新高一预习：题型分类细讲精练07 函数：高中常见函数的单调性与值域、最值（人教数学A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29637" 【题型一】单调性定义 PAGEREF _Tc29637 1
\l "_Tc26864" 【题型二】1：反比例函数 PAGEREF _Tc26864 3
\l "_Tc19275" 【题型三】2：一元二次函数 PAGEREF _Tc19275 5
\l "_Tc14748" 【题型四】3：分段函数 PAGEREF _Tc14748 7
\l "_Tc23986" 【题型五】4：“对勾”函数 PAGEREF _Tc23986 8
\l "_Tc22209" 【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数） PAGEREF _Tc22209 10
\l "_Tc25677" 【题型七】6：无理函数 PAGEREF _Tc25677 12
\l "_Tc5999" 【题型八】7：max与min函数 PAGEREF _Tc5999 14
\l "_Tc22758" 【题型九】8：“放大镜”函数 PAGEREF _Tc22758 15
\l "_Tc31062" 【题型十】9：取整函数（高斯函数） PAGEREF _Tc31062 17
\l "_Tc18747" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc18747 19
\l "_Tc26337" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc26337 22
\l "_Tc17184" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc17184 25
【题型一】单调性定义
【典例分析】
下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为，若，当时，，则函数是上的减函数
B．函数的定义域为，若，当时，，则函数不是上的增函数
C．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数
D．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在上是增函数
【答案】C
【分析】根据函数单调性定义知AB正确，举出反例知C错误，D选项两区间有重合部分，正确，得到答案.
【详解】由减函数的定义，知A说法正确；
对于B，，当时，，所以不是上的增函数，B说法正确；
对于C，若，则在[0，1]和（1，2]上均是增函数，但在[0，2]上不是增函数，C说法错误；
对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确.
故选：C．
【变式训练】
1.若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．
【详解】解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.
若，则，故选项C不正确.
故选：C.
2.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ）
A．若为增函数，为增函数，则为增函数
B．若为减函数，为减函数，则为减函数
C．若为增函数，为减函数，则为增函数
D．若为减函数，为增函数，则为减函数
【答案】C
【解析】根据函数的单调性定义及性质，可判断选项A，B，D选项正确，选项C可结合具体函数说明其不正确.
【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，
选项A,B正确；
选项D: 为增函数，则为减函数，为减函数，为减函数，选项D正确；
选选C:若为增函数，为减函数，则的增减性不确定.
例如为上的增函数，当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数，故不能确定的单调性.故选:C
3.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对任意，，且都有，可知函数在上单调递减，结合选项即可判断．
【详解】“对任意，，且都有”，
函数在上单调递减，
结合选项可知，
A ：在单调递增，不符合题意，
B：在单调递增，不符合题意，
C：在单调递增，不符合题意，
D：在单调递减，符合题意.
故选：D．
【题型二】1：反比例函数
【典例分析】
，，则取得最大值时的x值为______．
【答案】45
【分析】先对函数变形，判断函数的单调性，从而可求出函数的最值
【详解】，
此函数是由反比例函数向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的，
所以在和上单调递减，
因为，，
所以取得最大值时的x值为45．
故答案为：45
【变式训练】
1.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数只有最大值没有最小值
B．若，则函数只有最小值没有最大值
C．若，则函数有最大值没有最小值
D．若，则函数有最小值也有最大值
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可.
【详解】函数的定义域为，
，
由反比例函数的性质，得在单调递减，此时；
在单调递减，此时；
若，则在上取到，所以，
同理，在上取到，所以，
所以当，函数有最大值和最小值.故选：D
2.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值
【答案】A
【分析】先化简函数，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法
【详解】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.
3..已知函数，其定义域是，，则（ ）
A．有最大值，最小值
B．有最大值，无最小值
C．有最大值，最小值
D．有最小值，无最大值
【答案】D
【解析】利用分离常数法化函数，求出，时的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：函数，因为，，所以，，所以，；所以，，所以，，所以，，
所以有最小值为，无最大值．故选：．

【题型三】2：一元二次函数
【典例分析】
若函数在区间上的值域为，则（ ）
A．有最大值，但无最小值B．既有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值
【答案】A
【分析】取，判断无最小值；由于，故结合题意得，进而得答案.
【详解】解：，不妨设，则在上的值域为，
由于函数在区间上的值域为，所以，故无最小值；
因为，，，由于抛物线开口向上，
故， ，所以，
所以，当且仅当时取得最大值.故选：A.

【变式训练】
1.函数 的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法可求函数的单调减区间.
【详解】错解：令，是有，而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为.故选：A.
错因：没有考虑函数的定义域.
正解：
由可得或，故函数的定义域为.
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为.故选：D
2..已知在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【解析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．
【详解】解：因为的开口向上，对称轴，
①即时，此时函数取得最大值，
②当即时，此时函数取得最大值，
故，故当时，取得最小值．故选：．
3.若函数在区间上是增函数，则的最小值是
A．8
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，，，，，.故选C．
【题型四】3：分段函数
【典例分析】
.已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.
