第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc139" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc139 \h 2
\l "_Tc24452" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc24452 \h 2
\l "_Tc2415" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2415 \h 5
\l "_Tc28634" 高频考点一：周长（边长）定值 PAGEREF _Tc28634 \h 5
\l "_Tc9731" 角度1：求周长 PAGEREF _Tc9731 \h 5
\l "_Tc17786" 角度2：求边的代数和 PAGEREF _Tc17786 \h 10
\l "_Tc26286" 高频考点二：周长（边长）最值 PAGEREF _Tc26286 \h 14
\l "_Tc29690" 角度1：周长最值 PAGEREF _Tc29690 \h 14
\l "_Tc27215" 角度2：边的最值 PAGEREF _Tc27215 \h 21
\l "_Tc6612" 角度3：边的代数和最值 PAGEREF _Tc6612 \h 27
\l "_Tc19498" 高频考点三：周长（边长）取值范围 PAGEREF _Tc19498 \h 37
\l "_Tc18726" 角度1：周长取值范围 PAGEREF _Tc18726 \h 37
\l "_Tc21031" 角度2：边的代数和取值范围 PAGEREF _Tc21031 \h 40
\l "_Tc17268" 角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围 PAGEREF _Tc17268 \h 49
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第一部分：知识点必背
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值
角度1：求周长
典型例题
例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知中，，
由正弦定理边角关系得：，
，
，，
，
又，
所以，即.
（2）在中，为中线，，
，
，
，
，，
的周长为.
例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，延长到，使，在上取点，使，
(1)设，用表示向量及向量．
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）是的中点，则，
故，
（2）由余弦定理得
而，
得，故，得，
的周长为．
例题3．（2023·全国·模拟预测）在中，角,,所对的边分别为，，，，为边上一点，.
(1)若，求的面积；
(2)若为的平分线，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，
∴，
由正弦定理可得，，
∴，
即，
结合，得，
∵，∴，
在中，，
由余弦定理可得，，
即，解得，
∴；
（2）由AD为的平分线知，，
在与中，由正弦定理可得，
①，
②，
∵，∴，
结合①②，可得，
在与中，由余弦定理可得，
，，
又，
∴，解得，
∴，∴的周长为.
练透核心考点
1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在中，角对应的边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得:
代入式子，
化简得，，
，
，即，
因为，所以.
（2），
由余弦定理得，
的周长为．
2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，∴；
（2）、∴，
∴；
（3）由余弦定理得，由面积公式得，
则，∴的周长为.
3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，所以，
由余弦定理可得：
所以，
所以△ABC的周长为．
角度2：求边的代数和
典型例题
例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意在中，，，，
由正弦定理可得.
（2）由，，，即，
解得，
由余弦定理，
可得.
例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在①；②；
③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角,,的对边分别为，，，且_______．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择①：由已知得，
所以，
在中，，所以．
选择②：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以．
选择③：由正弦定理可得，
又，所以，则，
则，故．
又因为，所以，
解得．
（2）由余弦定理得，①
由等面积公式得．
即．
整理得，②
联立①②，解得，
所以．
例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由又及正弦定理，得，
因为中，
所以，
由于，所以，即，
又，故.
（2）由题意可知，解得，
根据余弦定理可得，
即，解得.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，角A的平分线交BC于点D，求AD.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
又，所以，即，
因为，所以，
所以，得．
（2）因为是角的角平分线，
所以，
即，
结合（1）得，
解得．
2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，，.
(1)求的值；
(2)若点D在边BC上且的面积为，求.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
则，故，，
由余弦定理得：，所以；
（2）由（1）知，又，
所以，
因此，，
所以D是BC的中点，故.
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设的内角、、的对边分别为、、，
(1)确定角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
因为，所以，则，
因为，所以或．
（2）若为锐角三角形，由（1）得，
因为的面积为，所以，
由余弦定理得，
所以，
解得，所以．
高频考点二：周长（边长）最值
角度1：周长最值
典型例题
例题1．（2023·四川南充·统考二模）在中，内角,,的对应边分别为，，,已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【详解】由题设及三角形内角和性质：，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，
又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，则，
设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.
