第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

这是一份第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考），文件包含第06讲拓展一平面向量的拓展应用高频精讲解析版docx、第06讲拓展一平面向量的拓展应用高频精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28411" 第一部分：典型例题剖析 PAGEREF _Tc28411 \h 1
\l "_Tc295" 高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题 PAGEREF _Tc295 \h 1
\l "_Tc341" 角度1：两个向量所成角为锐角 PAGEREF _Tc341 \h 1
\l "_Tc18088" 角度2：两个向量所成角为钝角 PAGEREF _Tc18088 \h 4
\l "_Tc10062" 高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题 PAGEREF _Tc10062 \h 7
\l "_Tc11500" 方法一：定义法 PAGEREF _Tc11500 \h 7
\l "_Tc14607" 方法二：几何法 PAGEREF _Tc14607 \h 10
\l "_Tc17056" 方法三：三角不等式法 PAGEREF _Tc17056 \h 17
\l "_Tc19758" 方法四：坐标法 PAGEREF _Tc19758 \h 19
\l "_Tc25651" 方法五：转化法 PAGEREF _Tc25651 \h 24
\l "_Tc13768" 高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题 PAGEREF _Tc13768 \h 29
\l "_Tc3341" 方法一：定义法 PAGEREF _Tc3341 \h 29
\l "_Tc13148" 方法二：向量数量积几何意义法 PAGEREF _Tc13148 \h 35
\l "_Tc19336" 方法三：坐标法（自主建系法） PAGEREF _Tc19336 \h 41
\l "_Tc29545" 方法四：积化恒等式法 PAGEREF _Tc29545 \h 47
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
角度1：两个向量所成角为锐角
典型例题
例题1．（多选）（2023春·河南·高一河南省实验中学校考阶段练习）设向量若与的夹角为锐角，则实数的值可能是（ ）
A．B．3C．6D．9
例题2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.
例题3．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）已知：､是同一平面内的两个向量，其中=（1，2），
(1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(2)求在上投影向量.
练透核心考点
1．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为__．
2．（2023春·广东广州·高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量，（）．
(1)若，求t的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
3．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐标．
（2）已知， 若的夹角为锐角，求的取值范围.
角度2：两个向量所成角为钝角
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）已知，则向量与向量的夹角为钝角时的取值范围是__________．
例题3．（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是______．
练透核心考点
1．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________.
3．（2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
方法一：定义法
典型例题
例题1．（2023·浙江·模拟预测）已知在三角形中，，点，分别为边，上的动点，，其中，点，分别为，的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）在中，，，点满足，，则的最小值为______.
例题3．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知向量，满足：，，，则______；若为非零实数，则的最小值为______．
例题4．（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校联考阶段练习）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．
练透核心考点
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知向量，满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知平面向量，的夹角为，且，，，其中，则的最小值为______．
3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）设向量满足.与的夹角为60°，则的取值范围是____.
方法二：几何法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
例题3．（多选）（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）若均为单位向量，且，，则的值可能为（ ）
A．－1B．1C．D．2
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，向量，，，满足，，若，则的取值范围是_____________
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（多选）（2023秋·广东·高三校联考期末）向量满足，，，则的值可以是（ ）
A．3B．6C．4D．
3．（多选）（2023·辽宁·高二校联考开学考试）向量 满足，，，则的值可以是（ ）
A．3B．C．2D．
（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考）已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.
方法三：三角不等式法
向量模的三角不等式来求解：.
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三对口高考）设为单位向量，若向量满足，则的最大值是____________．
练透核心考点
1．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考）已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.
2．（2023·辽宁大连·高一大连二十四中校考）已知向量，满足，，则的最小值是______，最大值是______．
3．（2023·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知向量，，满足，，，，若，则的最小值为__________，最大值为____________．
方法四：坐标法
典型例题
例题1．（2023·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）已知边长为1的正方形位于第一象限，且顶点，分别在，的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）．
A．1B．2C．3D．
例题2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
例题3．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，的坐标为，点为动点，且满足，记，若的最小值为，则的最大值为________．
例题4．（2023·贵州铜仁·高一校考阶段练习）已知向量，，其中，.
(1)当时，求的取值范围；
(2)当时，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥东县第二中学校考阶段练习）已知平面向量，，满足，，则的取值范围是___________
2．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考）已知平面直角坐标系中，向量，.
(1)若，求x；
(2)当时，求的最小值
3．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考）已知，向量，，是坐标平面上的三点，使得，.
(1)若，的坐标为，求；
(2)若，，求的最大值.
4．（2023·安徽宣城·高一校考阶段练习）已知向量，．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围．
方法五：转化法
典型例题
例题1．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考）已知向量 满足 ， ， ，若向量满足 ，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·陕西西安·高一陕西师大附中校考）已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中学校考）已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·广东·高三统考阶段练习）若向量，，，且，则的最小值为_________．
练透核心考点
1．（2023·浙江杭州·高一校联考）已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．B．C．4D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知平面向量，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）已知平面向量，，，满足，与的夹角为，且，则的最小值为（ ）
A．B．1
C．D．
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
方法一：定义法
典型例题
例题1．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.
例题3．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）如图，在四边形中，，且，若，则的最大值为_____________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，已知，，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．－3
3．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______．
4．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________.
5．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的平面图形中，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若且，求的最小值.
方法二：向量数量积几何意义法
典型例题
例题1．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）如图，为外接圆上一个动点，若，，，则的最大值______.
例题3．（2023·湖南衡阳·高一统考）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________．
练透核心考点
1．（2023·海南·高一统考）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足，则的取值范围是__________．
2．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考）已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是___．
3．（2023·广东深圳·高一福田外国语高中校考）如图，边长为2的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合.将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当滚动到时，顶点B运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中，的取值范围为___________.
方法三：坐标法（自主建系法）
典型例题
例题1．（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·河南新乡·统考二模）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
例题4．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形中，若，则的值为________ ；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为______.
练透核心考点
1．（2023·北京东城·统考一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南开封·统考二模）已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，在四边形中，，且.
(1)求实数的值；
(2)若是线段上的动点，求的取值范围.
方法四：积化恒等式法
典型例题
例题1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）在中，，，，，是平面上的动点，，是边上的一点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题2．（2023·全国·模拟预测）如图所示，是边长为8的等边三角形，点为边上的一个动点，长度为6的线段的中点为点，则的取值范围是___________.
练透核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）在边长为2的等边三角形中，为边上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在三角形中，是的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)若，求的取值范围．