【详解】当时，，
值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，综上，即实数的取值范围是，故选：
【变式训练】
1.已知，，若，则的最值是（ ）
A．最大值为3，最小值B．最大值为，无最小值
C．最大值为3，无最小值D．无最大值，最小值为
【答案】B
【分析】作出的图象，其实表示的是较小的值.如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故可得答案．
【详解】解：根据已知条件，可以求出，
如图所示，在A处取得最大值，没有最小值.
由得.
所以有最大值，无最小值.
故选：B．
2..函数的最值情况为（ ）.
A．最小值0，最大值1B．最小值0，无最大值
C．最小值0，最大值5D．最小值1，最大值5
【答案】B
【分析】根据二次函数和反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递减，所以，
当时，函数单调递减，所以，
综上所述：，所以有最小值0，无最大值.故选：B.
【题型五】4：“对勾”函数
【典例分析】
.函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
【变式训练】
1.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域
【详解】解：令，，则．当时，单调递减，
当时，单调递增，又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，故选：B．
2.设，函数在区间上的最小值为m1，在区间上的最小值为m2，若，则a的值为（ ）
A．1B．2C．100D．1或100
【答案】D
【分析】f(x)为对勾函数，可以根据其图像知道其在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a的范围分类讨论，求出的值，代入求解﹒
【详解】为对钩函数，在上单调递减，在上单调递增．
当时，；
当时，．
因此总有，
即2020，解得或．故选：D
3..函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，利用基本不等式求得，构造函数，证明出函数在上为增函数，由此可求得函数的最小值.
【详解】令，则，因为，所以，
又，令，其中，
任取、且，即，
则，
，，，，即，
所以，函数在上为增函数，因此，.
故选：C.
4.．函数的最小值为（ ）
A．2B．C．1D．不存在
【答案】B
【解析】令，原函数化简为，在上也是增函数，可得当，．
【详解】令，函数在上是增函数，
在上也是增函数．当，即，时，．故选：B．
【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数）
【典例分析】
已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.
【详解】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
因此⑴当时，在上单调递增，所以
，
或或
⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上，的取值范围为故选：D
【变式训练】
1.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（ ）
A．0B．C．2D．3
【答案】B
【分析】依题意, 函数y＝x－在[1，2]上是增函数即可求出最大值.
【详解】解:函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数．
当x＝2时，ymax＝2－＝.
故选:B
2..函数在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】A
【分析】由题意结合函数的单调性可得函数在上为减函数，即可得解.
【详解】∵函数在上为减函数，
∴.故选：A.
3.已知，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】转化条件得，根据函数单调性确定的取值范围后即可得解.
【详解】由题意
，
令，，由函数单调性可知，
所以当时，取最小值48.
故选：B.
【题型七】6：无理函数
【典例分析】
若的最小值与（）的最大值相等，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由在递增，可得为最小值，由在递增，可得取得最大值，解方程可得的值．
【详解】在定义域上是增函数，所以的最小值，又在定义域上是减函数，的最大值，所以
故选C．

【变式训练】
1.函数的值域为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求出该函数的定义域，分析该函数的单调性，利用单调性即可求出该函数的值域.
【详解】由题意可得，解得，则函数的定义域为，
由于函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数，
所以，函数在定义域上为增函数，
当时，该函数取得最小值，即；当时，该函数取得最大值，即.
因此，函数的值域为.
故选：A.
2.已知函数，则函数有（ ）
A．最小值1，无最大值B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值D．无最大值，无最小值
【答案】C
【分析】先用换元法将变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则的最值情况可知.
【详解】因为，令，所以，
所以，因为的对称轴为，所以在上递增，
所以，无最大值，所以的最小值为，无最大值，故选：C.
3.关于函数的最值的说法正确的是（ ）
A．既没有最大值也没有最小值B．没有最小值，只有最大值
C．没有最大值，只有最小值D．既有最小值0，又有最大值
【答案】B
【分析】求出函数的定义域,然后把函数的解析式进行分子有理化,最后利用函数的单调性的性质判断函数的单调性,最后选出正确答案.
【详解】函数的定义域为：.
,
函数在时,都是增函数且,因此
函数在时,是单调递减函数故函数有最大值,最大值为,函数没有最小值.故选：B
【题型八】7：max与min函数
【典例分析】
则函数的最小值是__________．
【答案】0
【分析】根据函数定义得出函数解析式，确定函数的单调性可得最小值．
【详解】由得或，得，
所以所以在上递减，在上递增，
．故答案为：0．
【变式训练】
1.设，其中表示a，b，c三个数中的最小值,则的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据的意义,画出函数图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.
【详解】
画出的图象,观察图象可知,当时,,当时,,
当时,,的最大值在时取得为9,故选D.
