第05讲 正弦定理和余弦定理的应用(逐级突破)-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由余弦定理得：，
.
故选：C.
2．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证. 一名身高1的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为（    ）（参考数据:

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，，因为，所以，

在 中，由正弦定理得，
所以，
其中
，
故
又，
又，
所以，又该同学身高，所以塔高约为.
故选：.
3．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为29.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为76.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题可知  ，在△BAD中由正弦定理得：，
即，又因为在中，，
所以.
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ）

A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
【答案】D
【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．
故选：D．
5．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故，由正弦定理，，故m
故选：D
6．（2023·全国·高一专题练习）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知，，海里，
由正弦定理可得=，代入数据得.
故选：C.
7．（2023·全国·高一专题练习）小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【详解】由题设，，而，
所以，可得米.
故选：C
8．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）当孩子“嗖”地滑下来时，能享受到成功的喜悦.滑滑梯为儿童体育活动器械的一种，若测得，，，，，则滑滑梯的高度（    ）

A．18 B． C．20 D．
【答案】C
【详解】在中，由正弦定理得，
即，解得，
因为，，
所以.
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ）

A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
【答案】BC
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
10．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（    ）

A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向
B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm
C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm
D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km
【答案】ABD
【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.
B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.
由正弦定理，得AC=，
故B正确.
C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，
则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.
D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，
即AB=km，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______________．
【答案】
【详解】由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，所以，
且
在中，
故答案为：

12．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）如图，飞鸟甲、小鱼乙处于同一平面，甲自左向右飞行，甲发现乙在水面上以的速度自左向右作匀速直线运动（此时甲、乙之间的距离为10m，乙在甲右偏下60°的方向上），立刻以的速度斜向下作匀速直线运动，则甲一次性成功捕获乙的最短时间约为______.（，结果保留两位有效数字）

【答案】1.5
【详解】如图，记飞鸟甲在点，小鱼乙在点，设甲一次性成功捕获乙的地点是，时间为，易得，，，，由余弦定理，，
整理得，得或（舍去），所以.
故答案为：1.5.

四、解答题
13．（2023春·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）如图所示，为了测量河对岸地面上两点间的距离，某人在河岸边上选取了两点，使得，且（米），现测得，其中，．求：

(1)的值；
(2)两点间的距离（精确到1米）．（参考数据）
【答案】(1)
(2)119米．
【详解】（1）由为锐角，，
可得，
则；
（2）三角形中，由，则，则，
设到距离为，则，

，则（米），
答：两点间的距离为119米．
14．（2023·高一课时练习）如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和，某日两个观测站都观测到了处出现火情，在点处观测到的方位角为．在点处，观测到的方位角为．B点和点相距25千米，求观测站与火情之间的距离．

【答案】千米
【详解】在中，，
，
，
，
由正弦定理可得，
即，
所以（千米），
所以观测站与火情之间的距离为千米
15．（2023·江苏·高一专题练习）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为270m，雪道长为260m．

(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】(1)235m
(2)甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
【详解】（1）解：过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：

根据题知 ，∴．
∵BC的坡度，∴．
设，则，∵，∴，
解得（负值已舍去），∴，
所以，该滑雪场的高度h为235m．
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，解得，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，∴．
所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
B能力提升
1．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】A
【详解】由题设可得如下示意图，且，即，

由图知：，则，又，
所以，则海里.
故选：A
2．（2023·贵州·校联考二模）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（    ）

A．6m B．5m C．4m D．3m
【答案】A
【详解】
如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为，
设到之间的距离为，
由光线反射性质得，所以，即，①
同理可得，②
①②两式相比得，解得，
代入①得，
故选：A．
3．（2023秋·海南·高一海南华侨中学校考期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设为地球球心，人的初始位置为点，点是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（    ）
（参考数据：，，）

A．5800 B．6000 C．6600 D．70000
【答案】C
【详解】设，弧的长为.
由题意可得，.
显然，，则在中，有，
所以.
所以，.
所以，需要登上楼的层数约为.
故选：C.
4．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，
，，
则在中由余弦定理可得：
，
解得：，
则，，
过点C作，

研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为，
，，
则，
，
则，，
则，
，
故选：B.
5．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，，因为，则为等腰直角三角形，
故，
在中，，，则，
由正弦定理可得，，
在中，，又因为，则.
故选：C.
C综合素养
1．（2023春·山西·高一统考阶段练习）如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处．

【答案】15
【详解】在中，海里，海里，海里，
由余弦定理得，则．
在中，因为，所以海里，
所以分钟，即再经过15分钟商船B到达商船D处．
故答案为： 15.
2．（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点）后又测得对山顶的俯角为，求山顶的海拔高度___．（精确到m）
（可能要用到的数据：）

【答案】6340m
【详解】因为，
所以，
在中，由正弦定理得，，
，
作于，则，
所以的海拔高度为.
故答案为：.

3．（2023春·甘肃兰州·高一兰州一中校考阶段练习）一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉.如图所示，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点.现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星（点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？

【答案】小时
【详解】由题意知：，，，
，，
，
在中，由正弦定理得：，
在中，由余弦定理得：
，
解得：，
救援船到达点需要的时间，即需要小时.
4．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；
假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；
(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，
由题意，
因为为的中点，所以，
又，所以，
又，
由正弦定理，所以，
又，所以，

，
所以，
所以
，
所以阴影部分面积为；

（2）①雨伞不遮挡人行进的视线；
②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积；
③考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可）
5．（2023·湖南邵阳·统考二模）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；
(2)若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)不能捕猎成功，原因见解析.
【详解】（1）由题意作图如下：

则，，
，．
由正弦定理，可得．
因此或120°，
当时，，猎豹与羚羊之间的距离为，
当，，猎豹与羚羊之间的距离为.
（2）由题意作图如下：

设捕猎成功所需的最短时间为t，
在中，，，，．
由余弦定理得：．
整理得：．
方法1：设，显然，
因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s，且．
∴猎豹不能捕猎成功．