故选：B
例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．
【答案】##
【详解】由题可得，，即，
又，所以，则，
因为，所以，则，
所以，即，
又因为，，
所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故周长的最小值为.
故答案为：.
例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．
(1)求的单调递增区间；
(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）由题意可得，
因为在上单调，
所以，解得，
因为，
所以，即，
令，
解得，
即的单调递增区间是；
（2）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，
则，即△ABC周长的最大值为9．
例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示，连结，
在中，，，
所以，
因为，所以，则，
因为，所以为等边三角形，
，
，，
在中，，即，
又，
，
.
（2）设，，
则在中，，，则，即，故，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
，则，
，故，当且仅当时，等号成立，
所以，即周长的最大值为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，
即，，则，则
解得,所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，
所以，
设，则，
根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：
在上为单调增函数，故，
故，
当且仅当时取等.
故选：C.
2．（2023·四川广安·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.
【答案】
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，所以，，故，
由余弦定理可得
，
所以，，即，故，
当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为.
故答案为：.
3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，，所以，即有，
又因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理可得，
当时，等号成立，所以，
故周长的最小值9.
4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.
【答案】(1)7
(2)2＋.
【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，
∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝，由余弦定理得
cs ＝＝＝－，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.
（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝＝＝2R＝2，
∴＝＝＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，
∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cs θ－2cs sin θ＋
＝sin θ＋cs θ＋＝2sin ＋，
又θ∈，∴<θ＋，
∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋.
角度2：边的最值
典型例题
例题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】解：由余弦定理得，
即，即，
所以，
∴，当且仅当b=c时等号成立.
因为，
所以，
，
∴，
故选：C．
例题2．（2023·青海西宁·统考二模）在中，内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，
所以，即，，
又，
所以，所以，所以；
（2）在中，由正弦定理得，
所以.
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即线段的最大值为.
例题3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
∴，
∴．又，．
（2）方法1：由（1）得，
∵，则，∴，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
在锐角三角形中，∴，即，
（另解：，
∵，，解得，∴，，即）
∴，∴，当且仅当时取等号，
∴，∴的最大值为．
方法2：在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
∵，∴．
∵，∴，，
．
∵，，解得，∴，
∴，∴，
∴的最大值为．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线交于且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），即，即.
由正弦定理得，
，，故.
，，故，又，故，故；
（2），设，，
根据向量的平行四边形法则：，
即，
，又，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．
【答案】(1)
(2)2-3
【详解】（1）因为csin =sin C，且a=1，所以csin =asin C，
所以sin Csin =sin Asin C.
因为C∈(0,π)，sin C≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sin A，即cs =sin A，
所以cs =2sin cs .
因为∈(0,)，所以cs≠0，所以sin=，所以=，即A=.
（2）
因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.
如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，
由余弦定理得cs B=，
所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，
所以CD=2-BE+，
因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，
当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，
所以CD的最小值为2-3.
2．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角中，内角的对边分别为，且______．
(1)求；
(2)若，，求线段长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方案一：选条件①．
由正弦定理得，
∴，
∵，∴，即，
∵，∴．
方案二：选条件②．
由正弦定理得，即，
∴，
∵，∴．
方案三：选条件③．
由余弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
（2）由，得，
∵，∴，即，
两边同时平方得，
∴．
令，则，，
令，则，，
在锐角中，
∴，∴，
∴，
∴，当且仅当时取等号，
∴线段长的最大值为．
3．（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若，求b的最小值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）因为，，所以由余弦定理可得，即，
整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．
（2）因为，
所以由正弦定理可得，
所以由余弦定理可得，
又，所以，
所以，
当时，取最小值，且最小值为．
角度3：边的代数和最值
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【详解】如图所示，
因为，所以，
在Rt△ABD中，，即，
因为，
由正弦定理可得：，即，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C
例题2．（2023·广西·统考一模）在中，角,,的对边分别是，，，满足.
