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2023年黑龙江省鸡西市虎林实验中学中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省鸡西市虎林实验中学中考数学模拟试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省鸡西市虎林实验中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各运算中，计算正确的是( )
A. a12÷a3=a4 B. (3a2)3=9a6
C. (a−b)2=a2−ab+b2 D. 2a⋅3a=6a2
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，是小明连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息不正确的是( )
A. 这两周体温的众数为36.6℃ B. 第一周平均体温高于第二周平均体温
C. 第一周体温的中位数为37.1℃ D. 第二周的体温比第一周的体温更加平稳
4. 如图，是由7个完全相同的小正方体组成的几何体．则下列4个平面图形中，不是这个几何体的三视图的是( )
A. B. C. D.
5. 某热门电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天按相同的增长率增长，则平均每天票房的增长率为( )
A. 5% B. 10% C. 15% D. 20%
6. 关于x的分式方程x+mx−2+2m2−x=3的解为正实数，则实数m的取值范围是( )
A. m<−6且m≠2 B. m>6且m≠2
C. m<6且m≠−2 D. m<6且m≠2
7. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个.若购买的总费用不超过3100元，则不同的购买方式有( )
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
8. 如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上，若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为( )
A. 4
B. 8
C. 5
D. 10
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，点P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，则AP的长度为( )
A. 174 B. 154 C. 4 D. 92
10. 如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=9，AE=3，则下列结论中：
①∠BGF=∠CFB；
②2DH=EH+FH；
③HMAE=35，
其中结论正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2022年超过1210000亿元.将1210000亿用科学记数法表示应为______ ．
12. 若1 3x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
13. 如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD=∠ACD，请你添加一个条件：______ ，使得加上这个条件后能够推出AD//BC且AB=CD．
14. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，小王随机从中摸出一个记下颜色，不放回，从中再摸出一个，则小王摸出两个球颜色不同的概率是______．
15. 若不等式组x+13
17. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆周长是 cm．
18. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接BP、EP，则PB+PE的最小值为 ．
19. 在△ABC中，AB=AC=8，作AB边的垂直平分线交AB边于点D，交直线AC于点E，若DE=3，则线段CE的长为______．
20. 如图，已知点A1，A2，A3，A4，A5，…在x轴正半轴上，分别以OA1，A1A2，A2A3，A3A4，…为边在第一象限作等边ΔOA1B1，等边△A1A2B2，等边△A2A3B3，…，且点B1，B2，B3，B4，…在反比例函数y= 3x(x>0)上，且OB1=2，则点A2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
先化简，再求值：2xx+3−x2+4x+4x+3÷x2−42x−4；其中x=2cos30°−(13)−1．
22. (本小题6.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A(−6,7)，B(−5,3)，C(−2,3)都在格点上．
(1)将△ABC先向下平移1个单位长度，再沿x轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．
23. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC，tan∠ABC=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1：2的两部分，若存在，求点G的横坐标；若不存在，请说明理由．
24. (本小题7.0分)
某中学课题小组为了了解该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“跳绳、篮球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好(每人必选且只能选其中一项)，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求本次调查中共抽查了多少名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数是______ ．
(4)若该校共有2400名学生，请你估计该校喜欢“篮球”的学生有多少名．
25. (本小题8.0分)
某校的甲，乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距1800米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即以45米/分钟的速度步行到学校，设甲步行的时间为x(分钟)，图中线段OA和折线B−C−D分别表示甲，乙离开小区的路程y米)与甲步行时间x(分钟)的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题：
(1)写出点E横坐标的实际意义，并求出点E的纵坐标．
(2)求乙从还车点到学校所花的时间．
(3)两人何时相距300米？
26. (本小题8.0分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
(1)若E是线段AC的中点，如图1，易证BE=FE；(无需证明，方法提示：过E做EH//AD，易证△BHE≌△ECF)
(2)若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，如图2，线段BE、EF有怎样的数量关系？说明理由．
(3)若E是线段AC延长线上的一点，其它条件不变，如图3，如果AB⊥BE，AB=2，则S△BEF= ______ ．
27. (本小题10.0分)
自行车厂计划一年生产安装24000辆自行车，若1名熟练工和2名新工人每月一共可安装800辆自行车.且每名熟练工比每名新工人每月多安装200辆自行车．
(1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆自行车？
(2)如果工厂招聘m(其中m大于0且小于8)名新工人，使得新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务．
①工厂有哪几种新工人的招聘方案？
②若每名熟练工每月工资为6000元，每名新工人每月工资为4000元，那么工厂可适当安排熟练工和新工人人数，使新工人的人数多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额最少，请直接写出工厂每月支出工资总额最小值．
28. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点B，C在X轴上，D在Y轴上，如图，已知∠A=60°，C(2,0)，
(1)求点D的坐标；
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿射线AD运动，过点P作PE⊥X轴，于E，直线PE交直线CD于点Q，设△PCQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，当点Q在X轴上方时，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连CP，当点Q在第一象限，△PCQ为等腰三角形时，作∠PQC的平分线交射线AD于点M，此时是否存在点N，使以点D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原式=a9，不符合题意；
B、原式=27a6，不符合题意；
C、原式=a2−2ab+b2，不符合题意；
D、原式=6a2，符合题意．
