高考圆锥曲线题型专题分析——第七节 抛物线方程与性质（全国通用）

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第七节 抛物线方程与性质
知识框架

知识点归纳
1.抛物线的定义
(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形




标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.

题型归类
题型一 抛物线的定义和标准方程
例1 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为________.
答案　
解析　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，
分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，
根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，
所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|＋|NF|)＝，
所以线段MN的中点到y轴的距离为－1＝.
(2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝________.
答案　2
解析　由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
设A，
则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).
不妨取A(1，2)，
则|AB|＝＝＝2.
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
答案　x＝－
解析　法一(解直角三角形法)　由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，即＝，解得p＝3，
所以C的准线方程为x＝－.
法二(应用射影定理法)　由题意易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
法三(斜率法)　抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，
因为P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以不妨取P，所以kOP＝2.
因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，
因为Q为x轴上一点，所以设Q(x0，0)，
则＝－，x0＝，
所以|FQ|＝－＝6，p＝3，
所以C的准线方程为x＝－.
感悟提升　求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

题型二 抛物线的几何性质及应用
角度1　焦半径和焦点弦
例2 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t(t＞1)，|AB|＝，则t＝________.
答案　3
解析　由题意得焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，
代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得y1y2＝－4，①
由＝t，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，
有y1＝－ty2，②
∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，
y1＝2，即x1＝t，x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，
化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝(舍).
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案　2
解析　直线AB的方程为y＝x－，
与抛物线方程消去y得x2－3px＋p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
角度2　与抛物线有关的最值问题
例3 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
答案　
解析　如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).

依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.
将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，
则点P的坐标为.
(2)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
答案　2
解析　由题意知抛物线的准线l：y＝－1，
过点A作AA1⊥l交l于点A1，
过点B作BB1⊥l交l于点B1，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.
∵|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，
即|AF|＋|BF|≥6，
∴|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，
故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
感悟提升　与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.

题型三 抛物线的综合问题
例4 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解　设直线l的方程为y＝x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，
则x1＋x2＝－，
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0)，
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3，可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
感悟提升　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.

题型四 抛物线中的二级结论
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
例1 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A.4 B.
C.5 D.6
答案　B
解析　[通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，
由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
[优解]法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，

设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，
|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝.
又y2＝4x，知2p＝4，
故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二　因为|AF|＝2|BF|，
所以＋＝＋＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
例2 (2023·福州联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|＝(　　)
A. B.4
C.8 D.24
答案　C
解析　[通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴kAB＝＝＝.
∵线段AB中点的纵坐标为，
∴y1＋y2＝2，
又直线AB的倾斜角为，∴kAB＝，
即＝，得p＝3.
∴抛物线C的方程为y2＝6x，则焦点F，
直线AB的方程为y＝，
与抛物线方程y2＝6x联立并整理，
得3＝6x，即x2－5x＋＝0，
∴x1＋x2＝5，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.
[优解]　抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的弦长l＝，其中θ为焦点弦所在直线的倾斜角.
在求出p＝3后，可直接利用此二级结论得出|AB|＝＝＝8.
训练 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　[通法]由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
则yA＋yB＝3，yA·yB＝－，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[优解]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
(2)(2023·广州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x－1)与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝________________.
答案　
解析　[通法]由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知Δ＞0，x1＋x2＝＝＋2，
l：y＝k(x－1)过抛物线C1的焦点(1，0)，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＋2＝8，
解得k＝±1，
由对称性可知k＝1和k＝－1时，|MN|相同，
故不妨取k＝1，
则l的方程为：x－y－1＝0，圆心(2，0)到l的距离d＝＝，
∴|MN|＝2＝2×＝.
[优解]由题意知l：y＝k(x－1)过抛物线的焦点(1，0)，
故线段AB为焦点弦，设直线l的倾斜角为α，
∴|AB|＝＝8，∴sin α＝±，
故k＝±1.以下同通法.


课时训练

一、单选题
1．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（    ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】将点A的坐标代入抛物线方程求出p，在根据两点距离公式计算.
【详解】将 代入抛物线方程得，解得，则，故 ；
故选：A.
2．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴，若以为直径的圆截直线所得的弦长为2，则
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值．
【详解】把代入可得，不妨设M在第一象限，
则，
又，直线AM的方程为，即，
原点O到直线AP的距离，
以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，
，解得．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．
3．设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（    ）．
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】把抛物线方程化为标准方程，求出焦点坐标与直线的方程，进而可得点的坐标 ，再结合三角形面积公式即可求解
【详解】由题意可知：
抛物线的焦点，直线的方程为，
将代入得，
∴，
∴，∴．
故选：D
4．直线：与抛物线：交于不同两点、，是的焦点，若，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线方程变形代入抛物线方程消去，再设出，，利用韦达定理得出与，根据抛物线的定义得出，，根据已知列出式子，结合韦达定理得出的式子即可解出，，，再通过点到直线距离得出高，通过切线公式得出，即可求出答案.
【详解】直线：与抛物线：交于不同两点、，
，
直线：即为，
代入抛物线方程可得：，
且需，
设，，则、，
则，，
由于抛物线的准线为，
根据抛物线的定义可得，，
，
，
由①②③解得：，，，检验，成立，
，直线：，
点到直线的距离为：，
根据抛物线的弦长公式可得：，
，
故选：B.
5．已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由给定条件求出，再借助抛物线定义即可计算作答.
【详解】因点在抛物线上，则，抛物线的准线：，
又，于是由得：，因此，，而，解得，
所以的准线方程为.
故选：B
6．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过A，B作垂直准线，垂足为，过B作垂线，垂足为C，即可根据长度关系求出，继而得出倾斜角.
【详解】如图，过A，B作垂直准线，垂足为，过B作垂线，垂足为C，

