四川省射洪中学2023届高三文科数学适应性考试（一）试题（Word版附解析）

这是一份四川省射洪中学2023届高三文科数学适应性考试（一）试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 有诗云等内容，欢迎下载使用。

射洪中学高2023届高考适应性考试（一）文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．
【详解】，
所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，
故选：C．
3. 已知数据甲：；数据乙：，则（ ）
A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 乙的平均数大于甲的平均数
C. 甲的方差大于乙的方差 D. 乙的方差大于甲的方差
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出两组数据的平均数, 再根据方差的定义计算出方差, 从而得出答案.
【详解】甲的平均数，
乙的平均数，
∴甲的平均数与乙的平均数相等，故A、B错误；
甲的方差；
乙的方差，
∴，故C正确，D错误.
故选：C．
4. 图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（　　）

A 10 B. 6 C. 7 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于分的个数数出来，即为输出的结果．
【详解】，，成立，不成立，；
，，成立，不成立，；

，，成立，成立，，；

依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于分的学生数为，故选A．
【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．
5. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据周期公式得个周期为，进而根据平移的法则即可求解.
【详解】的周期为，所以个周期为，
故将向右平移个单位得，
故选:D
6. 已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数函数的性质判断分段函数的单调性，结合已知不等式求参数范围.
【详解】由解析式易知：在R上递增，又，
所以，则.
故选：D
7. 已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】双曲线可得，，，
所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，
因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，
所以，解得.
故选：B.
8. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
9. 有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.
【详解】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为.
所以阴影部分的面积为.
设“恰好处在红芍中”为事件，则
故选：C
10. 已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　）
A. （2，4） B. （2，5） C. （1，5） D. （1，4）
【答案】A
【解析】
【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可
【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点
由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下，

由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；
故，解得；
故选：A．
11. 已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易知正方体的内切球球心为正方体的体对角线中点，直径为正方体的棱长，球心到平面的距离为底面对角线长的四分之一，从而可得内切球被平面所截得的截面小圆的半径，从而可得所求比值．
【详解】解：如图，易知正方体的内切球的球心O为的中点，
设球O切上下底面中心于点E，F，则球O的半径，
又易知球心O到平面的距离等于E到平面的距离，
设交于点G，则易证平面，
∴球心O到平面的距离，
设正方体的棱长为，
则，，
∴球O被平面所截的小圆半径，
∴球O被平面所截的小圆面积为，
又易知，，
∴该正方体被平面所截得的截面面积为，
∴该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为，
故选：A

【点睛】关键点睛：根据正方体内切球的性质，结合正方体的性质是解题的关键.
12. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件和椭圆定义，将用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量关系，即可求解.
【详解】由椭圆的定义可得
结合可得
由可得，
由椭圆的定义可得所以
在中，，
在中，，
，
.
故选：B
【点睛】方法点睛：椭圆离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为______
【答案】
【解析】
【分析】根据向量在向量方向上投影的定义计算即可.
【详解】向量在方向上的投影为:
,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影，向量数量积、向量模的坐标运算，属于基础题.
14. 直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出O到直线的距离为，再解方程即得解.
【详解】解：由得
知O到直线的距离为，
所以，得．
故答案为：．
15. 某几何体的三视图如图所示，其中正、侧视图中的三角形是斜边为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________.

【答案】##
【解析】
【分析】根据三视图还原几何体，然后由球和圆锥的体积公式可得.
【详解】由三视图可知，该几何体为四分之一个球和圆锥的组合体，
因为正、侧视图中的三角形是斜边为2的等腰直角三角形，
所以圆锥和球的半径为1，圆锥的高为1，
所以所求体积为.
故答案为：
16. 在中，角的对边分别是，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理可将化为，所以可得，又，由基本不等式,即可求其最小值.
【详解】由正弦定理，可化为化简得，即，所以，当且仅当，即时，取最小值.
【点睛】本题主要考查三角函数与基本不等式的综合，需要学生熟记三角恒等变换、正弦定理、基本不等式等相关知识点，属于中档题型.
三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 随着容城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一.环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力.某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时（单位：小时）如下表：
身体综合指标评分
1
2
3
4
5
用时小时
9.5
8.6
7.8
7
6.1

（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的回归方程.
参考数据和参考公式：
相关系数.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数据求出相关系数，由相关系数的可判断相关程度；
（2）利用公式直接计算可得.
【小问1详解】
，


相关系数近似为，说明与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系；
【小问2详解】
由（1）中数据，，
，
关于的回归方程为.
18. 已知数列的前项和为，且，．
（1）证明：是等比数列．
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的关系得，结合等比数列定义证明结论；
（2）由（1）得，应用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
当时，因为，所以．
当时，且，则，即．
又，所以是以6为首项，3为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，则，
所以，故．
19. 如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）．

（1）证明：；
（2）当三棱锥的体积最大时，求M到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明平面即可证明结论；
（2）设，进而结合题意得，进而得，再结合基本不等式得时，三棱锥的体积最大，最后根据等体积法求解即可.
【小问1详解】
证明：连接，因为是底面圆的直径，
所以，即，
又，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
【小问2详解】
解：根据题意，，设，则，，
又因为，所以，得．
所以，，
设，则，
由（1）可知平面，又到的距离为，
所以．
当，即时，取等号．
所以，当时，三棱锥的体积最大．
设M到平面的距离为h，则，即，
又，
所以由得．
所以，M到平面的距离为
20. 已知函数.
（1）当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；
（2）讨论极值点的个数.
【答案】（1）；
（2）当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
【解析】
【分析】（1）根据导数的性质，结合函数的单调性和最值的定义进行求解即可；
（2）根据导数性质，结合极值点的定义、一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为函数的定义域为：，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，
因此要想在上存在最大值，只需，
所以m的取值范围为；
【小问2详解】
，
方程的判别式为.
（1）当时，即，此时方程没有实数根，
所以，函数单调递减，故函数没有极值点；
（2）当时，即，
此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；
（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，
设两个实数根为，设，则，
函数的定义域为：，显然
当时，此时方程有两个不相等正实数根，
此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，
所以当时，函数有两个极值点，
当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，
因此当时，函数有一个极值点，
综上所述：当时，函数有一个极值点；
当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根的判别式分类讨论是解题的关键.
21. 已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；
（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.
【详解】（1）由抛物线定义,得，由题意得：
解得
所以，抛物线的方程为.
（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.
设切线的方程为,同理可得.
所以，是方程的两根，.
设，由得，，
由韦达定理知，，所以，同理可得.
设点的横坐标为，则
.
设，则，
所以，，对称轴，所以
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若曲线C与直线l交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）消元，得到普通方程；（2）先求出直线l的参数方程，再联立曲线方程，利用韦达定理及直线参数方程中的几何意义求解.
【小问1详解】
由得：，由得：，则曲线C的普通方程为.
【小问2详解】
由可得，直线l的参数方程为，将其代入中得：，由韦达定理得：，，由可得：，所以，则，，直线l的斜率为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数，．

（1）在直角坐标系中画出和的图象；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将表示为分段函数的形式，进而画出图象.
（2）通过平移的图象来求得的取值范围.
【小问1详解】
函数，
，
画出和的图象如图；
【小问2详解】
，说明把函数的图象
向上或向下平移单位以后，
的图象在的上方，
由图象观察可得：，