故选：D．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的有关运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意知，ACD选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，B选项中的图形是轴对称图形但不是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称图形的知识是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.这两周体温36.6℃出现的次数最多，是5次，所以，众数是36.6℃，信息正确，故本选项不符合题意；
B.第一周平均体温是17×(36.7+37.1+36.6+37.1+37.1+36.6+36.9)≈36.9(℃)，第二周平均体温17×(36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8)≈36.7(℃)，第一周平均体温高于第二周平均体温，故本选项不符合题意；
C.第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项符合题意；
D.根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，信息正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据统计图和中位数、众数、平均数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，算术平均数的求解，根据折线统计图准确获取信息是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的画法是解题关键．根据三视图的定义判断即可．
【解答】
解：A选项的平面图形是左视图，C选项的平面图形是主视图，D选项的平面图形是俯视图，
只有B选项的平面图形不是该几何体的三视图．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房约为2(1+x)亿元，第三天票房约为2(1+x)2亿元，
根据题意得：2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62，
整理得：x2+3x−0.31=0，
解得：x1=0.1=10%，x2=−3.1(不符合题意，舍去)，
∴平均每天票房的增长率为10%．
故选：B．
设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房约为2(1+x)亿元，第三天票房约为2(1+x)2亿元，根据三天累计票房6.62亿元，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：x+mx−2+2m2−x=3，
方程两边同乘(x−2)得，x+m−2m=3x−6，
解得，x=6−m2，
∵6−m2≠2，
∴m≠2，
由题意得，6−m2>0，
解得，m<6，
实数m的取值范围是：m<6且m≠2．
故选：D．
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶(6−x)个，
依题意，得：500x+550(6−x)≤3100，
解得：x≥4．
∵x，(6−x)均为非负整数，
∴x可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶(6−x)个，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过3100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，(6−x)均为非负整数，即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的数量．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，如图：
∴△ODE的面积和△OBC的面积相等，都等于k2，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=5+k2，
∵AD：OD=1：2，
∴OD：OA=2：3，
∵DE//AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴S△ODES△OAB=(23)2=49，
即k25+k2=49，
解得：k=8，
故选：B．
根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出S△ODE=S△OBC=12k，S△AOB=12k+5，S△ODES△OAB=49，进而求出即可．
本题考查反比例函数的综合运用，关键是掌握反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
9.【答案】A
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵∠PAE=∠DAE，
∴∠PAE=∠F，
∴PA=PF，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F∠ADE=∠FCEDE=EC，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴CF=AD=4，
设CP=x，PA=PF=x+4，BP=4−x，
在直角△ABP中，
22+(4−x)2=(x+4)2，
解得：x=14，
∴AP的长为174．
故选：A．
根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长．
此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=9，DC//AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=BC，
∵FH⊥BE，
∴∠EHG=90°，
∴∠A+∠EHG=180°，
∴A、E、H、G四点共圆，
∴∠BGF=∠AEB，
在△EAB和△FCB中，
AE=CF∠A=∠CAB=BC，
∴△EAB≌△FCB(SAS)，
∴∠CFB=∠AEB，
∵∠BGF=∠AEB，
∴∠BGF=∠CFB，
∴①正确．
延长BE到Q，使EQ=FH，连接DQ，如图：
∵DC//AB，
∴∠FGB=∠DFH，
∵∠FGB=∠AEB，∠AEB=∠DEQ，
∴∠DFH=∠DEQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵CF=AE，
∴DF=DE，
在△DFH和△DEQ中，
DF=DE∠DFH=∠DEQFH=EQ，
∴△DFH≌△DEQ(SAS)，
∴DQ=DH，∠QDE=∠FDH，
∵∠ADC=90°，
∴∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠FDH+∠EDH=∠ADC=90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QH= 2DH，
即EH+FH= 2DH，
∴②错误．
③连接EF，
∵AD=CD=9，AE=CF=3，
∴DE=DF=6，
∴EF= 2DE=6 2．
∵BF= BC2+CF2= 92+32=3 10，
∴BE=3 10．
设BH=x，则EH=BE−BH=3 10−x，
∵FH2=EF2−EH2=BF2−BH2，
∴(6 2)2−(3 10−x)2=(3 10)2−x2．
72−90+6 10x−x2=90−x2，
∴x=9 105，即BH=9 105．
∵HM⊥AB，
∴sin∠ABE=HMBH=AEBE，
∴HM9 105=33 10，
∴HM=95．
∴HMAE=953=35．
故HMAE=35．
∴③正确．
正确的结论为①③．
故选：B．
①根据A、G、H、E四点共圆得出∠AEB=∠BGF，证△AEB≌△CFB，推出∠AEB=∠CFB，即可判断①；
②延长BE到Q，使EQ=FH，连接DQ，证△DFH≌△DEQ，推出DQ=DH，∠QDE=∠FDH，求出∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠ADC=90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出QH= 2DH，即可判断②；
③连接EF，证明EP= 2DE=6 2，BE=BF=3 10，根据FH2=EF2−EH2=BF2−BH2，求出BH=9 105，根据sin∠ABE=HMBH=AEBE，求出HM=95，即可得到答案．
本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的定方理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义．
11.【答案】1.21×1014
【解析】解：1210000亿=121000000000000=1.21×1014，
故答案为：1.21×1014．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x>−13
【解析】解：∵1 3x+1在实数范围内有意义，
∴3x+1>0，
∴x>−13．
故答案为：x>−13．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
13.【答案】∠DAC=∠ADB或∠BAD=∠CDA或∠DBC=∠ACB或∠ABC=∠DCB或OB=OC或OA=OD
【解析】解：由题意可知，∠ABD=∠ACD，AD是△BAD和△CDA的公共边，