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
又，则，
所以，
又因，所以；
（2）因为角C的平分线交AB于点D，
所以，
由，得，
即，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
例题3．（2023·全国·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．
已知的三个内角，，的对边分别为，，,且______．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方案一：选条件①，由，得，
则由余弦定理得：．
由正弦定理得：，
则．
因为，则，所以．
又因为，所以．
方案二：选条件②，∵，
正弦定理得：，整理得，
则由余弦定理得，
因为，所以．
方案三：选条件③．∵，
由正弦定理得．
因为，则，所以，
即．
因为，则，
所以，即．
（2）解法一：由正弦定理可得，
所以，，
所以
，
其中为锐角，且．
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值．
解法二：由余弦定理得，即，
设，则，
将代入中，整理得，
由题意可知，此方程有正根，
注意到的对称轴，
则，所以，
故的最大值为．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，角,,的对边分别为，，,且，，求的最大值.
【答案】(1)递增区间为，；
(2).
【详解】（1）
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由，得，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
，且，
当且仅当时，有最大值为，
故的最大值为.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.
(1)求的长度；
(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设，，则.
在与中，由余弦定理知：
，即，
，即.
，
，可得.
，
，即.解得，.
.
（2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径.
为外接圆上任意一点，
当在点时，.
当在点时，.
当在优弧上时，，
设，则.
中，由正弦定理知，.
，
当时，的最大值为.
当在劣弧上时，，
设，则.
中，由正弦定理知，.
.
当时，的最大值为.
综上，的最大值为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．
【答案】
【详解】∵，．
由余弦定理得，则，
方法一：判别式法：令，有解，
，解得
．∴
方法二：换元法．
令
上式
令，则有，
，∴
故答案为：
2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又因此.
（2）在中，由，得，
在中，由，可得，
所以；
在中，由，得，
解得，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）法一:∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二:∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，
法一:设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
法二:在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
当且仅当时，的最大值为.
4．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理，得．
∵，∴．
化简，得．
∵，∴．∵，∴．
（2）由已知及正弦定理，得．
即．从而，因为，所以，化简得，
因为，可得，于是，
当时，的最大值为.
5．（2023·山西·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由已知可得
，
即，
，则，解得，因此，.
（2）解：由正弦定理可得，
所以，
，
其中为锐角，且，
因为，则，，
所以，当时，即当时，取得最大值.
高频考点三：周长（边长）取值范围
角度1：周长取值范围
典型例题
例题1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）设函数．
(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；
(2)在中，角，，的对边分别为，，，若，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）因为，
即，因为，所以，
由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时.
（2）因为，由（1）得到，
即，又因为，所以得到，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，得到，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，．
(1)若 ， 求的面积;
(2)求周长的取值范围．
【答案】(1)任选一条件，面积皆为
(2)
【详解】（1）若选条件①， 由 及正弦定理， 得
即 ， 化简得，
因为， 所以， 所以，因为 ， 所以．
若选条件②， 由 及正弦定理， 得， 即， 化简得,
因为 ， 所以， 所以，因为 ， 所以．
若选条件③， 由 化简得，， 由余弦定理得， 即，因为 ， 所以，
所以三个条件，都能得到.
由余弦定理得 ， 即， 解得，
所以 的面积.
（2）因为 ， 由正弦定理得，
因为 ，
所以 ，
因为 ， 所以，
所以 ， 即， 所以周 长的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
即，所以，
因为，所以，
所以，又，所以；
（2）由（1）可得，若，
则由余弦定理，得，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，即，
所以周长的取值范围为.
2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别是，设向量，且．
(1)求角A的值；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因，且，则，
由余弦定理得，整理得：，
于是得，而，所以.
（2）由（1）知，，当且仅当时取“=”，
而，因此，，即有
所以的周长l的取值范围是.
