精品解析：江苏省徐州市沛县2023-2024学年高三上学期期初模拟测试(一)数学试题（解析版）

这是一份精品解析：江苏省徐州市沛县2023-2024学年高三上学期期初模拟测试(一)数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024届高三年级上学期期初模拟测试（一）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合A，根据集合B中元素性质求出集合B.
【详解】，，
,
故选：C
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据求得，根据求得代入运算，再根据模长公式即可求解.
【详解】设，
因为，所以，
解得或
所以或.
因为，所以
当时，
，则；
当时，
，则；
故选：A
3. 设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.
【详解】因为，均为锐角，所以，.
当时，，
由函数在上单调递增，所以，
故“”是“”的充分条件.
当时，由，，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充分必要条件.
故选：C
4. 某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为为，通过表示大圆锥和小圆锥体积，作差可得圆台体积.
【详解】设小锥体的底面半径为，大锥体的底面半径为，小锥体的高为，大锥体的高为为，
则大圆锥的体积即为，整理得，
即小圆锥的体积为
所以该圆台体积为
故选：A.
5. 贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.
【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，
则，
，
，
所以
故选：D

6. 若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】将用替换后，解方程解出即可.
【详解】因为，
可得，
可得，
解得，因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
7. 已知在中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出半圆弧所在的圆的方程，利用数量积的坐标形式可求数量积的取值范围.
【详解】
因为直角三角形为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，
其中，
而以为直径的圆的方程为：，
整理得到：，
设，则，故，
因为在半圆上运动变化，故，
故的取值范围为：，
故选：A.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. 向量的夹角为 D. 在方向上的投影向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；
对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；
对于C，根据向量夹角公式，可得答案；
对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.
【详解】对于A，，由，则，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量是，故D错误.
故选：AC.
10. 已知点，若过点的直线交圆：于A，两点，是圆上一动点，则（       ）
A. 的最小值为 B. 到的距离的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意画出图形，分别求出的最小值及到的距离的最大值判断A与B；设，写出数量积，利用三角函数求最值判断C；求出到圆心的距离，加上半径判断D．
【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D错误；
故选：ABC.

11. 已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两点，与交于两点，且，则（ ）
A. 的离心率为 B.
C. D. 四点共圆
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得点坐标并代入椭圆方程，由此求得，进而求得椭圆的离心率.设出直线和的参数方程并与椭圆方程联立，根据根与系数关系、圆的知识求得正确答案.
【详解】依题意，即，
所以，解得（负根舍去）.
所以椭圆，则.
依题意可知直线的倾斜角为锐角，且，
由解得.
直线的倾斜角为钝角，且，
由解得
设直线的参数方程为（为参数），
由整理得，
解得（不妨设）.
设直线的参数方程为（为参数），
由整理得，
解得（不妨设）.
所以，B选项正确.
，C选项错误.
，
所以，而，所以，
所以，所以四点共圆.
（也可用圆的相交弦定理的逆定理，直接由判断出四点共圆）
所以D选项正确.
故选：ABD

【点睛】待定系数法求椭圆的方程，可利用题目所给已知条件，列出等量关系式，由此来求得椭圆方程中的未知参数.四点共圆的证明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所对的圆周角相等”来证明.
12. 已知数列的项数均为（为确定的正整数，且），若，，则（ ）
A. 中可能有项为1 B. 中至多有项为1
C. 可能是以为公比的等比数列 D. 可能是以2为公比的等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】利用求出数列，再根据的取值判断即可.
【详解】由题意可得①，②，
①-②得，同理可得，
所以数列中仅有1项为1，
因为，所以B错误；当时，A正确；
，所以当时，是以为公比的等比数列，C正确，D错误；
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 数列满足，，则__________
【答案】
【解析】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求数列通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果.
【详解】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，
，，
.
故答案为：.
14. 在三棱锥中，，且，则直线PC与平面ABC所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得面，从而得到为直线PC与平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理与勾股定理求得，从而求得，由此得解.
【详解】记的中点为，连结，过作交的延长线于，如图，