则可以再添加一组角∠DAC=∠ADB或∠BAD=∠CDA
∴△BAD≌△CDA
∴BD=AC，AB=DC，
∵∠DAC=∠ADB，
∴OA=OD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠DAC=∠ACB=∠ADB=∠DBC，
∴AD//BC
同理可添加∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD，从而推出AD//BC且AB=CD．
本题答案不唯一，如∠DAC=∠ADB，∠BAD=∠CDA，∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD.(任选其一)
先证四边形AECO是梯形，再说明是等腰梯形．由题意可知，∠ABD=∠ACD，AD是△BAD和△CDA的公共边，则可以再添加一组角∠DAC=∠ADB或∠BAD=∠CDA，同理可添加∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD，从而推出AD//BC且AB=CD．
这是一道考查等腰梯形的判定方法的开放性的题，答案不唯一．
14.【答案】23
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，摸出的两个球恰好颜色不同有8种情况，
∴小王摸出两个球颜色不同的概率是812=23，
故答案为：23．
画出树形图得到所有可能结果，即可求出两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】m≤1
【解析】解：x+13
解不等式②得：x<2m，
∵不等式组无解，
∴2m≤2，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
16.【答案】 3
【解析】解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4.△EDC是等边三角形，边长是2．
则∠BOE=∠EOD=60°，
∴BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积．
故阴影部分的面积=S△EDC= 34×22= 3．
故答案为： 3．
首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2.而BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．
本题考查了扇形面积的计算及等边三角形的面积的计算，证明△EDC是等边三角形，理解BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积是关键．
17.【答案】2π
【解析】
【分析】
根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥底面圆周长与展开图扇形的弧长之间的关系是解题的关键．
【解答】
解：展开图扇形的弧长l=nπr180=120π×3180=2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
即这个圆锥的底面圆周长是2π cm．
故答案为：2π．
18.【答案】2 3
【解析】解：连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC=16÷4=4，
∴△DCB是等边三角形，
∵BE=CE=2，
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质)．
在Rt△ADE中，DE= BD2−BE2= 42−22=2 3．
即PB+PE的最小值为2 3．
故答案为：2 3．
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
本题主要考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
19.【答案】3或13
【解析】解：如图1，当直线DE与线段AC交于E时，连接EB，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，AD=12AB=4，又DE=3，
由勾股定理得，AE=5，
则CE=AC−AE=3；
如图2，当直线DE与线段CA的延长线交于E时，连接EB，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，AD=12AB=4，又DE=3，
由勾股定理得，AE=5，
则CE=AC+AE=13，
故答案为：3或13．
分直线DE与线段AC交于E和直线DE与线段CA的延长线交于E两种情况，根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
20.【答案】(2 2023,0)
【解析】解：如图，作B2C⊥x轴于点C，设A1C=a，则B2C= 3a，
OC=OA1+A1C=2+a，B2(2+a, 3a)．
∵点B2在反比例函数y= 3x(x>0)上，
∴(2+a)⋅ 3a= 3，
解得a= 2−1，或a=− 2−1(舍去)，
∴OA2=OA1+2A1C=2+2 2−2=2 2，
∴点A2的坐标为(2 2,0)；
作B3D⊥x轴于点D，设A2D=b，则B3D= 3b，
OD=OA2+A2D=2 2+b，B3(2 2+b, 3b)．
∵点B3在反比例函数y= 3x(x>0)上，
∴(2 2+b)⋅ 3b= 3，
解得b= 3− 2，或b=− 3− 2(舍去)，
∴OA3=OA2+2A2D=2 2+2 3−2 2=2 3，
∴点A3的坐标为(2 3,0)；
同理可得点A4的坐标为(2 4,0)即(4,0)；
以此类推…，
∴点An的坐标为(2 n,0)，
∴点A2023的坐标为(2 2023,0)．
故答案为(2 2023,0)．
根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出A2、A3、A4的坐标，得出规律，进而求出点A2023的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出A2、A3、A4的坐标进而得出点An的规律是解题的关键．
21.【答案】解：原式=2xx+3−(x+2)2x+3⋅2(x−2)(x+2)(x−2)
=2xx+3−2(x+2)x+3
=−4x+3，
∵x=2× 32−3= 3−3，
∴原式=−4 3−3+3=−4 33．
【解析】先化简分式，在求出x的值，代入化简后的式子即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握特殊角的余弦值，负整数指数幂等知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求的三角形．
(2)如图，△A2B2C2为所求的三角形，点A2的坐标为(6,−6)；
(3)∵将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为S=90360⋅π⋅[OA12−OC12]+S△A1B1C1
=14π[(6 2)2−(2 2)2]+12×3×4
=16π+6．
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再依次连接即可；
(2)分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2，再依次连接，再写出点A2的坐标即可；
(3)利用扇形面积公式求解即可．
本题考查平移作图与旋转作图，扇形的面积，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，扇形面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在y=ax2+bx+8中，令x=0得y=8，
∴C(0,8)，OC=8．
∵tan∠ABC=2，
∴OCOB=2，即8OB=2，
∴OB=4，
∴B(4,0)，
设OA=m，则AC=AB=4+m．
在Rt△AOC中，OA2+Oc2=AC2，
∴m2+82=(m+4)2，
解得m=6，
∴A(−6,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+6)(x−4)，
将点C(0,8)代入，得8=−24a，
解得a=−13，
∴抛物线解析式为y=−13(x+6)(x−4)=−13x2−23x+8；
(2)在抛物线上存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1：2的两部分，理由如下：
设直线BG交AC于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，过点G作GQ⊥x轴于点Q，
设G(t,−13t2−23t+8)，则GQ=−13t2−23t+8，OQ=−t，
∴BQ=4−t．
当S△ABM：S△CBM=1：2时，S△ABM=13S△ABC，
∴MNOC=13，即MN8=13，
∴MN=83，
∵tan∠CAO=COAO=MNAN，
∴86=83AN，
∴AN=2，
∴BN=AB−AN=4+6−2=8，
∵tan∠GBQ=GQBQ=MNBN，
∴−13t2−23t+84−t=838，
解得t=−5或t=4(与A重合，舍去)，
∴G(−5,3)；
当S△CBM：S△ABM=1：2时，S△ABM=23S△ABC，
同理可得MN=163，AN=4，BN=6，
∵tan∠GBQ=GQBQ=MNBN，
∴−13t2−23t+84−t=1636，
解得t=4(舍去)或t=−103，
∴G(−103,17627)，
综上所述，G的坐标为(−5,3)或(−103,17627).
