第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

这是一份第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考），文件包含第05讲正弦定理和余弦定理的应用高频精讲解析版docx、第05讲正弦定理和余弦定理的应用高频精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27051" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc27051 \h 2
\l "_Tc26693" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc26693 \h 2
\l "_Tc20995" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc20995 \h 3
\l "_Tc24535" 高频考点一：解三角形应用举例 PAGEREF _Tc24535 \h 3
\l "_Tc8735" 角度1：测量距离问题 PAGEREF _Tc8735 \h 3
\l "_Tc28970" 角度2：测量高度问题 PAGEREF _Tc28970 \h 10
\l "_Tc30419" 角度3：测量角度问题 PAGEREF _Tc30419 \h 14
\l "_Tc12331" 高频考点二：求平面几何问题 PAGEREF _Tc12331 \h 19
\l "_Tc32020" 高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题 PAGEREF _Tc32020 \h 25
\l "_Tc25530" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc25530 \h 32
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
第一部分：知识点必背
1、基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，
例：(1)北偏东：(2)南偏西：

5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
典型例题
例题1．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）小赵同学骑自行车从地出发向东骑行了km到达地，然后从地向西偏南方向骑行了一段距离到达地，再从地向西偏北方向骑行了km到达地，已知地在地东偏南方向上，则地与地之间的距离为（ ）
A．kmB．kmC．kmD．km
【答案】C
【详解】如图，在、中，，，
在中，，由正弦定理得：，即，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以A地与D地之间的距离为km.
故选：C
例题2．（2023春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则、两点的距离为___________m．
【答案】
【详解】因为，，所以，，所以，
又因为，所以，，
在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案为：
例题3．（2023春·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在B处停留1min后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，，．
(1)求索道的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，因为，，所以，，
从而
，
又，由正弦定理，得
．
答：索道AB的长为．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了，
乙距离A处，所以由余弦定理得
，
因，即，
答：当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）在中，由正弦定理，得，
乙从B出发时，甲已经走了，还需走才能到达C，
设乙步行的速度为，由题意得，解得.
答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点、、分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东47°方向，点在点的南偏西36°方向，点在点的南偏东79°方向，且、两点的距离约为3海里.
（1）求、两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求救信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为（直线行进），而我东海某渔政船正位于点南偏西60°方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助？说明理由．
【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【详解】1）求得，
由海里.
（2）R国舰艇的到达时间为：小时.
在中，
得海里，
所以渔政船的到达时间为：小时.
因为，所以渔政船先到.
答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助.
练透核心考点
1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【详解】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，
则，，.
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里
故选：A
2．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.
【答案】##
【详解】因为，所以.
因为，所以，所以为等边三角形，所以.
在中，,,
所以.
由正弦定理得：，即，解得：.
在中，,,,由余弦定理解得：
.
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为______
【答案】
【详解】解：在中，，，，
即，
则由正弦定理，
得：．
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．
（1）求乙船每小时航行多少海里？
（2）在C处北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，暗礁E周围海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；如无危险，请说明理由．
【答案】（1）每小时30海里；（2）甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续小时后脱险，理由见解析.
【详解】（1）如图，连结AD，由题知CD＝10，AC＝×30＝10，∠ACD＝60°，
∴ △ACD是等边三角形．
∴ AD＝10．
又∠DAB＝，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AD2＋AB2－2AB×ADcs45°＝100，
∴ BD＝10，v＝10×3＝30(海里)．
答：乙船的速度为每小时30海里．
（2） 在海平面内，以B点为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示平面直角坐标系．危险区域在以E为圆心，半径为r＝的圆内．
∵ ∠BAC
又∵ ∠DAB＝∠DBA＝45°，故直线BD的方程为y＝x，
所以E的横坐标为ABcs15°－CEsin30°，纵坐标为ABsin15°＋CEcs30°＋AC，
故A(5＋5，5－5)，C(5＋5，5＋5)，E．
点E到直线BD的距离为
D1＝＝1