故选：A
二、多选题
9．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，延长DP交BC于点M，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】依题意，
因为在平行四边形中，，，
所以，即M为BC的中点，
所以，故A正确；
因为不共线，所以错误，故B错误；
，故C正确；
，
故D正确．
故选：ACD.
10．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形，，均为正方形，则（    ）

A． B．在上的投影向量为
C． D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【详解】
对于A，由图可知，则，所以，A正确；
对于B，如图，设M，N分别为AB，HG的中点，连接IM，CN，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，因为与的夹角为，所以，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：ABD
三、填空题
11．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量与的夹角为，，若，则____________．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
又向量与的夹角为，，
所以
解得．
故答案为：.
12．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.

【答案】
【详解】由题可知，

所以
.
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD=2DB，设，.

(1)若，，且与的夹角为，求；
(2)若向量与+k共线，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，且与的夹角为，所以，，所以，
（2）由题图得，，，
因为，，所以，，
所以，
若与+k共线，则存在实数λ，使得，
即，所以，因为与不共线，所以，解得，所以实数的值为.
14．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，,分别为,上的点，且， .

(1)若，求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，则,
所以，.
（2）由题意，，，
可知，
故=
15．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量，（）．
(1)若，求t的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，

∵，
∴，∴．
（2）若，则，，
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且，
∴m的取值范围是．
B能力提升
1．（2023春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知是两个互相垂直的单位向量，而，，则对于任意的实数，求的最小值是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】是两个互相垂直的单位向量，可令，，
设，则，
（当且仅当时取等号），
，
.
故选：C.
2．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.

【答案】
【详解】

，且.
即
设与的夹角为，则.
因为，所以.
故答案为：
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
【答案】
【详解】，，，
，即，
由，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：
4．（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，
梯形为直角梯形，
，
，即，
由，同理可得，
又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，
以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

则，

，
所以，
由且可得，
令，则由对勾函数单调性知，
当时单调递减，时单调递增，
故，由知，，
故，
故选：D
C综合素养
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，若存在直线，使得，则半径的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设中点为，则，如图，

，
因为，所以，
因为，
，
所以，
即，所以，
当直线过圆心时最小，当直线与垂直时，最大，
所以，所以.
故选：C.
2．（2023春·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示

(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)若，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值．
【答案】(1)，，
(2)最小值为，点P的坐标为
【详解】（1）因为半圆的直径，所以，，
又，，则，即．
（2）设，
由（1）知，，
故，
∴，
又∵，
∴当时，有最小值为，
此时点P的坐标为
3．（2023春·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于点M，N．

(1)求证：；
(2)若△ABC是边长为的等边三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又因为D为BC的中点，所以，
所以．
（2）设，，，，
由M，O，N三点共线，得存在，，使得．
由（1）可知，则有，
得，即．
因为，，
所以
，
又因为是边长为的等边三角形，
所以，
令，因为，即，
当且仅当时，等号成立，所以．
因此，
又因为，所以，
所以．
的取值范围为.