【解析】(1)求出C(0,8)，OC=8.由tan∠ABC=2，得OB=4，B(4,0)，设OA=m，有m2+82=(m+4)2，可得A(−6,0)，再用待定系数法可得答案；
(2)设直线BG交AC于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，过点G作GQ⊥x轴于点Q，设G(t,−13t2−23t+8)，可得BQ=4−t.分两种情况：当S△ABM：S△CBM=1：2时，S△ABM=13S△ABC，得MN=83，又86=83AN，得AN=2，BN=AB−AN=8，根据tan∠GBQ=GQBQ=MNBN，有−13t2−23t+84−t=838，即可解得G(−5,3)；当S△CBM：S△ABM=1：2时，同理可得G(−103,17627).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积的计算，锐角三角函数等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24.【答案】90°
【解析】解：(1)∵8÷10%=80(名)，
∴本次调查中共抽查了80名学生．
(2)选择足球的学生有：80×15%=12(名)，补全条形统计图如图所示：
(3)“跳绳”部分所对应的圆心角度数是：360×2080=90°，
故答案为：90°．
(4)∵2400×2480=720(名)，
∴估计该校学生中喜欢“篮球”的学生有720名．
(1)根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得这次抽样调查中调查的学生总数，
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整，
(3)根据扇形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数，
(4)根据统计图中的数据，可以计算出该校学生中喜欢“篮球”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)点E的实际意义是甲出发15分钟，乙追上甲，
由题意得：甲步行的速度为1800÷30=60(米/分钟)，
∴甲出发15分钟离开小区的路程为：60×15=900(米)，
∴E(15,900)；
(2)根据题意得：乙骑公共自行车的速度为：900÷(15−10)=180(米/分钟)，
180×(21−10)=1980(米)，
∴点C的坐标为(21,1980)，
∴乙从还车点到学校所花的时间为：(1980−1800)÷45=4(分钟)；
(3)当10≤x≤21时，设乙与小区的距离y与x的函数关系式为y=kx+b，将C(21,1980)，B(10,0)代入得：
10k+b=021k+b=1980，
解得k=180b=−1800，
∴乙与小区的距离y与x的函数关系式为y=180x−1800，
由甲步行的速度为60米/分钟知线段OA解析式为y=60x(0≤x≤30)，
①甲在乙前面300米时，
60x−(180x−1800)=300，
解得x=12.5，
②乙追上甲，乙在甲前面300米时，
(180x−1800)−60x=300，
解得x=17.5；
③乙到达学校，甲距学校还有300米时，
60x=1800−300，
解得x=25，
此时乙刚好到学校，
∴x=25符合题意，
综上所述，甲出发后12.5分钟或17.5分钟或25分钟，两人相距300米．
【解析】(1)由图直接可得点E的实际意义，根据甲步行的速度为1800÷30=60(米/分钟)，即可得E(15,900)；
(2)求出乙骑公共自行车的速度为180米/分钟，即得点C的坐标为(21,1980)，乙从还车点到学校所花的时间为：(1980−1800)÷45=4(分钟)；
(3)用待定系数法求出乙与小区的距离y与x的函数关系式为y=180x−1800，由甲步行的速度为60米/分钟可得线段OA解析式为y=60x(0≤x≤30)，分三种情况：①甲在乙前面300米时，②乙追上甲，乙在甲前面300米时，③乙到达学校，甲距学校还有300米时，分别列出方程即可得甲出发后12.5分钟或17.5分钟或25分钟，两人相距300米．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
26.【答案】3 3
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=12∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
(2)解：BE=EF，
理由如下：过点E作EG//BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF；
(3)解：如图3所示，过点E作EG//BC交AB延长线于点G，过点E作EH⊥BF于H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠ECF=60°．
∵EG//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°．
∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形．
∴AG=AE=GE，
∴BG=CE，∠AGE=∠ECF．
∵CF=AE，
∴GE=CF．
在△BGE和△ECF中，
BG=EC∠BGE=∠ECFGE=CF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF，
∵∠ABC=60°，AB⊥BE，
∴∠EBF=30°，
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB=30°，
∴∠BEF=120°，
∵∠ACB=60°=∠ECF，
∴∠CEF=90°，
∴CF=2CE，∠BEC=30°=∠CBE，
