新高一预习：题型分类细讲精练03 均值不等式基础方法15类总结（人教数学A版2019必修第一册）

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专题3 均值不等式基础方法15类总结

目录
一、热点题型归纳
【题型一】对勾型 2
【题型二】 添加常数构造“对勾型” 3
【题型三】“和定求积”型 5
【题型四】“积定求和”型 6
【题型五】单元（单变量）分离常数型 7
【题型六】“常数”因子法： 8
【题型七】“单分母”构造因子法 9
【题型八】“双分母”构造法 11
【题型九】有和有积无常数型 12
【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 14
【题型十一】 有和有积有常数型：求“和”型 15
【题型十二】多元分离型 16
【题型十三】反解消元型 18
【题型十四】换元型 19
【题型十五】较简单的三元均值 21
培优第一阶——基础过关练 23
培优第二阶——能力提升练 27
培优第三阶——培优拔尖练 30


知识点综述：
1. 基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.常用不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
4.重要不等式链：≥ ≥≥；

【题型一】对勾型
【典例分析】
（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x0，则当取得最小值时，a的值为（       ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C
【题型二】 添加常数构造“对勾型”
【典例分析】
（2022·吉林延边·高一期末）已知，则函数的最小值是（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.故选：D.


【提分秘籍】
基本规律
对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化

【变式训练】
1.．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）若在处取得最小值，则（       ）
A．1 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
2.（2022·全国·高一课时练习）若实数，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将原式变形为，然后利用基本不等式求解出的最小值.
【详解】因为，
取等号时且，即，所以的最小值为，
故选：B.
3.（2021·江苏·高一专题练习）设，则的最小值为（       ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解
【详解】，
，

，
当且仅当，
即时取等号
故选：A

【题型三】“和定求积”型
【典例分析】
（2022·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为（       ）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【详解】因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B


【提分秘籍】
基本规律
如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)

【变式训练】
1.（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）若，则当取得最大值时，x的值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，则，
当且仅当时取“=”.
故选：D.
2.．（2021·全国·高一课时练习）若，，，则的最大值为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】直接根据基本不等式求最值．
【详解】解：∵，，∴，，
∴，
当且仅当时，取“=”，故选：D．
3.（2021·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（       ）
A．36 B．4 C．16 D．9
【答案】D
【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故选：D.

【题型四】“积定求和”型
【典例分析】
（2021·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由基本不等式求解．
【详解】因为，
所以，，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．

【提分秘籍】
基本规律
如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)

【变式训练】
1.（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用均值不等式即可得解.
【详解】由均值不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是2.
故选：B.
2.（2021·新疆·巴楚县第一中学高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（       ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，正实数且，可得，
则，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值是.故选：B.

【题型五】单元（单变量）分离常数型
【典例分析】
（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【分析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D

【提分秘籍】
基本规律
分离常数可以从两方面考虑：
1.以分母为主元构造分子
2.直接换元分母（一般式一次型）

【变式训练】
1.（2021·全国·高一课时练习）若，则有（       ）
A．最小值2 B．最大值2 C．最小值 D．最大值
【答案】D
【分析】先将转化为，根据－40，y>0，且xy=10，所以，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为4，故选：C
5.（2021·湖北·宜都二中高一期中）已知则函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：C.
6.（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求的最小值即可，注意等号成立的条件.
【详解】由已知得：，且，
∴当且仅当时等号成立.
故选：B.
7.（2021·福建·莆田一中高一期中）已知，，，则的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由展开利用基本不等式可求解.
【详解】因为，，，则，
所以
，当且仅当等号成立，
所以的最小值为.故选：C.
8.（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.
【详解】由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
9.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室高一期末）已知，且，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为3.故选：A.
10.（2021·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意可得，从而可求得答案.
【详解】解：因为，所以，
即，则，
所以，又，所以，所以最大为3.
故选：C.
11.（2021·全国·高一期中）已知，，且，则的最小值为（       ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号．
，解得或（舍去），
所以，即的最小值.4．此时．
故选：C．
12.（2021·全国·高一专题练习）已知正数满足，则的最大值是（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
因此
，
（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
所以.
故选：B.
13.（2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.故选：A.
14.（2022·全国·高一课时练习）已知正数x，y满足，则的最小值（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.
15.（2022·全国·高一）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得，根据已知应用基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题设，，∴，又x，y，z为正实数，则，
∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值是4.故选：A