由抛物线定义知,
所以，，所以直线倾斜角为.
故选:C.
【点睛】本题考查抛物线性质的应用，属于基础题.

二、多选题
7．已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（    ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．为定值
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
【答案】ABC
【分析】对于A，由抛物线的定义进行判断即可；对于B，由抛物线的定义和梯形的性质进行判断；对于C，由抛物线的焦半径得，而，代入中化简可得答案，对于D，过与抛物线相切的直线有2条，与轴平行的直线有1条，从而可判断
【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，其中
对于A，由抛物线的定义可知，，所以A正确；
对于B，取的中点，在直线上的投影为，在直线上的投影为，则由抛物线的定义可得，因为梯形两腰的中点，所以，所以以为直径的圆与准线相切，所以B正确；
对于C，若直线的斜率存在，设直线方程为，
由，得，则，
由抛物线的定义可知，所以，所以C正确；
对于D，过点M与抛物线相切的直线有2条，而过M与轴平行的直线有1条，所以过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，所以D错误
故选：ABC
8．（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．若，则 D．
【答案】ABD
【分析】由抛物线的定义可判断A；由抛物线焦点弦的性质可判断B，D；由抛物线的定义，可知，所以的最小值为，求出，可判断C.
【详解】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．
对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；
对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．
又的坐标为，所以，故C错误．
对于D，连接，则由，
得，又轴，所以，
同理，
所以，
所以，所以，所以D正确.
故选：ABD.


三、填空题
9．抛物线的焦点到准线的距离为______.
【答案】1.
【解析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得.
故答案为：1
【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.
10．已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与交于､两点，则以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为___________.
【答案】
【分析】根据题意求得线段的长度，从而求得圆半径，再利用弦长公式即可求得结果.
【详解】对抛物线：，其焦点为，令，可得，故，
则所求圆的半径，又圆心到轴的距离为，
故以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为.
故答案为：.
11．已知抛物线的焦点为F，圆为抛物线上一点，且，过M作圆F的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围为____________．

【答案】
【分析】首先求得抛物线方程，结合四边形的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得的取值范围.
【详解】由题意知圆F的圆心为，半径，抛物线方程，四边形的面积，又，所以，由抛物线定义，得，又，所以，所以，所以．

故答案为：
12．已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则___________．
【答案】
【分析】设直线斜率为，得出的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出，两点的坐标的关系，再根据列方程解出即可．
【详解】解：：由题意，知抛物线的焦点为，
设直线的方程为，
联立消去，得，
设，
则，，
所以＝，，
因为，所以＝，，
因为，所以，
整理得，
所以，
即，所以．
故答案为：1.

四、解答题
13．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.
【答案】
【分析】根据抛物线焦半径公式即可求解．
【详解】由抛物线得，设焦点为，
则
14．如图，已知定点轴于点， 是线段上任意一点，轴于点， 于点， 相交于点P，求P点的轨迹方程.

【答案】
【解析】设点P ， M ，其中则点E的坐标为，根据，得到直线的方程，根据点在直线上求得m，再根据点P在直线OE的上求解.
【详解】设点P ， M ，其中则点E的坐标为，
因为，
所以直线的方程为：，
因为点在 上，所以，
又直线OE的方程为，
因为点P在OE上，消去得：，
15．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到该抛物线焦点的距离转化为点到其准线的距离，当共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值..
【详解】∵(－2)20）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）根据题意可知、，由进而可得，利用直线的截距式方程写出直线的方程，将代入方程化简即可；
（Ⅱ）根据题意求出点D的坐标，利用两点坐标求直线斜率公式表示出，整理化简即可得出结论.
【详解】（Ⅰ）由题意知，．

因为，所以．
由于，故有①，
由点的坐标知，
直线的方程为．
又点A在直线上，故有，
将①代入上式，得，
解得．
（Ⅱ）因为点D在曲线上，则，
所以，所以直线的斜率为
．
所以直线的斜率为定值．