∴BC=CE=2，
∴CF=4，
∴BF=6，
∵EH⊥BF，∠CBE=30°，BE=EF，
∴BH=HF=3，BH= 3HE，
∴HE= 3，
∴S△BEF=12×BF×HE=3 3，
故答案为：3 3．
(1)由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；
(2)过点E作EG//BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；
(3)过点E作EG//BC交AB延长线于点G，证明同(2)可得BE=FE，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EH，BF的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】解：(1)设每个新工人每月可以安装x辆自行车，则每名熟练工每月安装(x+200)辆，
根据题意，可得：(x+200)+2x=800，
解得：x=200，
即：x+200=400(辆)，
答：每个新工人每月可以安装200辆自行车，则每名熟练工每月安装400辆自行车；
(2)①平均每个月的安装数量为：24000÷12=2000(辆)，设需要熟练工n人，
∵每个新工人每月可以安装200辆自行车，每名熟练工每月安装400辆自行车，工厂招聘m名新工人，
∴熟练工的人数为：n=2000−200m400(人)，
整理为：n=5−m2
∵0
即：当m=2时，n=5−m2=4；
当m=4时，n=5−m2=3；
当m=6时，n=5−m2=2；
∴总的方案有3种：
方案一：4名熟练工，2名新工人；
方案二：3名熟练工，4名新工人；
方案三：2名熟练工，6名新工人；
②∵要使新工人的人数多于熟练工，
则①中的方案二和方案三满足条件，
选择方案二时，每月总支出为：6000×3+4000×4=34000(元)；
选择方案三时，每月总支出为：6000×2+4000×6=36000(元)；
∵36000>34000，
∴选择方案二时，每月总支出最少，且为34000元．
【解析】(1)设每个新工人每月可以安装x辆自行车，则每名熟练工每月安装(x+200)辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
(2)①先求出平均每个月的安装数量，设需要熟练工n人，即可熟练工的人数为：n=2000−200m400，整理为：n=5−m2，结合0
28.【答案】解：(1)如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCO=∠A=60°，
在Rt△DOC中，OD=OC⋅tan60°=2 3，
∴D(0,2 3).
(2)①当0
∵C(2,0)，D(0,2 3)，
∴直线CD的解析式为y=− 3x+2 3，
∴AP=t，AD=4，
∴PD=4−t，
∴P(t−4,2 3)，Q(t−4,− 3t+6 3)，
∴PQ=− 3t+4 3，CE=6−t，
∴S=12⋅PQ⋅EC=12⋅(− 3t+4 3)(6−t)= 32t2−5 3t+12 3．
②当4
易知：P(t−4,2 3)，Q(t−4,− 3t+6 3)，
∴PQ= 3t−4 3，CE=6−t，
∴S=12⋅PQ⋅EC=12⋅( 3t−4 3)(6−t)=− 32t2+5 3t−12 3．
(3)如图4中，作CH⊥AD于H，在CH上截取一点G，使得GP=GC，连接PG．
∵QP=QC，∠CQE=30°，
∴∠QCP=∠QPC=15°，
∵PE//CH，
∴∠PCG=∠QPC=∠GPC=15°，
∴∠PGH=30°，设PH=m，则PG=GC=2x，GH= 3x，
∴ 3x+2x=2 3，
∴x=4 3−6，
∴P(8−4 3,2 3)，Q(8−4 3,12−6 3)，
∴直线PC的解析式为y=−( 3+2)x+4+2 3，
∵QM平分∠PQC，
∴QM⊥PC，
∴可得直线QM的解析式为y=(2− 3)x+10 3−16，
令y=2 3，可得x=8，
∴M(8,2 3)，设N(x,y)，
①当QM为对角线时，x=8−4 3+8=16−4 3，y=12−6 3，可得N1(16−4 3,12−6 3).
②当DQ为对角线时，x=8−4 3−8=−4 3，y=12−6 3，可得N3(−4 3,12−6 3).
③当DM为对角线时，8−4 3+x2=0+82，x=4 3，
12−6 3+y2=2 3+2 32，y=10 3−12，
∴N2(4 3,10 3−12)．
综上所述，满足条件的点N的坐标(16−4 3,12−6 3)或(−4 3,12−6 3)或(4 3,10 3−12)．
【解析】(1)在Rt△ODC中，解直角三角形求出OD即可解决问题；
(2)分两种情形分别求解①当0
本题考查一次函数综合题、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，两直线垂直的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2023年黑龙江省鸡西市虎林实验中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各运算中，计算正确的是( )
A. a12÷a3=a4 B. (3a2)3=9a6
C. (a−b)2=a2−ab+b2 D. 2a⋅3a=6a2
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，是小明连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息不正确的是( )
A. 这两周体温的众数为36.6℃ B. 第一周平均体温高于第二周平均体温
C. 第一周体温的中位数为37.1℃ D. 第二周的体温比第一周的体温更加平稳
4. 如图，是由7个完全相同的小正方体组成的几何体．则下列4个平面图形中，不是这个几何体的三视图的是( )
