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2022-2023学年陕西省西安市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省西安市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示的数学曲线中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若a>b，则下列不等式成立的是( )
A. 2a>2b B. a−2−2b D. a2
A. x>3 B. x=3 C. x≠3 D. x<3
4. 如图，是一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是( )
A. x>1 B. x≥1 C. x≥3 D. x>3
5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−x−1=x(x−1)−1 B. x2−1=(x−1)2
C. x2−x−6=(x−3)(x+2) D. x(x−1)=x2−x
6. 线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E(−1,3)的对应点M(2,5)，则点F(−3,−2)的对应点N的坐标是
A. (−1,0) B. (−6,0) C. (0,−4) D. (0,0)
7. 如图，在△ABC中，点F在BC上，AC=CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC=6，BC=10，则ED的长为( )
A. 2
B. 3
C. 52
D. 4
8. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF= 2，则线段BE的长为( )
A. 2
B. 6
C. 2
D. 2 2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 分解因式：3a2−21ab= ．
10. 若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为______．
11. 如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B在x轴上，AB=4，将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△A′O′B，则点A′的坐标为______ ．
13. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作▱MCNB，连接MN，则MN的最小值为______．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
14. 解不等式组：2+x>7−4x,x<4+x2.．
15. 解方程2x+1+1=xx−1．
四、解答题（本大题共11小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
先化简，再求值：aa2−1⋅(a+1−2aa)，其中a=−2．
17. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，∠A=45°，请利用尺规作图法在AB上求作一点D，使得AD=CD.(保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF.求证：AD平分∠BAC．
19. (本小题5.0分)
如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
20. (本小题5.0分)
某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
21. (本小题6.0分)
智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．
(1)操作与实践：
步骤一：将三角板ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
步骤二：平移三角板ABC，点A的对应点A2的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2．
(2)应用与求解：
智慧组成员将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标______ ．
22. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC．
(1)求证：△BCE是等边三角形．
(2)若BC=3，求DE的长．
23. (本小题7.0分)
如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
24. (本小题8.0分)
2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
25. (本小题8.0分)
近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验.有数据显示，3月以来，西安汉服体验订单量全国第一，比去年同期增长了13倍.某旅行社计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是75元/件，80元/件，五一期间为吸引更多顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下：
甲汉服体验店：按原价八折进行优惠；
乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠．
设该旅行社需要租用x(x>6)件汉服，选择甲店总租金为y1元.选择乙店总租金为y2元.
(1)请分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(2)该旅行社选择哪家汉服体验店更便宜？
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=23x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C(3,4).若D为线段OC上的动点，过点D作DE//y轴交AC于点E.设D点的横坐标为x，线段DE的长为y．
问题提出
(1)y与x的函数关系式为______ ；
(2)若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标；
问题探究
(3)平面内是否存在一点P，使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵a>b，∴2a>2b，不等式成立，符合题意；
B、∵a>b，∴a−2>b−2，原变形错误，不符合题意；
C、∵a>b，∴−2a<−2b，原变形错误，不符合题意；
D、∵a>b，∴a2>b2，原变形错误，不符合题意．
故选：A．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：要使分式4x−3有意义，x应满足的条件是：x−3≠0，
解得：x≠3．
故选：C．
直接利用分式有意义的条件，即分母不等于0，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：由数轴知x≥1且x>3，
∴其公共部分为x>3，
故选：D．
由数轴知x≥1且x>3，再确定其公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
根据因式分解的定义判断即可．
【解答】
解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：线段MN是由线段EF经过平移得到的，点E(−1,3)的对应点M(2,5)，故各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标加2，
∴点N的横坐标为：−3+3=0；点N的纵坐标为−2+2=0；
即点N的坐标是(0,0)．
故选：D．
各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标加2，那么让点F的横坐标加3，纵坐标加2即为点N的坐标．
本题考查图形的平移变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，解决本题的关键是找到各对应点之间的变化规律．
7.【答案】A
【解析】解：∵AC=CF，
∴△ACF是等腰三角形，
∵CD⊥AF，
∴D是AF的中点，
∵E为AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴ED=12BF=12×(10−6)=2，
故选：A．
由题意可知△ACF是等腰三角形，即可得出D是AF的中点，结合E为AB的中点，可得DE是△ABF的中位线，进而可求ED．