因为，为的中点，所以，
因为，，，所以，则，
又为的中点，所以，
因为面，所以面，
又面，所以，
因为，面，所以面，
所以为直线PC与平面ABC所成角的平面角，
不妨设，
在中，，则，，
在中，，
中，，则，
即，故，
在中，，
所以在中，，
又，则，即，
所以，
所以，
故直线PC与平面ABC所成角的余弦值为.
故答案为：.
15. 已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得两点的坐标，然后求得与直线平行且与双曲线相切的直线方程，根据三角形面积公式以及两平行线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
由解得或，
所以为定值，
由于，，所以在双曲线两点间的曲线上，在第一象限，
当距离最远时，三角形的面积取得最大值，
设直线与双曲线C：相切于点，
由消去并化简得，
由解得（正根舍去），
故切线方程为，
直线与直线的距离为，
所以△PAB的面积最大值为.
故答案为：
【点睛】求解双曲线的切线方程，可先设出切线的方程，然后联立切线的方程和双曲线的方程，化简成一元二次方程的形式，结合判别式即可求得切线方程.
16. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，恒成立，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由是奇函数求出a，b，得到.利用分离参数法把题意转化为恒成立. 令.记，利用基本不等式求出，即可求出m的取值范围.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，即，解得：.
又，所以，解得：.
所以.
.
因为在上单增，所以在上单增，所以在上单减，所以在上单增，所以.
所以要使恒成立，只需恒成立.
因为在上单增，所以，所以.
令.
记（当且仅当，即时2等号成立），
所以.
所以.
即m的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列和等比数列满足，.
（1）求数列，通项公式
（2）设数列中满足，求和
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
【小问2详解】
由（1）得，

.
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B﹔
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；
（2）由切化弦结合三角恒等变换及正弦定理得，再由（1）中结论得到关于的齐次方程，即可求出，进而求得.
【小问1详解】
由，可得，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，因为，可得；
【小问2详解】
，则，
又，可得﹐又由（1），得，所以，所以，所以．
19. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为＝4.7x－9495.2，且销量y的方差，年份x的方差为．
（1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
30
20
50
女性
15
35
50
总计
45
55
100
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
(i)线性回归方程：，其中，；
(ii)相关系数：，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
(iii)，其中n＝a＋b＋c＋d．
附表：
α
0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】（1），与线性相关较强.
（2）有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关.
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；
（2）直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；
（3）采用分层抽样先得出男性车主和女性车主的选取人数，得出可能取值0,1,2，3，4，分别求出对应概率，即可得的分布列，再结合期望公式，即可求解.
【小问1详解】
相关系数为

，
所以，故与线性相关较强.
【小问2详解】
零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.

所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.
【小问3详解】
11人中，男性车主人，女性车主人，
则的可能取值为0，1，2，3，4，故
，，，
，，
故的分布列为：

0
1
2
3
4






.
20. 在四棱锥中，．

（1）证明：平面平面﹔
（2）若，直线与平面所成的角为，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及等腰梯形的性质，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量及平面的法向量，利用向量的夹角公式及两点间的距离公式即可求解.
【小问1详解】
在平面四边形ABCD中，，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点作于,因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以,,
，
所以，所以，
又，BC，平面，所以平面，
又平面，所以，平面平面.
【小问2详解】
因为,, BC，平面，
所以平面，由（1）知，，以C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则，
因为平面，，可设(),所以，则
，
设平面PAC的法向量为，则
,即，令，则，所以，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得或（舍），
所以，又，
所以.
21. 已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可
【小问1详解】
由题意得，，渐近线方程为，
则到渐近线的距离为，
又因为，
所以，，，
故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设直线：，，，，
联立方程组得，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，
即为定值.
22. 已知函数．
（1）若在单调递增，求a的取值范围；
（2）当时，，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导，转化为恒成立，分别讨论，，，将问题转化为与的关系，令，求导并解得的值域，联立不等式解出的范围即可；
（2）将原不等式整理并令，因为，则由得到的范围，再证明即可.
【小问1详解】
，，
要使在单调递增，只需，恒成立.
即，，
又，，即；
当时，符合题意，故；
当时，，；
当时，，.
令，
，
当时，，
即，；
当时，，
即，；
，，
，；
时，；
所以在，上单调递增；
在上单调递减.
由知，分子是一个周期函数，而分母却是一个增函数，
不妨把看成是振幅越来越小的“类周期函数”，
所以最值只能出现在第一个周期，如图所示：

所以，；
所以有或，
解得或；
由上知已成立，
综上，即的取值范围是.
【小问2详解】
由得，
整理得，
不妨令，
只需证即可；
又，，
所以即，下面证时符合题意，
时，令恒成立；
所以有时，；
变形为，
当时，成立；
当时，，
所以有，且；
令，且，
只需求的最小值即可.
，
令，且，

，
当时，因为，所以，
而，所以有，当且仅当取等号，
所以，
当时，，
所以
所以在上单调递增，又，
所以，所以，
即在上单调递增，；
当时，，即；
综上，，所以，
即当时，恒成立，，符合题意；
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第一问中分类讨论将参变分离是关键；第二问中自变量的分段讨论；巧妙利用均值不等式得出导数为正是关键点，考查数学转化思想，属于难题.