A. B. C. D.
5. 某热门电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天持续增长，三天累计票房6.62亿元，若第二天、第三天按相同的增长率增长，则平均每天票房的增长率为( )
A. 5% B. 10% C. 15% D. 20%
6. 关于x的分式方程x+mx−2+2m2−x=3的解为正实数，则实数m的取值范围是( )
A. m<−6且m≠2 B. m>6且m≠2
C. m<6且m≠−2 D. m<6且m≠2
7. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个.若购买的总费用不超过3100元，则不同的购买方式有( )
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
8. 如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上，若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为( )
A. 4
B. 8
C. 5
D. 10
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，点P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，则AP的长度为( )
A. 174 B. 154 C. 4 D. 92
10. 如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=9，AE=3，则下列结论中：
①∠BGF=∠CFB；
②2DH=EH+FH；
③HMAE=35，
其中结论正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2022年超过1210000亿元.将1210000亿用科学记数法表示应为______ ．
12. 若1 3x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
13. 如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD=∠ACD，请你添加一个条件：______ ，使得加上这个条件后能够推出AD//BC且AB=CD．
14. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，小王随机从中摸出一个记下颜色，不放回，从中再摸出一个，则小王摸出两个球颜色不同的概率是______．
15. 若不等式组x+13
17. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆周长是 cm．
18. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠DAB=60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接BP、EP，则PB+PE的最小值为 ．
19. 在△ABC中，AB=AC=8，作AB边的垂直平分线交AB边于点D，交直线AC于点E，若DE=3，则线段CE的长为______．
20. 如图，已知点A1，A2，A3，A4，A5，…在x轴正半轴上，分别以OA1，A1A2，A2A3，A3A4，…为边在第一象限作等边ΔOA1B1，等边△A1A2B2，等边△A2A3B3，…，且点B1，B2，B3，B4，…在反比例函数y= 3x(x>0)上，且OB1=2，则点A2023的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
先化简，再求值：2xx+3−x2+4x+4x+3÷x2−42x−4；其中x=2cos30°−(13)−1．
22. (本小题6.0分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A(−6,7)，B(−5,3)，C(−2,3)都在格点上．
(1)将△ABC先向下平移1个单位长度，再沿x轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．
23. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC，tan∠ABC=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1：2的两部分，若存在，求点G的横坐标；若不存在，请说明理由．
24. (本小题7.0分)
某中学课题小组为了了解该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“跳绳、篮球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好(每人必选且只能选其中一项)，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求本次调查中共抽查了多少名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数是______ ．
(4)若该校共有2400名学生，请你估计该校喜欢“篮球”的学生有多少名．
25. (本小题8.0分)
某校的甲，乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距1800米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即以45米/分钟的速度步行到学校，设甲步行的时间为x(分钟)，图中线段OA和折线B−C−D分别表示甲，乙离开小区的路程y米)与甲步行时间x(分钟)的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题：
(1)写出点E横坐标的实际意义，并求出点E的纵坐标．
(2)求乙从还车点到学校所花的时间．
(3)两人何时相距300米？
26. (本小题8.0分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
(1)若E是线段AC的中点，如图1，易证BE=FE；(无需证明，方法提示：过E做EH//AD，易证△BHE≌△ECF)
(2)若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，如图2，线段BE、EF有怎样的数量关系？说明理由．
(3)若E是线段AC延长线上的一点，其它条件不变，如图3，如果AB⊥BE，AB=2，则S△BEF= ______ ．
27. (本小题10.0分)
自行车厂计划一年生产安装24000辆自行车，若1名熟练工和2名新工人每月一共可安装800辆自行车.且每名熟练工比每名新工人每月多安装200辆自行车．
(1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆自行车？
(2)如果工厂招聘m(其中m大于0且小于8)名新工人，使得新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务．
①工厂有哪几种新工人的招聘方案？
②若每名熟练工每月工资为6000元，每名新工人每月工资为4000元，那么工厂可适当安排熟练工和新工人人数，使新工人的人数多于熟练工，且工厂每月支出的工资总额最少，请直接写出工厂每月支出工资总额最小值．
28. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点B，C在X轴上，D在Y轴上，如图，已知∠A=60°，C(2,0)，
(1)求点D的坐标；
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿射线AD运动，过点P作PE⊥X轴，于E，直线PE交直线CD于点Q，设△PCQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，当点Q在X轴上方时，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连CP，当点Q在第一象限，△PCQ为等腰三角形时，作∠PQC的平分线交射线AD于点M，此时是否存在点N，使以点D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原式=a9，不符合题意；
B、原式=27a6，不符合题意；
C、原式=a2−2ab+b2，不符合题意；
D、原式=6a2，符合题意．
故选：D．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的有关运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意知，ACD选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，B选项中的图形是轴对称图形但不是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称图形的知识是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.这两周体温36.6℃出现的次数最多，是5次，所以，众数是36.6℃，信息正确，故本选项不符合题意；