本题考查等腰三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BD，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，
∴∠DEB=90°，BD平分∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DE= 2，
∴BD=2DE=2 2，
由勾股定理得：BE= BD2−DE2= (2 2)2−( 2)2= 6，
故选：B．
连接BD，根据角平分线性质的逆运用得出BD平分∠ABC，求出∠ABD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DE，再根据勾股定理求出BE即可．
本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识点，能熟记在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键．
9.【答案】3a(a−7b)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】
解：3a2−21ab=3a(a−7b)．
故答案为：3a(a−7b)．
10.【答案】12
【解析】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，
故答案为：12．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．
本题考查了多边形外角和．
11.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a1．
故答案为x>1．
观察函数图象得到当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a1；
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】(2 3,4)
【解析】解：∵OA=2，AB=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，BO=2 3，
∵△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△A′O′B，
∴∠ABA′=60°，A′B=AB=4，
∴∠OBA′=∠ABA′+∠ABO=60°+30°=90°，
∴A′(2 3,4)．
故答案为：(2 3,4)．
由OA=2，AB=4，∠AOB=90°，得出∠ABO=30°，BO=2 3，由旋转角60°得出∠ABA′=60°.继而得出∠OBA′=90°，即可得出A′(2 3,4)．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是掌握旋转的性质．
13.【答案】12013
【解析】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN=2MO．
∵AB=AC=13，BC=10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO= AC2−CO2= 132−52=12．
利用面积法：AO×CO=AC×OH，
即12×5=13×OH，解得OH=6013．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是6013．
所以此时MN最小值为2OH=12013．
故答案为12013．
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
14.【答案】解：由2+x>7−4x，得：x>1，
由x<4+x2，得：x<4，
则不等式组的解集为1
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
15.【答案】解：方程两边同乘(x+1)(x−1)，得
2(x−1)+x2−1=x(x+1)，
解得x=3．
经检验x=3是原方程的根，
∴原方程的解x=3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
16.【答案】解：aa2−1⋅(a+1−2aa)
=a(a+1)(a−1)⋅a2+1−2aa
=a(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a
=a−1a+1，
当a=−2时，原式=−2−1−2+1=−3−1=3．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：如图所示，点D即为所求．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
【解析】此题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质，属于基础题．
由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，则可得DE=DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．
19.【答案】解：∵△DCE由△ABC平移而成，
∴△ABC平移的距离为：BC=2，
且BE=2BC=4，DE=AC=2，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=12BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC//DE，
∴BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE=4，DE=2，
∴BD= BE2−DE2=2 3．
【解析】由平移的性质可知△ABC平移的距离，以及BE=2BC=4，DE=AC=2，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°，在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
20.【答案】解：设该护眼灯降价x元，
根据题意得：320−x−240≥240×20%，
解得：x≤32，
∴x的最大值为32．
答：该护眼灯最多可降价32元．
【解析】设该护眼灯降价x元，利用利润=售价−进价，结合利润率不低于20%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】(2,−1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1、△A2B2C2为所作；
(2)如图，△A1B1C绕P点旋转180°得到△A2B2C2，即旋转中心的坐标为(2,−1)．
故答案为：(2,−1)．
(1)先利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点得到△A1B1C1；再利用点A和点A2的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律得到点B2、C2的坐标，然后描点得到
△A2B2C2；
(2)连接A1A2、B1B2、C1C2，它们都经过点P，则将△A1B1C绕P点旋转180°得到△A2B2C2，然后写出P点坐标得到旋转中心的坐标．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22.【答案】(1)证明：在△ABC中，
∵∠B=180°−∠ACB−∠A=180°−90°−30°=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACB−∠ECA=60°，
∴△BCE是等边三角形；
(2)解：由(1)得：EC=BC=3，
∵DE垂直平分AC，
∴∠CDE=90°，
Rt△ECD中，∵∠ECD=30°，
∴DE=12EC=12×3=32．
【解析】此题考查含30°的直角三角形问题，垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识，关键是根据含30°的直角三角形的性质解答．
(1)根据三角形内角和定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
23.【答案】证明：(1)∵点O为对角线BD的中点，
∴OD=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF//EB，
∴∠DFE=∠BEF，
在△DOF和△BOE中，
∠DFO=∠BEO∠DOF=∠BOEDO=BO,
∴△DOF≌△BOE(AAS)．
(2)∵△DOF≌△BOE，
∴DF=EB，
∵DF//EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF．
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．
(1)根据全等三角形的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理和性质定理证明即可．
