新高一预习：题型分类细讲精练20 三角函数拆角与恒等变形（人教数学A版2019必修第一册）

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专题20 三角函数拆角与恒等变形

目录
【题型一】辅助角基础 1
【题型二】辅助角最值 3
【题型三】拆角1：互余拆角 4
【题型四】拆角 2：互补拆角 6
【题型五】拆角3：二倍角与半角拆角 7
【题型六】拆角4：和与差 9
【题型七】拆角5：和为特殊角的拆角 10
【题型八】正切拆角 12
【题型九】 正切和为特殊角的恒等变形 14
【题型十】分式型拆角（难点）1：借助30度角拆角相消 15
【题型十一】分式型拆角（难点）2：借助60度角拆角相消 16
培优第一阶——基础过关练 17
培优第二阶——能力提升练 19
培优第三阶——培优拔尖练 22


【题型一】辅助角基础
【典例分析】
已知，，，则（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先由已知条件得到，再利用两角差的正切公式求解即可.
【详解】由，得，即，由，
【提分秘籍】
基本规律


【变式训练】
1.若，则k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可.
【详解】
∵，
∴
所以.故选：B.
2. 的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角拼凑，由两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】
故选：D
3.（2012·全国·高考真题（文））当函数取得最大值时，___________.
【答案】
【详解】试题分析：，所以当时函数取得最大值，此时

【题型二】辅助角最值
【典例分析】
若函数f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式把目标函数化简，求出的值，从而可得sinα的值.
【详解】，
设，则.
由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为，
.故选B.

【提分秘籍】
基本规律
辅助角范围满足：

【变式训练】
1.已知函数，对，成立，则_______.
【答案】1
【分析】
利用辅助角公式和为的形式：，根据已知可得是f(x)的图象的对称轴，进而求得，利用的关系和诱导公式求得的值.
【详解】
解：，
其中.∵对，成立，∴是f(x)的图象的对称轴，即,∴，，故答案为：1.
2.函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变化公式将函数化成的形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A.
3.已知函数的图象关于对称，且，则的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
【详解】因为，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，
即，化简得，
所以，即，
所以，
故选：C.

【题型三】拆角1：互余拆角

【典例分析】
．已知为锐角，且，则（    ）
A． B． C． D．

【答案】C
【分析】根据角的范围和同角三角函数之间的基本关系求出，结合诱导公式计算化简即可.
【详解】，
∵为锐角，∴，
∴故选：C．

【提分秘籍】
基本规律
两个复杂的角度，可以考利两个角度的“和”或者“差”是否是90。，或者是否终边与90终边相同，复合这类规律的可以拆角来使用诱导公式转化

【变式训练】
1.若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式直接计算即可得出结果.
【详解】因为.故选A.
2.已知，则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据角的配凑，得，即可求解出答案.
【详解】由题意，
故选：B.
3.已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，利用诱导公式，即可求的值.
【详解】由，则.故选：B.


【题型四】拆角 2：互补拆角
【典例分析】
若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式直接计算即可得出结果.
【详解】因为.
故选A.

【提分秘籍】
基本规律
两个复杂的角度，可以考利两个角度的“和”或者“差”是否是180。，复合这类规律的可以拆角来使用诱导公式转化

【变式训练】
1.已知,且,则______．
【答案】0
【分析】先用换元,再用诱导公式,将所求转化为换元后的三角函数,计算结果即可.
【详解】解:由题知,令所以,

故答案为:0
2.已知，且满足，，则（       ）
A．1 B．或1
C．或1 D．1或-1
【答案】C
【解析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得和，用平方关系求得和，而，展开后计算，注意分类讨论．
【详解】∵，∴，，
，，，
∴，，
，
当时，，
当时，，故选：C．

【题型五】拆角3：二倍角与半角拆角
【典例分析】
已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角正弦公式、诱导公式得到，再弦化切，即可得解.
【详解】

.故选：A

【提分秘籍】
基本规律
二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α (S2α)
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
tan 2α＝ (T2α)
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝

【变式训练】
1.已知，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出的值，从而根据变名的诱导公式可求出答案.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C．
2.设为锐角，若，则的值为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据为锐角，，得到，再利用二倍角公式得到，，然后再由求解.
【详解】解：为锐角，，，
，．
故，，
，故选：．
3.若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换求解.
【详解】因为，所以，，
，，，，
，.故选：C


【题型六】拆角4：和与差
【典例分析】
已知，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由角的变换可知，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】解:,,,,,