B.第一周平均体温是17×(36.7+37.1+36.6+37.1+37.1+36.6+36.9)≈36.9(℃)，第二周平均体温17×(36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8)≈36.7(℃)，第一周平均体温高于第二周平均体温，故本选项不符合题意；
C.第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项符合题意；
D.根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，信息正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据统计图和中位数、众数、平均数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，算术平均数的求解，根据折线统计图准确获取信息是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的画法是解题关键．根据三视图的定义判断即可．
【解答】
解：A选项的平面图形是左视图，C选项的平面图形是主视图，D选项的平面图形是俯视图，
只有B选项的平面图形不是该几何体的三视图．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房约为2(1+x)亿元，第三天票房约为2(1+x)2亿元，
根据题意得：2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62，
整理得：x2+3x−0.31=0，
解得：x1=0.1=10%，x2=−3.1(不符合题意，舍去)，
∴平均每天票房的增长率为10%．
故选：B．
设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房约为2(1+x)亿元，第三天票房约为2(1+x)2亿元，根据三天累计票房6.62亿元，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：x+mx−2+2m2−x=3，
方程两边同乘(x−2)得，x+m−2m=3x−6，
解得，x=6−m2，
∵6−m2≠2，
∴m≠2，
由题意得，6−m2>0，
解得，m<6，
实数m的取值范围是：m<6且m≠2．
故选：D．
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶(6−x)个，
依题意，得：500x+550(6−x)≤3100，
解得：x≥4．
∵x，(6−x)均为非负整数，
∴x可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶(6−x)个，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过3100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，(6−x)均为非负整数，即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的数量．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，如图：
∴△ODE的面积和△OBC的面积相等，都等于k2，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=5+k2，
∵AD：OD=1：2，
∴OD：OA=2：3，
∵DE//AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴S△ODES△OAB=(23)2=49，
即k25+k2=49，
解得：k=8，
故选：B．
根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出S△ODE=S△OBC=12k，S△AOB=12k+5，S△ODES△OAB=49，进而求出即可．
本题考查反比例函数的综合运用，关键是掌握反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
9.【答案】A
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F，
又∵∠PAE=∠DAE，
∴∠PAE=∠F，
∴PA=PF，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F∠ADE=∠FCEDE=EC，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴CF=AD=4，
设CP=x，PA=PF=x+4，BP=4−x，
在直角△ABP中，
22+(4−x)2=(x+4)2，
解得：x=14，
∴AP的长为174．
故选：A．
根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长．
此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=9，DC//AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=BC，
∵FH⊥BE，
∴∠EHG=90°，
∴∠A+∠EHG=180°，
∴A、E、H、G四点共圆，
∴∠BGF=∠AEB，
在△EAB和△FCB中，
AE=CF∠A=∠CAB=BC，
∴△EAB≌△FCB(SAS)，
∴∠CFB=∠AEB，
∵∠BGF=∠AEB，
∴∠BGF=∠CFB，
∴①正确．
延长BE到Q，使EQ=FH，连接DQ，如图：
∵DC//AB，
∴∠FGB=∠DFH，
∵∠FGB=∠AEB，∠AEB=∠DEQ，
∴∠DFH=∠DEQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵CF=AE，
∴DF=DE，
在△DFH和△DEQ中，
DF=DE∠DFH=∠DEQFH=EQ，
∴△DFH≌△DEQ(SAS)，
∴DQ=DH，∠QDE=∠FDH，
∵∠ADC=90°，
∴∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠FDH+∠EDH=∠ADC=90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QH= 2DH，
即EH+FH= 2DH，
∴②错误．
③连接EF，
∵AD=CD=9，AE=CF=3，
∴DE=DF=6，
∴EF= 2DE=6 2．
∵BF= BC2+CF2= 92+32=3 10，
∴BE=3 10．
设BH=x，则EH=BE−BH=3 10−x，
∵FH2=EF2−EH2=BF2−BH2，
∴(6 2)2−(3 10−x)2=(3 10)2−x2．
72−90+6 10x−x2=90−x2，
∴x=9 105，即BH=9 105．
∵HM⊥AB，
∴sin∠ABE=HMBH=AEBE，
∴HM9 105=33 10，
∴HM=95．
∴HMAE=953=35．
故HMAE=35．
∴③正确．
正确的结论为①③．
故选：B．
①根据A、G、H、E四点共圆得出∠AEB=∠BGF，证△AEB≌△CFB，推出∠AEB=∠CFB，即可判断①；
②延长BE到Q，使EQ=FH，连接DQ，证△DFH≌△DEQ，推出DQ=DH，∠QDE=∠FDH，求出∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠ADC=90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出QH= 2DH，即可判断②；
③连接EF，证明EP= 2DE=6 2，BE=BF=3 10，根据FH2=EF2−EH2=BF2−BH2，求出BH=9 105，根据sin∠ABE=HMBH=AEBE，求出HM=95，即可得到答案．
本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的边角性质，三角形全等的定方理和性质定理，勾股定理，锐角三角函数定义．
11.【答案】1.21×1014
【解析】解：1210000亿=121000000000000=1.21×1014，
故答案为：1.21×1014．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x>−13
【解析】解：∵1 3x+1在实数范围内有意义，
∴3x+1>0，
∴x>−13．
故答案为：x>−13．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
13.【答案】∠DAC=∠ADB或∠BAD=∠CDA或∠DBC=∠ACB或∠ABC=∠DCB或OB=OC或OA=OD
