高考圆锥曲线题型专题分析——第五节 椭圆方程与性质（全国通用）

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第五节 椭圆的方程与性质
知识框架


知识点归纳
1.椭圆的定义
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
①若 ，则集合P为椭圆；
②若 ，则集合P为线段；
③若 ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b

对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点

A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为 ；短轴B1B2的长为
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈
a，b，c的关系
c2＝
[常用结论]
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S.
(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4.若AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－.

题型归类
题型一 椭圆的定义及应用
例1 (1)若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A.7 B.
C. D.




(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.








感悟提升　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

题型二 椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).










感悟提升　求椭圆方程的方法：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.

题型三 椭圆的简单几何性质
角度1　离心率
例3 (1)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A.若|AF1|＝|F1F2|，则C的离心率是(　　)
A. B.
C. D.




(2)如图所示，设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为________.





角度2　与椭圆几何性质有关的最值、范围问题
例4 (1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A.2 B.3
C.6 D.8




(2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________.




感悟提升　1.求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.

课时检测
一、单选题
1．已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（    ）
A． B． C． D．
2．以椭圆右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
3．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（    ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
5．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，若，则等于（    ）
A．1 B． C． D．2
6．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的（    ）

A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
8．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．准线方程为 D．周长为16

三、填空题
9．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________．
10．设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.
11．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．

四、解答题
13．已知动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离和点M到定直线l：x＝的距离之比是常数，求动点M的轨迹．
14．求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率的椭圆方程．
15．已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
16．已知、为椭圆的左、右焦点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？
若存在其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.