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精品解析:内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试文科数学试题(解析版)
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这是一份精品解析:内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试文科数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了 在复平面中,复数, 已知集合,,则, 函数的图象大致是, 函数的值域为, 下列说法正确的有, 函数的零点所在区间是等内容,欢迎下载使用。
2022-2023年度(下)满市一中期末考试试题
高二数学(文科)
(考试时间120分钟,满分150分)
一.选择题(每题5分,共60分)
1. 在复平面中,复数(为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法化简所求复数,利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为,该复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选:D.
2. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合,根据函数的定义域及解对数不等式化简集合,由交集运算即可求解.
【详解】由,解得,故.
由,可得,故,
则.
故选:C.
3. 下列函数中,在区间上单调递增的是( )
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.
【详解】对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故A错误;
对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故B错误;
对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,
所以在上单调递增,故C正确;
对于D,因为,,
显然在上不单调,D错误.
故选:C.
4. 函数的图象大致是( )
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及零点个数排除即可.
【详解】易知的定义域为,且,
所以函数为奇函数,故排除AB.
令,可得,解得,
所以在上只有一个零点,故排除C,
故D正确.
故选:D.
5. 函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的取值集合,再利用指数函数的单调性求解作答.
【详解】函数定义域为R,,又函数在R上单调递减,则,
所以函数的值域为.
故选:A
6. 设是定义域为的奇函数,且,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函数的性质与题设条件推得的周期为2,从而利用的周期性即可得解.
【详解】因为是定义域为的奇函数,
所以,则,
故的周期为2,
所以,
故选:C.
7. 下列说法正确的有( )
A. 命题“”的否定为“”
B. 命题“若,则”的否命题为“若,则”
C. 若幂函数在区间上是减函数,则
D. 方程有一个正实根,一个负实根,则
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题的否定、否命题、幂函数、方程的根等知识对选项进行分析,由此确定正确答案.
【详解】A选项,命题“”的否定为“”, A选项错误.
B选项,命题“若,则”的否命题为“若,则”,
B选项错误.
C选项,由于函数是幂函数,
所以,解得或,
当时,函数为,在区间上不是减函数,
当时,函数为在区间上是减函数,
所以的值为,所以C选项错误.
D选项,方程有一个正实根,一个负实根,
由两根之积小于0可得,所以D选项正确.
故选:D
8. 设函数,则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】运用复合函数单调性求得a的范围,再运用集合的包含关系即可求得结果.
【详解】因为在上单调递增,
所以由复合函数的单调性可知,,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选:A.
9. 函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在性定理计算即可.
【详解】由, 在 上均递减,
所以在上递减,又,,所以零点所在区间为.
故选:C.
10. 已知函数是定义在区间上的函数,且在该区间上单调递增,则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知有,即可求取值范围.
【详解】因为函数是定义在区间上的增函数,满足,
所以,解得.
故选:D
11. 已知函数,,若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出函数是偶函数,且在区间上单调递增,然后比较、、三个数的大小,由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为,该函数的定义域为,
,所以函数为偶函数,故,
当时,,
任取,,则,,所以,
所以,,即,
所以函数在上单调递增,
又,由可得,故,
则,即.
故选:A.
12. 设函数,若实数a,b,c满足,且.则下列结论不能恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象,根据给定条件确定的范围,再逐项分析判断作答.
【详解】函数在、上单调递减,在上单调递增,当时,恒成立,如图,
由,,,得,且,即,
对于A,由,得,A正确;
对于B,由,得,又,则,当,即时,
有,而函数在上单调递减,此时,B错误;
对于C,由,得,对勾函数在上单调递减,则,
又函数上单调递减,因此,C正确;
对于D,由,得,对勾函数在上单调递减,则,D正确.
故选:B
【点睛】关键点睛:涉及分段函数不同自变量值对应的函数值相等问题,分析函数的性质,作出函数图象是求解的关键.
二.填空题(每题5分,共20分)
13. 已知,,用a,b表示_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算性质,化简即可得出答案.
【详解】因为,
所以,.
故答案为:.
14. 函数的单调递减区间是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案.
【详解】在上单调递减,
在上单调递减,在上单调递增,
根据复合函数单调性同增异减可知,
函数的单调递减区间是.
故答案为:
15. 已知定义在上的函数,对任意实数有,若函数的图象关于直线对称,,则______.
