第02讲 等差数列及其前n项和 (逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第02讲 等差数列及其前项和
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数．如图所示，三角形数，，，……在这个自然数中三角形数的个数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，，……
可归纳为，则，，
故在中三角形数的个数为个.
故选：A．
2．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）若一个等差数列的前7项和为21，则该等差数列的第4项为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】因为第4项为该等差数列前7项的中间项，
所以，
故选：B.
3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（    ）
A．2033 B．2123 C．123 D．0
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
5．（2023春·广东茂名·高二广东高州中学校考期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（    ）

A．2060 B．2038 C．4038 D．4084
【答案】D
【详解】去除所有为1的项后，剩下的每一行的个数为，
对应个数构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则前行数字个数之和为，
当时，，
所以该数列的第56项是杨辉三角中第13行第二个数字.
故该数列前56项和表示：杨辉三角中前12行数字之和，减去所有23个1，再加上杨辉三角中第13行第二个数字12即可，
故所求数列的前项和为：.
故选：D.
6．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为，，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
.
故选：B.
7．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第10项为（    ）
A．84 B．83 C．82 D．81
【答案】B
【详解】设二阶等差数列为，令，
则，
由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
则，即，
所以.
故选：B.
8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取最大值时，的值为（    ）
A．10 B．61 C．64 D．73
【答案】D
【详解】因为为递增数列且均为正整数，，，
若n取最大值时，则当时，均取到最小，即，
即当时，可得，所以数列是以首项为3，公差为1的等差数列，
则，
又因为，
若n的最大值为61，则，符合题意；
若n的最大值为62，则，不符合题意；
综上所述：当n取最大值时，的值为73.
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（    ）
A．为等差数列 B．
C．，，成等比数列 D．有最大值，无最小值
【答案】AC
【详解】由题意 ，
得： ，
， 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，
由于 成等比数列， ， ，解得 ；
对于A，正确；
对于B，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，是关于n的二次函数，所以在 或13处取得最小值，无最大值，错误；
故选：AC.
10．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知数列满足，则（    ）
A． B．的前10项和为150
C．的前11项和为-14 D．的前16项和为168
【答案】ACD
【详解】由得：
当时，，
两式相减得，
故，当时，也符合，故，
对于A,，故A正确，
对于B，的前10项和为，故B错误，
对于C，的前11项和为，故C正确，
对于D，当，解得，所以，
所以的前16项和为，故D正确，
故选：ACD
三、填空题
11．（2023·陕西西安·统考三模）已知等差数列的前项和为，若，，，则符合题意的等差数列的一个通项公式为________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为，，，
所以，，，
设数列的公差为，则，
取，又，可得，
故数列的一个通项公式为，
故答案为：（答案不唯一）.
12．（2023春·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）设等差数列，的前项和分别为，.若，则______
【答案】/0.4
【详解】因为，，
所以,
故答案为：
四、解答题
13．（2023·辽宁丹东·统考二模）记为数列的前项和，已知，．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，
由，两式相减，得
．所以数列从第三项起，每一项与前一项的差为，
因为，所以，
所以当时，，显然不适合，
故；
（2）因为，，数列从第三项起，每一项与前一项的差为，
所以当时，数列是单调递减数列，
当，所以当时，有最大值，
最大值为，所以.
14．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）记为数列的前n项和，已知，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，得，得（舍）或，
当时，，得，得或（舍），
故，.
（2）当时，，又，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
B能力提升
1．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，
因为，解得，所以，则，
这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.
故选：D．
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知各项均为正整数的递增数列的前n项和为，若，，当n取最大值时，的值为（    ）
A．10 B．61 C．64 D．73
【答案】D
【详解】因为为递增数列且均为正整数，，，
若n取最大值时，则当时，均取到最小，即，
即当时，可得，所以数列是以首项为3，公差为1的等差数列，
则，
又因为，
若n的最大值为61，则，符合题意；
若n的最大值为62，则，不符合题意；
综上所述：当n取最大值时，的值为73.
故选：D.
3．（2023春·北京海淀·高二101中学校考期中）对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（    ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知，
又，故，
即，解得或，
又，故的最小值为10.
故选：C.
4．（多选）（2023春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）设等差数列的前项和为，且，，记为数列的前项和，若恒成立，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】设等差数列的公差为，由可得，
解得，所以，，
所以，，
则，
因为恒成立，则，BCD选项满足条件.
故选：BCD.
5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为，
则，解得，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
，
当时，，此时，

，
综上所述：.
C综合素养
1．（多选）（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知数列满足，则（    ）
A． B．的前10项和为150
C．的前11项和为-14 D．的前16项和为168
【答案】ACD
【详解】由得：
当时，，
两式相减得，
故，当时，也符合，故，
对于A,，故A正确，
对于B，的前10项和为，故B错误，
对于C，的前11项和为，故C正确，
对于D，当，解得，所以，
所以的前16项和为，故D正确，
故选：ACD
2．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，定义，称新数列为数列的一阶差分数列；定义，称新数列为数列的二阶差分数列．若，则称数列是二阶等差数列．已知是二阶等差数列，，，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【详解】由题意可知，，
在推理时，我们也可以利用表格的形式，如下表．
n
1
2
3
4
5
6
……

2
4
8
14
22
32
……

2
4
6
8
10
12
……

2
2
2
2
2
2
……
由此表可知， ，
故，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，即，
由累加法可得．
而时，也符合该式，故.
故答案为：.
3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是___________.
【答案】
【详解】因为，所以，
所以数列是常数列，则，可得，故，
因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而，
当时，，当时，，
因为，所以的最小值是，即，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为K阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，4，10，20，35，56，84，则该数列的第8项为_____．
【答案】120
【详解】三阶等差数列前7项分别为1，4，10，20，35，56，84，
则其对应二阶等差数列为3，6，10，15，21，28，…
则数列3，4，5，6，7，…为等差数列，
此等差数列各项依次为
则有对应二阶等差数列为3，6，10，15，21，28，36，45，55，…
其对应三阶等差数列为1，4，10，20，35，56，84，120，165，…
则该三阶等差数列的第8项为120.
故答案为：120