培优第二阶——能力提升练
1.（2021·广东·广州市真光中学高一期中），在处取最小值，则（       ）
A．1 B． C．3 D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解，注意“一正二定三相等”，求出的值
【详解】∵
∴有基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立
故选：C
2.（2021·天津·油田三中高一阶段练习）函数y＝3x2＋的最小值是(       )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当时等号成立.故选：.
3.（2021·全国·高一课时练习）已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（       ）
A．25 B．50 C．20 D．
【答案】B
【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.
【详解】由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
4.（2020·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高一期中）已知正数，满足，则的最小值是（       ）
A．10 B．20 C．15 D．25
【答案】B
【解析】根据题中条件，由基本不等式，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
5.（2021·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（       ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C
6.（2021·浙江·高一单元测试）已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式可求的最小值，从而可求实数的取值范围.
【详解】因为，故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故，
故选：D.
7.（2021·河北正中实验中学高一期中）已知，且 ，则的最小值为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
，
当且仅当，即，又，所以时，等号成立.
故选：C
8.（2022·全国·高一单元测试）设，为正数，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.故选：.
9..（2021·全国·高一课时练习）若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（       ）
A．9 B．8 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.”
【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，
∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3.
故选：C.
10.（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（       ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.
【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
11.（2021·广东·执信中学高一期中）已知正实数，满足等式，若对任意满足条件的，，求的最小值（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式即可.
【详解】解：正实数，满足等式
（当且仅当时取等号）令则
或（舍弃）故选：．
12.（2021·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知两正实数a，b满足，则的最小值为（       ）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：B
13.（2021·广东·华南师大附中高一期中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（       ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【分析】根据，变形为，然后由可得，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D.
14.（2021·湖北黄石·高一阶段练习）实数a，b满足，，，则的最小值是（       ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】令，，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】令，，则，，且，，，
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以的最小值是，故选：C.
15.（2022·全国·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（       ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值．
【详解】解：根据   ，当且仅当时，取等号，
化简可得，因为，所以，，
所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，
又因为恒成立，所以，即k的最大值是4


培优第三阶——培优拔尖练
1.（2022·重庆巫山·高一期末）已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意可知，为真命题，
由于时等号成立，
所以.
故选：D
2.．（2021·全国·高一专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（       ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【答案】C
【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.
【详解】由题意可得对任意恒成立，
由，可得，
当且仅当即时，取得等号，则，解得.
故选：C.
3.（2022·全国·高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（       ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，所以故选：D.
4.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时取等号.所以的最大值为.故选：C
5.（2022·全国·高一课时练习）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】令，所以，
设，，
函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，
因为，，所以函数在时，最大值为，
要想不等式在区间上有解，只需，
故选：C
6.（2021·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习）设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（       ）
A．－ B． C． D．－4
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】解析因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)
＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，
因此有－－≤－，即－－的上确界为－．故选：A
7.（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】因为，所以，所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故选：A
8.（2022·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（       ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
9.（2022·全国·高一课时练习）已知，条件，条件，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.
【详解】因为，由得：，
则，
当且仅当，即时取等号，因此，，
因，，由，取，则，，即，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
10.（2021·江苏·高一单元测试）若正实数，满足，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对等式直接利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】，
，
当且仅当，即等号成立，
故选：B

11..（2020·江苏省震泽中学高一阶段练习）若实数满足，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】解：，又，，令，
则，，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．故选：A．
12.（2021·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为（       ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.
【详解】因，且，则，即有，同理，
由得：，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.故选：D
·13.（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解.
【详解】根据题意可得，由，所以，
由，可得，即，
，
当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.
14.（2021·全国·高一专题练习）已知实数，则的最小值是（       ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】用换元法，设，化简后用基本不等式得最小值．
【详解】因为，设，则，
．
当且仅当且即，，时等号成立，
故选：D．
15.（2021·江苏·高一专题练习）已知，，，则 的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用 ，然后利用，将化为，再利用基本不等式求出其最小值，从而得到，再化为积为定值的形式后根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为，，，且，
则 ，
由，可得，
当且仅当时，取得等号，
则，当且仅当时，取得等号，则所求的最小值为．
故选：D