第04讲 正弦定理和余弦定理(逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第04讲 正弦定理和余弦定理 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在中，若，则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
则.
故选：C.
2．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ）
A．30° B．45° C．150° D．30°或150°
【答案】A
【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．
故选：A
3．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】根据正弦定理有，得；
故选：D.
4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
5．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（    ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】在中，因为，，，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
6．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（     ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【详解】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形
故选：B
7．（2023春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考阶段练习）在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（     ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由余弦定理知： ，由条件： ，
，即 ，   ，
  ，
  ， 时取最大值1；
故选：B．
8．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，如图所示：其中点与点重合，

因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，
，，是的四等分点，，，是的四等分点
所以，，，
所以为直角三角形，四边形为矩形，
所以且，
又，所以，
在中，由余弦定理得：
，
所以，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（    ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则不是等边三角形
【答案】ABD
【详解】对于A：，，由正弦定理可得，A正确；
对于B：在锐角中，，，，B正确；
对于C：在中，若，由正弦定理可得，
，或，或，则是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D：在中，若，则不是等边三角形，D正确.
故选：ABD.
10．（2023春·福建莆田·高一校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（    ）
A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则
C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则
【答案】ABD
【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；
对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；
对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．
【答案】
【详解】由已知及正弦定理得，所以，
所以，又，所以．
由的外接圆面积为，得外接圆的半径1．
由正弦定理得，
所以，所以，解得，
所以的面积，当且仅当时等号成立．
故答案为: .
12．（2023·江西·校联考模拟预测）在中，点在边上，，则边的最小值为__________.
【答案】1
【详解】令，则，又，在中，由余弦定理可得，
化简整理得，因为，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.
故答案为：1
四、解答题
13．（2023春·广东广州·高一广州市培英中学校考阶段练习）在中，是角所对的边，且满足
(1)求角的大小；
(2)设向量，向量，且向量共线，判断的形状.
【答案】(1)
(2)直角三角形
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以；
（2）因为，共线，所以，
所以或（舍）；
当时，，所以为直角三角形.
14．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小．
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，

因为因为，所以，
所以
因此有．
又因为，所以．
（2）由，及余弦定理，得
，
所以，当且仅当时取等号．
又因为，所以，故的周长的取值范围为．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)若，D为BC中点，，求AD的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∴∴
∵ ，
由正弦定理得∴，∴，
∴，解得；
（2），，∴，
由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，解得．
B能力提升
1．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
2．（2023春·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习）在中，有，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
又，，
所以
又，，，
所以，
即，
，
当且仅当即时取等号，
显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，
所以，即的最大值是．
故选：D．
3．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在锐角中，，且，
所以，则，
所以，则或（舍去），所以，

，
因为为锐角三角形，，
所以，
所以，所以，
，
故选：B.
4．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，
则，又，于是，
因此，当时，，，
所以中线的取值范围是.
故选：D
5．（多选）（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】A选项，由D、G、E三点共线，则＝，设，，m＞0，n＞0.则，
又由重心性质可知，
则，，即，即选项A正确；
B选项，S1＝＝，
S2＝，则，即选项B正确；
CD选项，＝≤，当且仅当，即时取等号，则，即选项C正确， D错误.
故选：ABC．
6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（    ）
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则面积的最大值为
【答案】ACD
【详解】，
，解得：，
由得：，
，
，解得：（舍）或，
，，A正确；
，，，即，
为等边三角形，，B错误；

，，
在中，由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），
解得：，周长的最大值为，C正确；
设，则，
，
则当时，取得最大值，D正确.
故选：ACD.
C综合素养
1．（2023·全国·高一专题练习）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大等边三角形， 若， 则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
而 ，
在 中， 设，则，
由正弦定理得 ， 解得，
由余弦定理 ，
所以.
故选：C.
2．（多选）（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（    ）
A． B．存在实数，使
C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为
【答案】ACD
【详解】A：，所以本选项结论正确；
B：，假设存在存在实数，使，
，显然方程组无实数解，因此假设不成立，所以不存在实数，使，因此本选项说法不正确；
C：不互相垂直，所以不是平面的法向量，因此本选项说法正确；
D：，
所以，
四边形的面积为：，
因此本选项说法正确，
故选：ACD
3．（多选）（2023春·山东菏泽·高一校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角，下列说法正确的是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得，
又，所以，故，则，
又B为钝角，则，因此，，
所以，即，故A正确；
因为，所以，
又，所以，则，故B正确；
所以
，
令，则，，
对于，其开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值为，
又当时，，当时，，
所以的值域为，
故，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
4．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）在△ABC中，角的对边分别为，若，且．

(1)求角B的值；
(2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
由正弦定理得
所以，或
又因为，则，故
故答案为：
（2）由（1）知，又，所以 ，则，所以.
又，所以，
在中，，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：
5．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）在中，、、分别是角A、B、C的对边，.
(1)求B的大小；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得：
整理得，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由正弦定理得，所以，
则的周长
，
因为，所以，所以，
所以周长的取值范围为.
6．（2023·全国·模拟预测）已知是斜三角形，角A，B，C满足.
(1)求证：；
(2)若角A，B，C的对边分别是边a，b，c，求的最小值，并求此时的各个内角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为3，，，
【详解】（1）由得，
所以，
所以.
因为是斜三角形，所以，所以，
所以，所以，
又，所以.
（2）在中，有，
由（1）知，所以，于是角为钝角，角为锐角，
根据，所以.由正弦定理，得
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
又角为钝角，所以时，等号成立，由，得，
由，得，因此的最小值为3，
此时三角形的各个内角为，，.