24.【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得200x=200x+0.6×4，
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【解析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费(x+0.6)元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程×4=电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
25.【答案】解：(1)根据题意得：y1=0.8×75x=60x(x>6)；
y2=6×80+0.5×80(x−6)=480+40x−240=40x+240(x>6)．
∴y1关于x的函数解析式为y1=60x(x>6)；y2关于x的函数解析式为y2=40x+240(x>6)；
(2)当y1>y2时，即60x>40x+240，解得x>12；
当y1=y2时，即60x=40x+240，解得x=12；
当y1
【解析】(1)根据甲、乙两店的租用方式即可用x式表示y1和y2的函数解析式；
(2)根据(1)的结论分别讨论当y1y2时，三种情况就可以求出结论．
本题考查了一次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键，分类讨论是难点
26.【答案】y=−23x+2
【解析】解：(1)∵DE//y轴，D点的横坐标为x，
∴D(x,43x)，E(x,23x+2)，
∴y=DE=23x+2−43x=−23x+2，
故答案为：y=−23x+2；
(2)在y=23x+2中，令y=0得x=−3，
∴A(−3,0)，
∵D(x,43x)，O(0,0)，
∴DO2=x2+(43x)2=259x2，OA2=9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴259x2=9，
解得：x=95或x=−95(此时D不在线段OC上，舍去)，
∴D(95,125)；
(3)存在一点P，使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P(m,n)，
又O(0,0)，A(−3,0)，C(3,4)，
①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，
∴m+0=−3+3n+0=0+4，
解得m=0n=4，
∴P(0,4)；
②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，
∴m−3=0+3n+0=0+4，
解得m=6n=4，
∴P(6,4)；
③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，
∴m+3=0−3n+4=0+0，
解得m=−6n=−4，
∴P(−6,−4)；
综上所述，P的坐标为(0,4)或(6,4)或(−6,−4)．
(1)由D(x,43x)，E(x,23x+2)，可得y=DE=23x+2−43x=−23x+2；
(2)求出A(−3,0)，根据D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，可得259x2=9，即可求得D(95,125)；
(3)设P(m,n)，分三种情况：①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2022-2023学年陕西省西安市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示的数学曲线中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 若a>b，则下列不等式成立的是( )
A. 2a>2b B. a−2
A. x>3 B. x=3 C. x≠3 D. x<3
4. 如图，是一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是( )
A. x>1 B. x≥1 C. x≥3 D. x>3
5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−x−1=x(x−1)−1 B. x2−1=(x−1)2
C. x2−x−6=(x−3)(x+2) D. x(x−1)=x2−x
6. 线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E(−1,3)的对应点M(2,5)，则点F(−3,−2)的对应点N的坐标是
A. (−1,0) B. (−6,0) C. (0,−4) D. (0,0)
7. 如图，在△ABC中，点F在BC上，AC=CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC=6，BC=10，则ED的长为( )
A. 2
B. 3
C. 52
D. 4
8. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF= 2，则线段BE的长为( )
A. 2
B. 6
C. 2
D. 2 2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 分解因式：3a2−21ab= ．
10. 若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为______．
11. 如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B在x轴上，AB=4，将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△A′O′B，则点A′的坐标为______ ．
13. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作▱MCNB，连接MN，则MN的最小值为______．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
14. 解不等式组：2+x>7−4x,x<4+x2.．
15. 解方程2x+1+1=xx−1．
四、解答题（本大题共11小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
先化简，再求值：aa2−1⋅(a+1−2aa)，其中a=−2．
17. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，∠A=45°，请利用尺规作图法在AB上求作一点D，使得AD=CD.(保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF.求证：AD平分∠BAC．
19. (本小题5.0分)
如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
20. (本小题5.0分)
某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
21. (本小题6.0分)
智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．
(1)操作与实践：
步骤一：将三角板ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
步骤二：平移三角板ABC，点A的对应点A2的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2．
(2)应用与求解：
智慧组成员将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标______ ．
22. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，DE垂直平分线段AC．
(1)求证：△BCE是等边三角形．
(2)若BC=3，求DE的长．
23. (本小题7.0分)
如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
24. (本小题8.0分)
2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
25. (本小题8.0分)
近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验.有数据显示，3月以来，西安汉服体验订单量全国第一，比去年同期增长了13倍.某旅行社计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是75元/件，80元/件，五一期间为吸引更多顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下：
甲汉服体验店：按原价八折进行优惠；
乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠．
设该旅行社需要租用x(x>6)件汉服，选择甲店总租金为y1元.选择乙店总租金为y2元.
