精品解析：河南省许昌市禹州市高级中学2022-2023学年高二下学期第一次段考（2月）数学试题（解析版）

这是一份精品解析：河南省许昌市禹州市高级中学2022-2023学年高二下学期第一次段考（2月）数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
禹州高中高二下学期第一次段考数学试卷
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
故选：C
2. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义判断.
【详解】由函数图象知：，
所以，
故选：C
3. 已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式.
【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.
故选：D.
4. 已知，且，则（ ）
A 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再根据，代入计算可得.
【详解】解：因为，所以，又，
所以，解得.
故选：B
5. 动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.
【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；
因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；
当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；

因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，
故选：C
7. 直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可
【详解】设直线的倾斜角为，可得，
所以的取值范围为
故选：D
8. 如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题图，利用直线斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.
又直线的倾斜角均为锐角，且，
，
.
故选：D.
9. 在正项等比数列中，、是函数的极值点，则（ ）
A. 或2 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知：、是方程两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又因为、是函数的极值点，
即、是方程的两根，则有，
由为等比数列可知：，因为，且，
所以，则有，所以，
故选：D.
10. 如图，是的重心，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示可得结论.
【详解】是的重心，，
，，
，，，
，
．
故选：D．
11. 设函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用导数研究其单调性、极值，画出函数和函数的图象，结合图像可得答案.
【详解】设，则，，
，
令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，
设，则.令，得.
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，

联立消去得，
化简得.整理得，解得或或.
若数的值域为，由数形结合易知.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：设，，利用这两个函数的图象求解是解题关键.
12. 已知双曲线：斜率为直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设，线段AB的中点，
则，两式相减得，
所以①，
设，线段CD的中点，同理得②，
因为，所以，则三点共线，
所以，将①②代入得：，即，
所以，即，
所以，
故选：D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知空间三点，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算求出及，再利用面积公式求解即可.
【详解】由已知，
，
，又
则，
以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
故答案为：.
14. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，

因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15. 已知在处取得极值，则的最小值为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】解：由，
因为函数在处取得极值，所以有，
则，
因为，
所以，
当且仅当，结合，即时取等号.
故答案为：8
16. 已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.
【详解】设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，
故答案为：
【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图，一个圆柱内接于半径为6的半球面，设内接圆柱的高为，体积为.

（1）建立关于的函数关系，并指出的取值范围；
（2）利用导数，求出圆柱的最大体积.
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出底面圆半径，再套用圆柱的体积公式即可；
（2）通过求导，然后分析出单调性，进而求出其最值.
【小问1详解】
设底面圆的半径为，则
，.
【小问2详解】
，
令得，
当时， 单调递增，
当时，单调递减，
所以，当时，.
所以圆柱的最大体积为.
18. 已知等差数列，正项等比数列，其中的前n项和记为，满足，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；（2）利用错位相减法即可求得结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为；
利用基本量运算有，
因为为正项数列，可得，
所以；
即数列的通项公式为
数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）可得，
所以 ①
②
得：


即数列的前n项和
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先求出，借助导函数求得，进而可得切线方程.
(2) 函数上单调递减等价于成立，令，借助导数判断单调性，进而得到最大值，则有，进而可得答案.
【小问1详解】
根据题意，
函数的定义域为,，


曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
的定义域为

令

令


在上为增函数，在上为减函数，
为单调递减的函数

．
20. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形(为坐标原点)的边长为，

（1）求的值
（2）记为数列的前n项和，探究与的关系，求的通项公式.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答.
（2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答.
【小问1详解】
依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，
，整理得，解得，
所以，.
【小问2详解】
是正三角形，点，，于是点在曲线上，
则，即，当时，，
两式相减得：，整理得，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,

所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．

如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
22. 已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）1，
【解析】
【分析】（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.
【小问1详解】
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
【小问2详解】
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.