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高考圆锥曲线题型专题分析——第六节双曲线方程与性质（全国通用）

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这是一份高考圆锥曲线题型专题分析——第六节双曲线方程与性质（全国通用），文件包含第六节双曲线方程与性质教师版docx、第六节双曲线方程与性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页，欢迎下载使用。

第六节双曲线的方程与性质
知识框架

知识点归纳
1.双曲线的定义
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①若a ②若a＝c，则集合P为两条射线；
③若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形

性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[常用结论]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.

题型归类
题型一双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
答案　B
解析　如图，连接ON，

由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.
因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
感悟提升　在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.

题型二双曲线的标准方程
例2 (1已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由题可知c＝，故a2＋b2＝5，
因为P(2，1)在C的一条渐近线上，
所以＝，解得a＝2，b＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e＝，且该双曲线经过点(2，2)，则该双曲线的标准方程为________________.
答案　－x2＝1
解析　由题意，知e＝＝＝，
解得a＝2b，
当焦点在x轴上时，
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∵点(2，2)在该双曲线上，
∴－＝1，
即－＝1，此方程无解；
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
－＝1(a＞0，b＞0)，
∵点(2，2)在该双曲线上，
∴－＝1，
即－＝1，解得b＝1，
∴a＝2，
∴该双曲线的标准方程为－x2＝1.
感悟提升　1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).

题型三双曲线的简单几何性质
角度1　渐近线
例3 (1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为________.
答案　y＝±2x
解析　设双曲线C的焦半距为c，
则由题可得则＝5，
即＝4，＝2，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线C的渐近线方程为________________.
答案　y＝±x
解析　由题意，将x＝c分别与－＝1和y＝x联立，
可得A，B，
又F(c，0)，且＝(＋)，
即＝，
∴b＝，＝＝，
∴渐近线方程为y＝±x.
角度2　离心率
例4 (1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为(　　)
A.2 B.
C. D.
答案　A
解析　由题知F(c，0).
又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝c，
所以双曲线C的离心率e＝＝2.
(2)(2023·烟台调研)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________.
答案　(1，2)
解析　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，
由正弦定理得|PF1|＝3|PF2|，
又点P是双曲线C上第一象限内的一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，
由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，
得3a＋a＞2c，即2a＞c，
所以e＝＜2，
又e＞1，所以1＜e＜2.
感悟提升　1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
训练3 (1)(2023·武汉调研)如图，已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的渐近线方程为________.

答案　y＝±x
解析　依题意，设B(m，n)，F(c，0)，
联立解得A.
∵∠OAF＝90°，∴kAF·kOA＝－1，
即·＝－1，∴n＝，
又B(m，n)在双曲线C上，可得－＝1，
把n＝代入，得m2＝.
由∠OBF＝∠OFB，得|OB|＝|OF|，
∴m2＋n2＝c2，即＋＝c2，
∴a＝b，∴C的渐近线方程为y＝±x.
(2)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________.
答案　
解析　如图所示，

∵OQ∥PF，
∴∠AOQ＝∠OFP.
又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，
∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，
∴△OPF为等腰三角形，作PM⊥OF，垂足为M，
过点B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D，
则Rt△OMP∽Rt△OBD，|OB|＝a，|BD|＝b，
|OM|＝|OF|＝c，|OP|＝a，
|PM|＝＝，
由相似三角形的性质可得＝，
∴＝＝，
整理可得c4＝4a4，∴e＝＝.