(1)请分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(2)该旅行社选择哪家汉服体验店更便宜？
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=23x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C(3,4).若D为线段OC上的动点，过点D作DE//y轴交AC于点E.设D点的横坐标为x，线段DE的长为y．
问题提出
(1)y与x的函数关系式为______ ；
(2)若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标；
问题探究
(3)平面内是否存在一点P，使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵a>b，∴2a>2b，不等式成立，符合题意；
B、∵a>b，∴a−2>b−2，原变形错误，不符合题意；
C、∵a>b，∴−2a<−2b，原变形错误，不符合题意；
D、∵a>b，∴a2>b2，原变形错误，不符合题意．
故选：A．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：要使分式4x−3有意义，x应满足的条件是：x−3≠0，
解得：x≠3．
故选：C．
直接利用分式有意义的条件，即分母不等于0，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：由数轴知x≥1且x>3，
∴其公共部分为x>3，
故选：D．
由数轴知x≥1且x>3，再确定其公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
根据因式分解的定义判断即可．
【解答】
解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：线段MN是由线段EF经过平移得到的，点E(−1,3)的对应点M(2,5)，故各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标加2，
∴点N的横坐标为：−3+3=0；点N的纵坐标为−2+2=0；
即点N的坐标是(0,0)．
故选：D．
各对应点之间的关系是横坐标加3，纵坐标加2，那么让点F的横坐标加3，纵坐标加2即为点N的坐标．
本题考查图形的平移变换，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，解决本题的关键是找到各对应点之间的变化规律．
7.【答案】A
【解析】解：∵AC=CF，
∴△ACF是等腰三角形，
∵CD⊥AF，
∴D是AF的中点，
∵E为AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴ED=12BF=12×(10−6)=2，
故选：A．
由题意可知△ACF是等腰三角形，即可得出D是AF的中点，结合E为AB的中点，可得DE是△ABF的中位线，进而可求ED．
本题考查等腰三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BD，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF，
∴∠DEB=90°，BD平分∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵DE= 2，
∴BD=2DE=2 2，
由勾股定理得：BE= BD2−DE2= (2 2)2−( 2)2= 6，
故选：B．
连接BD，根据角平分线性质的逆运用得出BD平分∠ABC，求出∠ABD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DE，再根据勾股定理求出BE即可．
本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识点，能熟记在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键．
9.【答案】3a(a−7b)
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
【解答】
解：3a2−21ab=3a(a−7b)．
故答案为：3a(a−7b)．
10.【答案】12
【解析】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，
故答案为：12．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．
本题考查了多边形外角和．
11.【答案】x>1
【解析】解：当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a
故答案为x>1．
观察函数图象得到当x>1时，函数y1=−x+a的图象都在y2=bx−4的图象下方，所以不等式−x+a
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】(2 3,4)
【解析】解：∵OA=2，AB=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，BO=2 3，
∵△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△A′O′B，
∴∠ABA′=60°，A′B=AB=4，
∴∠OBA′=∠ABA′+∠ABO=60°+30°=90°，
∴A′(2 3,4)．
故答案为：(2 3,4)．
由OA=2，AB=4，∠AOB=90°，得出∠ABO=30°，BO=2 3，由旋转角60°得出∠ABA′=60°.继而得出∠OBA′=90°，即可得出A′(2 3,4)．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是掌握旋转的性质．
13.【答案】12013
【解析】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN=2MO．
∵AB=AC=13，BC=10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO= AC2−CO2= 132−52=12．
利用面积法：AO×CO=AC×OH，
即12×5=13×OH，解得OH=6013．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是6013．
所以此时MN最小值为2OH=12013．
故答案为12013．
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
14.【答案】解：由2+x>7−4x，得：x>1，
由x<4+x2，得：x<4，
则不等式组的解集为1
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
15.【答案】解：方程两边同乘(x+1)(x−1)，得
2(x−1)+x2−1=x(x+1)，
解得x=3．
经检验x=3是原方程的根，
∴原方程的解x=3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
16.【答案】解：aa2−1⋅(a+1−2aa)
=a(a+1)(a−1)⋅a2+1−2aa
=a(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a
=a−1a+1，
当a=−2时，原式=−2−1−2+1=−3−1=3．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：如图所示，点D即为所求．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