.故选：D


【提分秘籍】
基本规律
解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：，，，，，等．

【变式训练】
1.已知、满足，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，代入等式，利用两角和与差的正弦公式化简可得出，结合已知条件可求得的值.
【详解】，，
所以，，
，
所以，，
，因此，.故选：D.
2.已知、为锐角，，，则（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为，，则，
所以，，.
当时，
；
当时，.
综上所述，的值为或.故选：D.
3.已知，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，结合同角平方关系可求cos()、sin()，然后根据，由两角差的余弦展开可求值．
【详解】∵，∴，．∵，
∴，则cos()＝，∵，∴sin()＝．
＝cos()cos()+sin()sin()
＝．故选：C．

【题型七】拆角5：和为特殊角的拆角
【典例分析】
已知为钝角，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出，再利用和角的余弦公式计算求解.
【详解】∵为钝角，且，∴，∴
．故选：C


【提分秘籍】
基本规律
当题中的角“和”为等，称之为“特殊角的拆角”。
【变式训练】
1.已知，则（    ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】A
【分析】将看成，利用两角和的正切公式可求的值.
【详解】 ，故选：A.
2.，，则__________．
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式可求得结果.
【详解】由已知条件可得
.故答案为：.
3.已知，其中为锐角，则的值为__________．
【答案】
【详解】
【题型八】正切拆角
【典例分析】
已知为锐角，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求得，根据求得，再根据正切的差角公式求解即可.
【详解】因为为锐角，所以
所以，
因为，所以，
.故选：C.

【提分秘籍】
基本规律
两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝　(T(α＋β))
tan(α－β)＝　(T(α－β))

【变式训练】
1.已知，，那么等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出题中，，之间的关系，然后利用正切的和角公式求解即可.
【详解】由题知，
，
所以.故选：B.
2.已知，，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果.
【详解】因为，，
则
.故选：A.
3.设满足，，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】解法1：使用诱导公式可得，然后根据两角和的正切公式进行计算可得结果；解法2：根据条件计算，然后根据两角和的正切公式计算即可.
解法3：依据，按公式直接计算即可.
【详解】解法1：，

解法2：由，解得，
，解得，，
解法3：

，故选：A

【题型九】 正切和为特殊角的恒等变形
【典例分析】
已知,则
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】直接利用正切的两角和公式展开变形可得解.
【详解】，.故选C.
【变式训练】
1.已知，则的值为（　　）
A．2 B．1 C．-2 D．不确定
【答案】A
【分析】由题得展开即得解.
【详解】因为，
所以
所以
所以.
故选A
2..已知，则______．
【答案】2
【分析】将代入目标式，利用两角差的正切公式化简计算即可.
【详解】，

故答案为：2.
3..（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切两角差的公式即可求解.
【详解】因为；
故，
故选：D
【题型十】分式型拆角（难点）1：借助30度角拆角相消
【典例分析】
..（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用，结合两角和的正弦公式可求出结果.
【详解】
.故选：D
【变式训练】
1.（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】等价于，利用两角和的余弦公式展开即可得解.
【详解】原式
。故选：C
2.（    ）
A．1 B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用两角和的正弦公式将展开化简即可求解.
【详解】
，
故选：B
3..的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值.
【详解】.
故选：B
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

【题型十一】分式型拆角（难点）2：借助60度角拆角相消
【典例分析】
化简：值是________．
【答案】
【分析】利用和差角的余弦公式和诱导公式进行化简即可
【详解】解：
，
故答案为：
【变式训练】
1.化简所得的结果是（       ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先切化弦并整理得，再结合展开整理即可得答案.
【详解】解：

.故选：B
2.化简：__________.
【答案】
【分析】将正切化为弦后通分,利用两角差的正弦公式的逆用公式化简,然后用二倍角的正弦公式以及诱导公式可得答案.
【详解】原式
故答案为:
3.．（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把化成即得解.
【详解】解：
.故选：A.