题型四双曲线几何性质的综合应用
例5 (1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝36的左、右焦点，A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点，若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为(　　)
A.18 B.18
C.36 D.36
答案　C
解析　由题可知，C的实轴长2a＝12，|F1F2|＝12.
如图，延长AF2，F1B交于点D，

∵点B在以AF1为直径的圆上，
∴AB⊥F1B，又AB为∠F1AF2的角平分线，
∴|AF1|＝|AD|，B为F1D的中点.
连接OB，则OB是△DF1F2的中位线.
由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝12，
故|F2D|＝|AD|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝12，
∴|OB|＝|F2D|＝6，
故点B的轨迹是以原点O为圆心，6为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝36.
显然，当点B的坐标为(0，6)或(0，－6)时，△BF1F2的面积取得最大值，最大值
S＝|F1F2|×6＝×12×6＝36.
(2)(2022·上海春季高考)已知双曲线Γ：－y2＝1(a＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是________.
答案　[1，＋∞)
解析　设O是坐标原点，点P3与点P2关于x轴对称，

如图，则P3(x2，－y2)，·＝x1x2－y1y2＞0，
即·＞0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，
∴∠MON≤90°，
∴双曲线Γ的其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，
又a＞0，∴a≥1，
即a的取值范围是[1，＋∞).
感悟提升　1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.

题型五椭圆与双曲线的常用二级结论
1.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是
2.(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)焦半径公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F1，F2分别为左、右焦点.
(2)双曲线－＝1(a，b＞0)的焦半径公式
|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|.
3.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为
－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝.
4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，
当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
例 (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为(　　)
A.5 B.
C. D.
答案　D
解析　[通法]由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
可知＝2，即b＝2a.
又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，
所以e2＝＝5，即e＝.
[优解]由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
可知渐近线的斜率k＝±2.
根据结论(3)，得e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是(　　)
A. B.
C.16 D.32
答案　A
解析　[通法]由椭圆＋＝1的焦点为F1，F2
知|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°，
即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝.
所以S△F1PF2＝·|PF1|·|PF2|·
sin∠F1PF2＝mnsin 60°＝.
[优解]依题意知b＝4，
根据结论(1)，得S△F1PF2＝b2tan
＝16×tan ＝.
训练 (1)经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　由题意知，可设所求的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
点M(2，2)在双曲线方程上，
所以－＝λ，λ＝－6，
故所求的双曲线方程是－＝1.
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一个点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的横坐标为________.
答案　
解析　设点P的横坐标为x0，
由双曲线焦半径公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，
结合条件|PF1|＝3|PF2|，
则ex0＋a＝3(ex0－a)，
又a＝4，c＝5，可得e＝，所以x0＝.

课时作业
一、单选题
1．若双曲线的一个焦点为，则（    ）．
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】根据的关系计算可解．
【详解】因为双曲线的一个焦点为，
所以，所以，解得．
故选：D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合双曲线的性质，结合三角形中余弦定理构造齐次式，可得双曲线的离心率.
【详解】
如图所示，由已知得，，，
且，则，
在中，由余弦定理，得，即，整理得，所以，
故，
故选：B.
3．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使，只需满足为锐角，只需满足，即，将此式转化为关于、的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围．
【详解】解：双曲线的左焦点为，
令则，解得，
不妨令，，
依题意要使，只需满足为锐角，只需满足．
在中，，
即，两边同除以可得，解得，
又，所以，即离心率的取值范围是．
故选：D．
4．设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，化简不等式即得解.
【详解】由条件得，所以，即，
又因为，所以，
即，得，
又，所以．
故选：C
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常用的方法有：（1）定义法（求出代入离心率公式即得解）；（2）方程法（化简已知得到关于的方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．设双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线交于，两点，若以线段为直径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，直线AB的方程为，代入，求得交点坐标，得到以线段为直径的圆的圆心和半径，再根据双曲线的渐近线与圆相切求解.
【详解】根据题意，直线AB的方程为，代入，得，
所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，
因为渐近线与圆相切，所以，化简得，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查双曲线的方程，渐近线和离心率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由，得．
因为，
所以．
又因为，
所以，
故双曲线的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，
故．
不妨设，则，
所以，
所以．
故选：B．

二、多选题
7．在平面直角坐标系中，为了使方程表示准线垂直于轴的圆锥曲线，实数的取值范围可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】将方程化为，讨论和的情况即可求出.
【详解】显然，方程可化为，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，满足准线垂直于轴，
当时，则由题应满足，解得，
综上，或.
故选：AB.
8．设双曲线的右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点.若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是（    ）.
A． B．的面积为
C．双曲线的离心率为 D．直线的方程是
【答案】ABD
【解析】根据对称的关系并结合焦点到渐近线的距离以及点到直线的距离公式可求解出；根据求解出的面积；利用线段长度结合双曲线定义分析C、D选项.
【详解】设左焦点为，与的交点为，如下图所示：

