第01讲 数列的概念与简单表示法 (逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第01讲 数列的概念与简单表示法
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ）

A．110 B．128 C．144 D．89
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，满足，则（    ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．（2023春·高二课时练习）已知数列的通项公式为，，则该数列的前4项依次为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（    ）
A． B． C． D．
5．（2023春·山东潍坊·高二统考期中）已知数列{an}的前n项和为，，，则（    ）
A．64 B．62 C．32 D．30
6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．5
7．（2023·四川宜宾·统考三模）已知数列的前n项和为，则使得最小时的n是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（    ）
A．287 B．272 C．158 D．143
二、多选题
9．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，则（    ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（    ）
A． B．是周期数列 C． D．
三、填空题
11．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，若，则的值为___________.
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足．求数列的通项公式；


14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，通项为的数列是单调递增数列，求的取值范围．



15．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.
(1)求的通项公式；


B能力提升

1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知数列共有100项，满足，且，则符合条件的不同数列有（    ）个．
A．4753 B．4851 C．4937 D．4950
2．（2023·全国·高三专题练习）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（    ）
A．127 B．256 C．341 D．512
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
4．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列.斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数.人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：              

大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用.设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是________.
5．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）北京冬奥会开幕式上，由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象，以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年，瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化，构造出了“雪花曲线”：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边（如图）.反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形（图①）的边长为1，则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为________，如果这个操作过程可以一直继续下去，那么所得图形的面积将趋近于________·

6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)若，求的通项公式.
(2)若，求的通项公式.