新高一预习：题型分类细讲精练01 集合题型归类（人教数学A版2019必修第一册）

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专题01 集合题型归类


【题型一】集合与元素
【典例分析】
非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（        ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.


【提分秘籍】
基本规律
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。

【变式演练】
1.给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；
③通过解方程，可得出，故可判断③；
④根据为正整数集可判断④；
⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【详解】
①，故①错误；
②是整数，所以，故②正确；
③由，得或，所以，所以正确；
④为正整数集，所以错误；
⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.

2下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；

空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
3.已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
集合有两个元素：和，
故选：B

【题型二】集合中的元素个数
【典例分析】
已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合B中的元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
通过集合，利用，，，求出集合中元素的个数．
【详解】
解：因为集合，2，3，，，，，
所以当时，或或，
当时，或，
当时，，
即
所以集合中的元素个数为6．
故选：．


【提分秘籍】
基本规律
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。3
【变式演练】
1.已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，解得，从中去掉形如的数，此时中有个元素，注意中还可含以下个特殊元素：、、、、、、，故中元素最多时，中共有个元素，由此可得出结论.
【详解】
令，解得，所以，集合是集合的一个非空子集.
再由，先从中去掉形如的数，由，可得，，此时，中有个元素.
由于集合中已经去掉了、、、、、、这个数，而它们对应的形如的数分别为、、、、、、，并且、、、、、、对应的形如的数都在集合中.
故集合中还可有以下个特殊元素：、、、、、、，
故集合中元素最多时，集合中共有个元素，对应的集合也有个元素，
因此，中共有个元素.
故选B.
2.已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为
A．25 B．49 C．75 D．99
【答案】D
【分析】
先分析集合元素的特点，通过列举可得.
【详解】
当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.
3.已知集合，，且，则的元素个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合，任取，令，对于集合，任取，令，令，可得出，分析可得，列举出的可能取值的个数，即可得解.
【详解】
对于集合，任取，令，
对于集合，任取，令，
令，则，可得，
因为且，则，
可集合中能被整除的数为、、，
共有组、数据满足条件，故的元素个数为.
故选：B.


【题型三】元素个数求参
【典例分析】
已知集合只有一个元素，则的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．



【提分秘籍】
基本规律
在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性

【变式演练】
1.已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知求出集合A，进一步得到m的范围.
【详解】
由题意可知，可得.
故选：D
2.若集合至多含有一个元素，则的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把题意转化为方程无实根或两相等实根或一个实根，然后通过分类讨论求的取值范围.
【详解】
因为集合至多含有一个元素，
所以时，，此时满足题意；
当时，要满足题意，需方程无实根或两相等实根，
即，所以.
综上知，的取值范围是.
故选：B.
3.某个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，则的值为（       ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，结合集合相等的条件，求得，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
根据集合相等的条件，可得且，所以，
所以.
故选：C.



【题型四】子集及子集个数
【典例分析】
设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（       ）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【分析】
分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】
若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举

【变式演练】
1.若集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ）
A． B．AÜB=C C．AÜBÜC D．BÜCÜA
【答案】B
【分析】
先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】
将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AÜB=C．
故选B.
2.已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分析集合M、N，得到，再对四个选项一一判断.
【详解】
，
.
因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数.
所以
对于A：.故A错误；
对于B、C：.故B正确；C错误；
对于D：.故D错误.
故选：B
3.设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（       ）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】
先将甲、乙、丙、丁的关系转化为集合的包含关系，分析即得解
【详解】
由题意，甲：A∩B＝A
乙：A∪B＝B
丙：
丁：
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙
故选：C


【题型五】子集关系求参(难点）
【典例分析】
已知集合，，若，则的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】
由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
故选：D.



【提分秘籍】
基本规律
授课时讲透彻这个“顺序感”：子集是从“从空集开始，到自身结束”

【变式演练】
1.设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】
集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
2.已知，，若且，则实数的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【分析】
集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围
【详解】
集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：
故选：B
3.设集合，或，若，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.
【详解】
因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或，则由得：，解得：，
综上得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A

【题型六】子集综合应用
【典例分析】
已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ）
A．A=BC B．AB=C
C．ABC D．BC=A
【答案】B
【分析】
将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．
【详解】
解：集合，，，
集合，，，
集合，，，
时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；
所以，
故选：B．

【提分秘籍】
基本规律
1.借助于分类讨论思想
2.借助于枚举思想

【变式演练】
1.定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（       ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】
作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
如图，由于，

故两个阴影部分均为，
于是，
（1）若，则，，
而，
成立；
（2）反之，若，
则由于，，
，，，故选：A
2.已知：A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，C＝{x|x＝a}，B⊆A，则C的真子集个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
首先求得A＝{﹣1，1}，之后根据B⊆A，求得的值，从而得到C＝{﹣1，0，1}，根据含有个元素的有限集合真子集的个数，求得结果.
【详解】
由A中x2＝1，得到x＝1或﹣1，即A＝{﹣1，1}，
∵B＝{x|ax＝1}，B⊆A，
∴把x＝﹣1代入ax＝1，得：a＝﹣1；把x＝1代入ax＝1得：a＝1，
当时，，满足B⊆A，
∴C＝{﹣1，0，1}，
则C真子集个数为23﹣1＝7．
故选：C.
3.已知集合，，则之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
化简，从而可得，排除，，考虑元素5与集合的关系再可排除，从而得到结果.
【详解】
∵，，
∴，故排除选项，，
又∵，，∴排除，
故选：.



【题型七】集合交集运算及求参
【典例分析】
已知集合，．若，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由集合包含关系可得，讨论、分别求参数范围，最后取并集即可得结果.
【详解】
由，可得，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，且，可得；
综上，a的取值范围为.
故选：C.



【提分秘籍】
基本规律
1.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，,一般要在数轴上（或者坐标系中）表示出来，形象直观，一定要注意端点值和临界值，看是否包括。
2.＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

【变式演练】
1.已知集合，下列描述正确的是（       ）
A． B．
C． D．以上选项都不对
【答案】A
【分析】
将两个集合等价变形，从而可判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】
解：，
分子取到的整数倍加1，
，
分子取全体整数，
所以，
所以.
故选：A.
2.已知集合，，若，则（       ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】
本题考查集合的运算和集合之间的关系.，说明，根据这个关系可以求出参数的值，注意考虑空集的情况
【详解】
因为等价于, 解得或,
所以.
因为,
所以,
当时, 成立，此时;
当时, , 解可得,
因为, 所以或,
解得或.
综上, 的值为或或.
故选:D.
3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
【详解】
解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.



【题型八】集合并集运算及求参
【典例分析】
已知集合，，，则(       )
A．0或4 B．0或
C．1或 D．1或4
【答案】A
【分析】
由求出集合和的包含关系，然后利用集合间包含关系求解即可.
【详解】
集合，，可得，
若，，则，，显然成立；
若，或1；
当时，显然成立，
当时，，不满足元素的互异性，舍去，
综上所述，或4．
故选：A．


【提分秘籍】
基本规律
1.“并大交小”
2.＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

【变式演练】
1.已知集合A={x|-3≤x≤-2}，集合B={x|m-1≤x≤2m+1}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（       ）
A．-4≤m≤ B．-4