2.对，用表示，中较大者，记为，若，则的最小值为（ ）
A．-1B．0C．1D．4
【答案】C
【解析】根据定义求出的表达式，然后根据单调性确定最小值．
【详解】由解得：或，的解集为或，的解为，
∴，∴时，是减函数，时，是增函数，
∴．故选：C．
3.已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，根据函数的新定义可得的图象，由图象即可得最小值.
【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，
因为，所以的图象如图实线所示：
由可得，由可得，
由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以的最小值为，故选：B.
【题型九】8：“放大镜”函数
【典例分析】
定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用已知等式，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以有：，
因此有：，
当时，，所以，
因此当时，该函数有最大值，
故选：A
【变式训练】
1.定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求得，然后将转化为来求得的解析式，由此求得的最小值.
【详解】，
，
，
，，
依题意，且当时，，
所以，故当时，
取得最小值.
故选：C
2..定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据，结合当时函数的解析式求出当的解析式，然后根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】由.
当时，，当时，函数的最小值为.
故选：A
3.已知定义在上的函数满足，且当时，，则当时，函数的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数在上的解析式，再由二次函数性质得最小值．
【详解】∵时，．
∴，
由二次函数的最值易知最小值为，
故选：．
【题型十】9：取整函数（高斯函数）
【典例分析】
世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，将解析式变形，分析的取值范围，结合取整函数的定义，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设，则，
在区间上，，且为增函数，则有，
在区间上，，且为增函数，则有，
综合可得：的取值范围为或，
又由，则的值域为，2，.
故选：B．
【变式训练】
1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．区间，上的值域为，
B．区间，上的值域为，
C．区间，上的值域为，
D．区间，上的值域为
【答案】A
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象可知，在，的值域也为，.
故选：A
2.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立，此时；
又因为，所以，函数的值域为，
当时，；当时，；
当时，.综上所述，函数的值域为.故选：D.
3.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合表示不超过的最大整数，利用函数的值域求法求解.
【详解】解：，因为，
所以，，则，当时，；
当时，；当时，；
所以函数的值域是，故答案为：D
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.若是上的严格增函数，令，则是上的（ ）
A．严格增函数B．严格减函数
C．先是严格减函数后是严格增函数D．先是严格增函数后是严格减函数
【答案】A
【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.
【详解】解：因为是R上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，也是R上的严格增函数，所以是R上的严格增函数.故选：A.
2．函数在区间［2，5）上的最大值、最小值别是
A．，4 B．无最大值，最小值7 C．4，0 D．最大值4，无最小值
【答案】D
【详解】试题分析：，函数在区间［2，5）上是减函数，时函数取得最大值4，没有最小值
3.若函数，则在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】首先利用换元法求出的解析式，再利用二次函数的性质求最值即可求解.
【详解】令，则，
所以，
所以，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，
，，
所以在上的最大值与最小值之和为，故选：A.
4.函数的最小值是
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．
【详解】当时，的最小值为；
当时，递减，可得，
综上可得函数的最小值为0．
故选B．
5.函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，则，得到函数的单调区间，计算函数值得到值域.
【详解】设，，，则，则，
根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
故函数值域为.故选：C.
6.已知函数在区间上的最大值为（ ）
A．0B．3C．D．4
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的性质，得到函数在区间单调递增，即可求解最大值，得到答案.
【详解】由题意，根据初等函数的性质，可得函数在区间单调递增，
所以函数的最大值为.故选C.
7..的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．
【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为，
又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，
故选：D.
8.用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为
A．-2B．-3C．-4D．-6
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，所以，故选B．
9..函数满足，且，当时，，则当时，的最大值为___________.
【答案】1
【分析】根据条件写出时的解析式后求解
【详解】由题意得，，
若，则，
∴，即，
∴上，当时的最大值为1.
故答案为：1
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
培优第二阶——能力提升练
1.“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A．存在满足B．存在满足
C．存在且满足D．存在且满足
【答案】D
【分析】由函数在区间上不是增函数举例说明A，B，C错误，由此确定正确选项.
【详解】∵ 函数在区间上不是增函数，但对于任意的，，
∴ “存在满足”不是“函数在区间上不是增函数”的充要条件，选项A错误，
∵ 函数在区间上不是增函数，但对于任意的，，
∴ “存在满足”不是“函数在区间上不是增函数”的充要条件，选项B错误，
∵ 函数在区间上不是增函数，任意的且时，
∴ “存在且满足”不是“函数在区间上不是增函数”的充要条件，选项C错误，
故选：D.
2.若函数的定义域是，则其值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性，求函数的值域.
【详解】函数在和都是单调递函数，
当时，，时，，时，，
所以函数的值域是.故选：D
3.已知函数在上单调递减，且在上的最小值为，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】首先根据在上的最小值为，利用单调性求得实数的值，然后验证函数在区间上是否单调递减即可．
【详解】由函数在上单调递减可知，
当时，函数有最小值，
即：，解得：，
当时，，函数单调递减，满足题意．
故选：B．
4.已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（ ）
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
【答案】D
【分析】易得F(x)为与中较小的函数值，故求解与的大小，分段讨论即可
【详解】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；
②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)