【答案】0
【解析】
【分析】由函数的图象关于直线对称,可得为偶函数,再由可得函数的周期为8,然后利用周期结合已知可求得答案.
【详解】由函数的图象关于直线对称可知,
函数的图象关于轴对称,故为偶函数.
由,得,
所以是周期的偶函数,
所以,
故答案为:0
16. 已知函数,是的导函数,若,不等式恒成立,则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式判断出,则在上递增,求得的最小值,由此化简不等式,进而求得的取值范围.
【详解】由题可知,
两处等号不能同时取到,所以,
在R上单调递增.
,
当且仅当时等号同时成立,所以.
又,所以,解得.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:求解不等式恒成立问题,可先求得不等式含一侧的最值(用导数或基本不等式),然后利用函数的单调性来对问题进行求解.利用基本不等式求最值时,要注意等号成立的条件.
三.解答题(共70分)
17. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
(1)求时,的解析式;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由奇函数的性质可得出,当时,,即可得出在上的解析式;
(2)分、、解不等式,综合可得出不等式的解集.
【小问1详解】
解:是定义在上的奇函数,则,
当时,,则,所以,.
【小问2详解】
解:当时,.
当时,,可得或,解得;
当时,,可得,解得.
综上所述,不等式的解集为.
18. 已知函数.
(1)当时,求的解集;
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)直接解一元二次不等式;
(2)先求出对称轴,然后分,和三种情况求其最小值.
【小问1详解】
当时, 不等式,即,解得.
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
易知的对称轴为,则
①当时,在上单调递增,则.
②当时,在上单调递减,在上单调递增,则
③当时,在上单调递减,则
综上.
19. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先化参数方程为直角坐标方程,然后将代入整理即可.
(2)联立直线和(1)中的极坐标方程,结合韦达定理求解.
【小问1详解】
由可得,
将代入可得,,
整理可得,即为曲线的极坐标方程.
【小问2详解】
和联立可得,,
设对应得极径分别为,根据韦达定理,,
于是
20. 某电视厂家准备在“五一”举行促销活动,现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x(单位:万元)和销售量y(单位:万台)的数据如下:
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求出y关于x的回归方程.
(2)若用模型拟合y与x的关系,可得回归方程,经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88,请用说明选择哪个回归模型更好.
(3)已知利润z(单位:万元)与x,y的关系为.根据(2)的结果回答:当广告费时,销售量及利润的预测值是多少?(精确到0.01)
参考数据:.
参考公式:线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】(1);(2)答案见解析;(3)销售量的预测值(万台),利润的预测值(万元).
【解析】
【分析】(1)根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.
(2)通过比较来说更好.
(3)先求得销售量y的预测值,然后求得利润的预测值.
【详解】(1)由题意得,,,,
,
,
∴y关于x的经验回归方程为.
(2)因为越接近于1,模型的拟合效果越好,所以选用回归模型更好.
(3)当广告费时,销售量y的预测值(万台),
故利润z的预测值(万元).
21. 已知函数.
(1)若,求的极值;
(2)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)利用导数分析函数的单调性,求解极值即可;
(2)在上单调递增转化为在上恒成立,分离参数,构造函数,利用二次函数求解最值即可求解.
【小问1详解】
当时,,
则,
由,得或,由,得,
则在和上单调递增,在上单调递减,
故,;
【小问2详解】
因为,所以,
因为函数在区间上单调递增,所以在上恒成立,
即在上恒成立,
设,
又,
因为,所以,所以,
所以,所以,
故的取值范围是.
22. 在直角坐标系中,是过且倾斜角为的一条直线,又以坐标原点为极点,的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的参数方程,并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线与曲线在轴右侧有两个交点,过点作的平行线,交于两点,求证:.
【答案】(1)(为参数),
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据直线的参数方程的一般形式得到直线的参数方程,再由二倍角公式及得到曲线的直角坐标方程;
(2)把的参数方程代入的普通方程,根据直线的参数方程中参数的几何意义得到,求出直线的参数方程,同理得到,即可得证.
【小问1详解】
因为直线是过且倾斜角为的一条直线,
所以可得直线的参数方程为(为参数),
因为曲线的极坐标方程为,所以,
所以,即,
由,可得曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
把的参数方程代入的普通方程中得,
则,
又直线的参数方程为(为参数),
代入的普通方程中得:,可得,
所以.
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