【解析】此题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质，属于基础题．
由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，则可得DE=DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．
19.【答案】解：∵△DCE由△ABC平移而成，
∴△ABC平移的距离为：BC=2，
且BE=2BC=4，DE=AC=2，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=12BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC//DE，
∴BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE=4，DE=2，
∴BD= BE2−DE2=2 3．
【解析】由平移的性质可知△ABC平移的距离，以及BE=2BC=4，DE=AC=2，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°，在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
20.【答案】解：设该护眼灯降价x元，
根据题意得：320−x−240≥240×20%，
解得：x≤32，
∴x的最大值为32．
答：该护眼灯最多可降价32元．
【解析】设该护眼灯降价x元，利用利润=售价−进价，结合利润率不低于20%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21.【答案】(2,−1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1、△A2B2C2为所作；
(2)如图，△A1B1C绕P点旋转180°得到△A2B2C2，即旋转中心的坐标为(2,−1)．
故答案为：(2,−1)．
(1)先利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点得到△A1B1C1；再利用点A和点A2的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律得到点B2、C2的坐标，然后描点得到
△A2B2C2；
(2)连接A1A2、B1B2、C1C2，它们都经过点P，则将△A1B1C绕P点旋转180°得到△A2B2C2，然后写出P点坐标得到旋转中心的坐标．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
22.【答案】(1)证明：在△ABC中，
∵∠B=180°−∠ACB−∠A=180°−90°−30°=60°，
∵DE垂直平分AC，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACB−∠ECA=60°，
∴△BCE是等边三角形；
(2)解：由(1)得：EC=BC=3，
∵DE垂直平分AC，
∴∠CDE=90°，
Rt△ECD中，∵∠ECD=30°，
∴DE=12EC=12×3=32．
【解析】此题考查含30°的直角三角形问题，垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识，关键是根据含30°的直角三角形的性质解答．
(1)根据三角形内角和定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
23.【答案】证明：(1)∵点O为对角线BD的中点，
∴OD=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF//EB，
∴∠DFE=∠BEF，
在△DOF和△BOE中，
∠DFO=∠BEO∠DOF=∠BOEDO=BO,
∴△DOF≌△BOE(AAS)．
(2)∵△DOF≌△BOE，
∴DF=EB，
∵DF//EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF．
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．
(1)根据全等三角形的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理和性质定理证明即可．
24.【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得200x=200x+0.6×4，
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【解析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费(x+0.6)元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程×4=电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
25.【答案】解：(1)根据题意得：y1=0.8×75x=60x(x>6)；
y2=6×80+0.5×80(x−6)=480+40x−240=40x+240(x>6)．
∴y1关于x的函数解析式为y1=60x(x>6)；y2关于x的函数解析式为y2=40x+240(x>6)；
(2)当y1>y2时，即60x>40x+240，解得x>12；
当y1=y2时，即60x=40x+240，解得x=12；
当y1
【解析】(1)根据甲、乙两店的租用方式即可用x式表示y1和y2的函数解析式；
(2)根据(1)的结论分别讨论当y1
本题考查了一次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键，分类讨论是难点
26.【答案】y=−23x+2
【解析】解：(1)∵DE//y轴，D点的横坐标为x，
∴D(x,43x)，E(x,23x+2)，
∴y=DE=23x+2−43x=−23x+2，
故答案为：y=−23x+2；
(2)在y=23x+2中，令y=0得x=−3，
∴A(−3,0)，
∵D(x,43x)，O(0,0)，
∴DO2=x2+(43x)2=259x2，OA2=9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴259x2=9，
解得：x=95或x=−95(此时D不在线段OC上，舍去)，
∴D(95,125)；
(3)存在一点P，使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P(m,n)，
又O(0,0)，A(−3,0)，C(3,4)，
①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，
∴m+0=−3+3n+0=0+4，
解得m=0n=4，
∴P(0,4)；
②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，
∴m−3=0+3n+0=0+4，
解得m=6n=4，
∴P(6,4)；
③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，
∴m+3=0−3n+4=0+0，
解得m=−6n=−4，
∴P(−6,−4)；
综上所述，P的坐标为(0,4)或(6,4)或(−6,−4)．
(1)由D(x,43x)，E(x,23x+2)，可得y=DE=23x+2−43x=−23x+2；
(2)求出A(−3,0)，根据D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，可得259x2=9，即可求得D(95,125)；
(3)设P(m,n)，分三种情况：①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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