角度2：边的代数和取值范围
典型例题
例题1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．
(1)若，，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①，根据余弦定理展开，即，
所以，由得；
选②，根据正弦定理可得，
因为，
所以，因为，所以，
由得；
选③，根据正弦定理和三角形的恒等变换得：
，
因为，化简可得，
得，由得；
，
，∴，
由已知，，，
．
（2）
，
∵为锐角三角形，∴，
∴，，所以．
例题3．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，解得．
（2）解：由正弦定理得，，
，，
，
， ，
则


，
为锐角三角形，
，
，
，
，
即．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因为，所以．
（2）由正弦定理得．
因为为锐角三角形，所以
解得，所以，
所以，
故的取值范围为．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若A为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故由余弦定理得，
又，所以．
（2）因为，
所以，
由（1）得，所以，
又，且A为钝角，
所以，且，故，
则，，
所以，故的取值范围是．
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，，且．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，由正弦定理可得，
则，
可得，
整理得，
注意到，且，则，且，
可得或，
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分线交于点，则，
∵，则，
即，整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为.
3．（2023·高一单元测试）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
(1)求证：B＝2A；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析.
(2)
【详解】（1），
由正弦定理得：，
由积化和差公式可得：，
因为，
所以，
因为三角形ABC为锐角三角形，故，
所以，
故，即；
（2）由（1）知：，
由正弦定理得：
，
其中，
因为，
所以
，
由得：，
由，解得：，
结合可得：，，
故在上单调递增，
所以，
即.
4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，，分别是的内角，，所对的边，向量，
(1)若，，证明：为锐角三角形；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），由余弦定理得，整理得，
故是最长的边，是最大的角，
，则为锐角，
所以三角形是锐角三角形.
（2），
即，由于，所以，
所以，所以.
因为三角形是锐角三角形，所以，解得，则.
由正弦定理得，
由于，，，
所以的取值范围是.
5．（2023·全国·高一专题练习）在中，角，，的对边分别为，，．，，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，，由余弦定理得：，解得：.
所以.
（2）由（1）可知：.而，所以，所以，
所以.
故的取值范围为.
角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围
典型例题
例题1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）的内角、、的对边分别是、、，已知.
(1)求；
(2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即
，
因为，则，所以，，则，
因为，则，所以，，解得.
（2）解：由正弦定理可得，即，
所以，，，易知，
所以，
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
所以，，
因为，
所以，，
所以，.
例题2．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知.
(1)求角的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得：，整理得：，
由余弦定理得：，
∵，则.
（2）由（1）可得：，且，
锐角中，由正弦定理得：，
可得，
则，
∵锐角三角形，且，则，
即，解得，
即，且，
可得，则，
故的范围是.
例题3．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.
(1)求；
(2)若周长的范围
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得：，
由正弦定理知：，又，，
，又，，，
，，，则，，解得：.
（2）由正弦定理得：，，，
；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
即周长的取值范围为.
例题4．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角所对的边分别为.且.
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的取值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），故，
，，
，，，
故，
可得，
，，故或（舍去），即.
（2）由，可得，再由正弦定理可得，
，且为锐角三角形，可得.
则，
练透核心考点
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在锐角中，角，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）选条件①：
因为，
所以，所以．
又因为，所以，所以，所以．
选条件②：
因为
由正弦定理可得．
即，
又因为，所以．
因为，所以．
（2）由正弦定理得，则，
又，则，且在锐角中，所以，，则，
所以
因为，所以，则
所以，即周长的取值范围为．
2．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，
，，可得，
，又，.
（2）
为锐角三角形，，解得，则，
，，.
的取值范围是
3．（2023春·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．
(1)求角B的大小．
(2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
所以为锐角，所以.
（2）由正弦定理得，
所以
，
由于三角形是锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
即的取值范围是.
4．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB＋bcsA＝2ccsC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得，
即，即，
又，所以，
所以，故．
（2）由正弦定理，得，
所以的周长
由为锐角三角形可知，，得，
所以，所以．
所以的周长的取值范围为．