第10讲 拓展五：四边形问题 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28653" 高频考点一：求四边形中边（或角） PAGEREF _Tc28653 \h 1
\l "_Tc15595" 高频考点二：四边形中面积问题(含最值问题） PAGEREF _Tc15595 \h 10
\l "_Tc23234" 高频考点三：实际问题中的四边形问题 PAGEREF _Tc23234 \h 19
高频考点一：求四边形中边（或角）
典型例题
例题1．（2023春·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，，则___________.
【答案】
【详解】在中，由正弦定理可得：，
所以①，
在中，由正弦定理可得：，
所以②，
又因为，所以由①②可得：，
解得：，
所以在中，由余弦定理得：
，
解得：.
故答案为: .
例题2．（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若
(1)求的面积;
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
即，解得(负根舍)，
所以.
（2）因为，平分，所以，
又，所以，
在中，由正弦定理，得，①
在中，由正弦定理，得，②
①②，得，所以，
又，且，所以，
将代入②，得，所以.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，，∴，
记，则，
∵，，∴，
在中，由正弦定理得：，则，
可得，化简得，
联立方程，解得或，
∵，则，
故．
（2）解法一：由（1）知：，
由正弦定理得：，∴，
解法二：在中，，
在中，由余弦定理得：，
即，则，解得或（舍去），
故.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．
(1)求的大小；
(2)若点在直线同侧，，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设，则，
因，，，
则，而，，
则有，即，又，，因此，，
所以.
（2）由（1）知，，连AC，有，则，
而，中，由正弦定理有，
，，，
又，令，则，，
因此，
因，则，有，
即，，
所以的取值范围为．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，的面积为，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，
所以sin∠DAB＝．
又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cs∠DAB＝cs＝．
由余弦定理得
BD＝＝，
由正弦定理得sin∠ABD＝＝．
（2）因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，
sin∠DBC＝sin(－∠ABD)＝cs∠ABD＝＝．
在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝．
由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcs∠DCB＝BD2，
可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－ (舍去)．
故BC的长为．
练透核心考点
1．（2023·山东青岛·统考一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则______千米．
【答案】
【详解】在三角形中由正弦定理得，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，所以为等腰直角三角形，所以，
在中由余弦定理得
，
所以.
故答案为：.
2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形中,,.
(1)试用表示的长;
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）（）,,,
，则
在中,
,
,则.
（2）在中,
,
则当时,取到最大值.
故的最大值是
3．（2023·全国·高一专题练习）在平面四边形中，，，．
(1)若，求的长；
(2)求四边形周长的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：连接，
因为，，故为等边三角形，，
，则，
由正弦定理得，所以，.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，四边形周长的最大值为.
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，
所以.
所以五边形ABCDE的周长.
5．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）如图所示，在梯形中，，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）.
（2）由（1）知，，
∵，
∴，，
，
由.
高频考点二：四边形中面积问题(含最值问题）
典型例题
例题1．（2023·四川成都·成都七中校考二模）如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为_____________．
【答案】
【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，
所以180°，则，利用余弦定理得，
，解得，所以．
由，得，
因为，所以，
．
故答案为：.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.
(1)求的长以及四边形的面积；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：由余弦定理可得，
整理可得，因为，解得.
由圆内接四边形的性质可知，
所以，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，
因为，
所以，
.
（2）解：由余弦定理可得，
，则为锐角，为钝角，
所以，，，
则，，
因此，.
例题3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
(1)若，求的长；
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，由余弦定理得，解得.
（2）在中，，由余弦定理得.
因为，.
所以四边形的面积.
因为，故，根据正弦函数的最值可知，所以，即当时，四边形面积取到最大值.