分阶培优练

培优第一阶——基础过关练
1．（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于容易题.
2．化简的结果为（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用结合和差角的余弦公式化简即得解.
【详解】

．
故选：A
【点睛】本题主要考查和角差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．等于（    ）
A．- B． C． D．－
【答案】C
【分析】由两角和的正切公式计算．
【详解】．
故选：C．
【点睛】本题考查两角和的正切公式，属于基础题．
4．已知，，则（    ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】A
【分析】直接根据两角差的正切公式计算，即可得到答案；
【详解】，
故选：A.
【点睛】本题考查两角差的正切公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.
5．已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan(α+β)＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理求得，结合正切的和角公式即可求得结果.
【详解】因为tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，
故可得；，
故可得.
故选：.
【点睛】本题考查正切的和角公式，属简单题.
6．已知，则（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由两角差的正切公式计算．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于简单题．掌握两角和与差的正切公式是解题关键．
7．化简的值为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】，然后计算可得，最后代入可得结果.
【详解】由
所以

则，
.
故选：B
【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，重在于化简，考查观察能力以及计算能力，属基础题.
8．已知为第二象限角，且，则=（    ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由，求得，利用平方关系，求得，，再用两角差的正切公式求得答案.
【详解】由，则，又为第二象限角，
则，得，
又.
故选：B
【点睛】本题考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系式，两角差的正切公式，属于基础题.
9．已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得，再根据二倍角的余弦公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
10．已知：α，β均为锐角，tanα，tanβ，则α+β＝（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.
【详解】解：由于α，β均为锐角，tanα，tanβ，
所以.
所以.
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.



培优第二阶——能力提升练
1．已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】由得：，
即，，
.
故选：B.
2．已知，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求.
【详解】因为，所以，
即，
所以．
故选：C．
3．函数的最小值为（    ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，由，根据正弦函数的性质即可求解最小值．
【详解】解：
，因为，所以，则函数的最小值为．故选：A．
4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程变形为，令，结合二次函数性质求得，即可求得实数的取值范围.
【详解】关于的方程有解,即有解，
令，则，
由于，故当时，取得最大值；
当时，取得最小值，
即，故，
故选：B.
5．已知，则（       ）
A． B． C． D．
6．已知，则__________．
【答案】
【分析】利用余弦的二倍角公式和诱导公式计算即可.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：．
7．若函数的一个零点为，则______．
【答案】
【分析】由题意, 利用函数的零点, 求得的值, 再利用辅助角公式和两角差的正弦公式化简 , 可得.
【详解】 函数的一个零点为,,
, 函数,
.
故答案为: .
8．已知，若，则__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用和差角的正余弦公式、二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】由知，，由得：
，
即，
有，，
所以.
故答案为：
9．已知，且，则______.
【答案】
【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】，
又，所以，又，所以，
所以为负值，所以.
故答案为：.
10．己知函数，则的最小值是_________.
【答案】
【分析】先将函数转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数的最大值和最小值，从而得出结果．
【详解】解：由题意可得，
其中，，且．
因为,
所以.
所以的最小值是.
故答案为：

培优第三阶——培优拔尖练
1．若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数，应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.
【详解】已知，
，
若是奇函数，则即可，
可以取，.
故答案为：（答案不唯一）
2．已知，则___________.
【答案】
【分析】根据同角三角函数基本关系，求出，再由角的变换及两角差的正切公式求出，即可得解.
【详解】，，
，，
，
，.故答案为：.
3．已知，则___________.
【答案】
【分析】对条件和结论分别作恒等变换，再运用二倍角公式即可求解.
【详解】由条件： 得： ，即，  ；
；故答案为： .
4．若函数满足，则实数______.
【答案】##
【分析】由可知函数的对称轴方程，把对称轴方程代入函数解析式得到函数最值，可解出实数.
【详解】函数满足，所以函数图像的对称轴为直线 ，
， 其中，
∴，
，，
，两边同时平方，化简得，
∴.故答案为：
5．求值_________．
【答案】##
【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.
【详解】 ，故答案为：.
6．已知为锐角，，求的值．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的平方关系以及余弦的和差公式，通过“凑角”即可求解.
【详解】解：，
又，所以，
又，所以，
又，所以，所以=，故答案为：
7．在中，若，则_________.
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简可得的值，再利用二倍角的正切公式化简可得的值.
【详解】因为，
所以，，
由题意可得，
若，则，不妨设为锐角，则，
则，不合乎题意，
所以，，故，因此，.
故答案为：.
8．已知函数，若对任意实数都成立，则______．
【答案】##0.375
【分析】化简，其中，由题意可得为最大值，可得，利用二倍角公式和诱导公式即可求解
【详解】因为，其中，
因为对任意实数都成立，所以为的最大值，
所以，即，
所以，，
所以故答案为：
9．已知，则___________.
【答案】##0.25
【分析】将变为，结合诱导公式和二倍角公式化简，解方程求得答案.
【详解】由可得，
即，则，即，
解得或（舍去），故答案为：
10．已知，且，则____________．
【答案】##
【分析】由三角恒等变换公式化简后求解
【详解】
，
，因为，所以，，
所以．
故答案为：