因为点与点关于直线对称，所以，为中点，且为中点，所以，，
又因为，所以，所以，所以，故A正确；
又因为，且，所以，故B正确；
由双曲线的定义可知：，所以，所以，
所以，，所以，故C错误，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的定义与几何性质的综合应用，属于中档题.解答本题的关键：通过点的对称关系，分析出线段的位置关系以及线段的长度之间的关系.

三、填空题
9．双曲线的焦距为______.
【答案】
【分析】求出的值，由此可得出双曲线的焦距.
【详解】在双曲线中，，，则，
因此，双曲线的焦距为.
故答案为：.
10．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则 ________．
【答案】3
【分析】根据向量的线性关系知分别为中点，结合双曲线的定义即可得结果.
【详解】由题意，分别为中点，
所以
故答案为：3
11．设点，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过点作直线l与双曲线C的左、右支分别交于A，B两点，若且，则双曲线C的离心率为______.
【答案】.
【分析】利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解可得，再由双曲线的离心率公式即可得解.
【详解】因为，所以设，，
因为，所以，
由双曲线的定义可得，解得，，
在中，，
设，
在中，由余弦定理可得
，
所以，所以，
所以离心率.
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦定理及双曲线性质的应用，考查了双曲线离心率的求解及运算求解能力，属于中档题.
12．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
【答案】
【详解】将双曲线方程化为标准方程得，抛物线的准线为，联立，解得，即点的横坐标为，而由，解得，∴，解得，∴抛物线的准线方程为，故答案为.

四、解答题
13．已知命题直线经过第二､三､四象限，命题：方程表示双曲线，若为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】分别求得命题和都是真命题时，实数的取值范围，再结合为真命题，即可求解.
【详解】由命题直线经过第二､三､四象限，可得，解得；
由命题：方程表示双曲线，可得，解得，
因为为真命题，即命题和命题都是真命题，可得，
即实数的取值范围.
14．（1）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离4，求抛物线的标准方程；
（2）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，且，求双曲线C的标准方程．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）根据题意，设抛物线方程，由抛物线的定义可知，到准线的距离为4，即可得的值，将的值代入抛物线方程即可得答案；
（2）根据题意，由双曲线的定义可得，可得，所以得，将点的坐标代入计算可得的值，将的值代入双曲线的方程计算即可得答案
【详解】解：（1）根据题意，设抛物线方程，由抛物线的定义可知，到准线的距离为4，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
（2）由双曲线的定义可得，可得，所以得，
因为点是双曲线上的点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
15．已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且过点，直线交双曲线于A、B两点，且原点O到直线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由椭圆的方程得其焦点，又由已知得，代入已知点，可求得双曲线C的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由已知求得A、B两点的坐标，根据向量的数量积运算及向量垂直的坐标表示可得证；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，再将直线的方程与双曲线的方程联立整理得，设，得出根与系数的关系，代入运算求得，可得证.
【详解】解：（1）因为椭圆的焦点为，又双曲线C：与椭圆有相同的焦点，
所以，因为双曲线C：过点，所以，即，
化简得，解得（舍去），所以，
所以双曲线C的方程为：；
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，因为原点O到直线的距离为.所以直线的方程为，
此时设A、B两点的坐标为，
所以，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为原点O到直线的距离为，所以，整理得，
直线的方程与双曲线的方程联立，整理得，
设，则，
所以

，
所以，
综上可得.
16．双曲线的离心率，且过点
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解；
（2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为，代入点即可得解.
【详解】（1）因为离心率，所以，
又因为点在双曲线C上，所以，
联立上述方程，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线经过点，则，即，
所以所求双曲线的方程为，其标准方程为.