例题4．（2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考阶段练习）如图，在△中，角的对边分别为．
（1）求的大小；
（2）若为△外一点，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）在△中，∵，
∴，
∴，
∴
又∵，故，
∴，即 tanC＝1．
又∵，∴．
（2）在△BCD中，，
∴．
又，由（1）可知，
∴△为等腰直角三角形，
∴
又∵，
∴
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
例题5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），，，．
(1)若，，求；
(2)已知，记四边形的面积为．
①求的最大值；
②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（直接写结果，不需要过程）
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1），
，
∴，
∴或（舍）.
（2）①，
．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由，得，
∴当时，取得最大值.
②.
由①知：，则需研究的范围．
当增大时，增大，从而B随之增大，
所以，当A，B，C趋于共线时，趋于，其中钝角满足，
当减小时，减小，从而B随之减小，
所以，当A，B，D趋于共线时，趋于，其中锐角满足，
，
令，则在上递增，在上递减
并且
，.
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为______．
【答案】
【详解】连接，如图，令，
在中，由余弦定理得：，
因，，则，
因此，四边形的面积
，而，则当，即时，，
所以四边形的面积的最大值为.
故答案为：
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）如图，在四边形中，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，四边形的面积为4，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，∵，则
∴．
在中，由正弦定理得，，
∴．
∵，∴，
∴．
（2）解：在、中，由余弦定理得，
，
，
从而①，
由得，
②，
得，，
∴．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，．
(1)证明：为直角三角形；
(2)若，求四边形面积S的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【详解】（1）∵，由与余弦定理
∴，
整理得，，
∴．
∴为直角三角形．
（2）∵，
∴．
由，得．
．（当且仅当时取等号）
所以四边形面积S的最大值为12．
4．（2023·高一课时练习）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）因为AD＝BD＝1，，所以三角形ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．
在三角形BCD中，由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以四边形ABCD的面积，即最大值为；
（2）设，
在三角形BCD中，由正弦定理得，
，所以，
在三角形ABC中，由余弦定理得，
，
因为，所以，所以．
5．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）如图，在中，， ，为外一点，．
(1)求角的大小，并判断的形状；
(2)求四边形的面积的最大值．
【答案】(1)，等边三角形
(2)
【详解】（1）由题知,即
解得或(舍),所以
因为,所以
所以的形状为等边三角形
（2）设,在中由余弦定理得
的面积
的面积
四边形ABCD的面积
当,等号成立
所以四边形ABCD的面积的最大值为
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，设的内角､､的对边分别为､､，，且.若点是外一点，，，则当角D等于多少度时，四边形的面积有最大值，并求出最大值.
【答案】；
【详解】解：，
由正弦定理可得，
所以，，
，，可得，，，
所以，为等边三角形，设，则，
由余弦定理可得，
，
，
所以，四边形的面积为，
，，所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值.
高频考点三：实际问题中的四边形问题
典型例题
例题1．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路长为4km，四边形的另外两个顶点， 设计在以为直径的半圆上. 记.
(1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内?
(2)若， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值.
【答案】(1)
(2)，10km
【详解】（1）解：，
，
由题意， ，
，
因为，所以，
解得；
（2）由BC = AD可知，
，
故，
，
从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当， 即时取到.
练透核心考点
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考阶段练习）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
(1)当，求四边形的面积；
(2)当为何值时，线段最长并求最长值
【答案】(1)平方百米
(2)当时，的最大值为3百米
【详解】（1）由题意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四边形的面积为
平方百米．
（2）在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以为锐角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：
．
∵，∴当时，的最大值为3百米．
2．（2023·高一课时练习）抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离．某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿边界用固定高度的板材围城一个封闭隔离区，经测量，边界与的长都是200米，．
(1)若，求BC的长；（结果精确到米）
(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）
【答案】(1)163米
(2)631米
【详解】（1）连接，则在中，，
由正弦定理可得，
所以，
所以BC的长约为163米；
（2）设，
则，
在中，由得
，
，
所以，
所以当时，的最大值为，
所以此时围成该区域需要板材长度最大且为，
所以围成该区域至多需要631米长度的板材