【解析】解：由题意可知，∠ABD=∠ACD，AD是△BAD和△CDA的公共边，
则可以再添加一组角∠DAC=∠ADB或∠BAD=∠CDA
∴△BAD≌△CDA
∴BD=AC，AB=DC，
∵∠DAC=∠ADB，
∴OA=OD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠DAC=∠ACB=∠ADB=∠DBC，
∴AD//BC
同理可添加∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD，从而推出AD//BC且AB=CD．
本题答案不唯一，如∠DAC=∠ADB，∠BAD=∠CDA，∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD.(任选其一)
先证四边形AECO是梯形，再说明是等腰梯形．由题意可知，∠ABD=∠ACD，AD是△BAD和△CDA的公共边，则可以再添加一组角∠DAC=∠ADB或∠BAD=∠CDA，同理可添加∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD，从而推出AD//BC且AB=CD．
这是一道考查等腰梯形的判定方法的开放性的题，答案不唯一．
14.【答案】23
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，摸出的两个球恰好颜色不同有8种情况，
∴小王摸出两个球颜色不同的概率是812=23，
故答案为：23．
画出树形图得到所有可能结果，即可求出两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】m≤1
【解析】解：x+13
解不等式②得：x<2m，
∵不等式组无解，
∴2m≤2，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
16.【答案】 3
【解析】解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4.△EDC是等边三角形，边长是2．
则∠BOE=∠EOD=60°，
∴BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积．
故阴影部分的面积=S△EDC= 34×22= 3．
故答案为： 3．
首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2.而BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．
本题考查了扇形面积的计算及等边三角形的面积的计算，证明△EDC是等边三角形，理解BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积是关键．
17.【答案】2π
【解析】
【分析】
根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥底面圆周长与展开图扇形的弧长之间的关系是解题的关键．
【解答】
解：展开图扇形的弧长l=nπr180=120π×3180=2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
即这个圆锥的底面圆周长是2π cm．
故答案为：2π．
18.【答案】2 3
【解析】解：连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC=16÷4=4，
∴△DCB是等边三角形，
∵BE=CE=2，
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质)．
在Rt△ADE中，DE= BD2−BE2= 42−22=2 3．
即PB+PE的最小值为2 3．
故答案为：2 3．
找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
本题主要考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
19.【答案】3或13
【解析】解：如图1，当直线DE与线段AC交于E时，连接EB，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，AD=12AB=4，又DE=3，
由勾股定理得，AE=5，
则CE=AC−AE=3；
如图2，当直线DE与线段CA的延长线交于E时，连接EB，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，AD=12AB=4，又DE=3，
由勾股定理得，AE=5，
则CE=AC+AE=13，
故答案为：3或13．
分直线DE与线段AC交于E和直线DE与线段CA的延长线交于E两种情况，根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
20.【答案】(2 2023,0)
【解析】解：如图，作B2C⊥x轴于点C，设A1C=a，则B2C= 3a，
OC=OA1+A1C=2+a，B2(2+a, 3a)．
∵点B2在反比例函数y= 3x(x>0)上，
∴(2+a)⋅ 3a= 3，
解得a= 2−1，或a=− 2−1(舍去)，
∴OA2=OA1+2A1C=2+2 2−2=2 2，
∴点A2的坐标为(2 2,0)；
作B3D⊥x轴于点D，设A2D=b，则B3D= 3b，
OD=OA2+A2D=2 2+b，B3(2 2+b, 3b)．
∵点B3在反比例函数y= 3x(x>0)上，
∴(2 2+b)⋅ 3b= 3，
解得b= 3− 2，或b=− 3− 2(舍去)，
∴OA3=OA2+2A2D=2 2+2 3−2 2=2 3，
∴点A3的坐标为(2 3,0)；
同理可得点A4的坐标为(2 4,0)即(4,0)；
以此类推…，
∴点An的坐标为(2 n,0)，
∴点A2023的坐标为(2 2023,0)．
故答案为(2 2023,0)．
根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出A2、A3、A4的坐标，得出规律，进而求出点A2023的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出A2、A3、A4的坐标进而得出点An的规律是解题的关键．
21.【答案】解：原式=2xx+3−(x+2)2x+3⋅2(x−2)(x+2)(x−2)
=2xx+3−2(x+2)x+3
=−4x+3，
∵x=2× 32−3= 3−3，
∴原式=−4 3−3+3=−4 33．
【解析】先化简分式，在求出x的值，代入化简后的式子即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握特殊角的余弦值，负整数指数幂等知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求的三角形．
(2)如图，△A2B2C2为所求的三角形，点A2的坐标为(6,−6)；
(3)∵将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为S=90360⋅π⋅[OA12−OC12]+S△A1B1C1
=14π[(6 2)2−(2 2)2]+12×3×4
=16π+6．
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再依次连接即可；
(2)分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2，再依次连接，再写出点A2的坐标即可；
(3)利用扇形面积公式求解即可．
本题考查平移作图与旋转作图，扇形的面积，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，扇形面积公式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在y=ax2+bx+8中，令x=0得y=8，
∴C(0,8)，OC=8．
∵tan∠ABC=2，
∴OCOB=2，即8OB=2，
∴OB=4，
∴B(4,0)，
设OA=m，则AC=AB=4+m．
在Rt△AOC中，OA2+Oc2=AC2，
∴m2+82=(m+4)2，
解得m=6，
∴A(−6,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+6)(x−4)，
将点C(0,8)代入，得8=−24a，
解得a=−13，
∴抛物线解析式为y=−13(x+6)(x−4)=−13x2−23x+8；
(2)在抛物线上存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1：2的两部分，理由如下：
设直线BG交AC于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，过点G作GQ⊥x轴于点Q，
设G(t,−13t2−23t+8)，则GQ=−13t2−23t+8，OQ=−t，
∴BQ=4−t．
当S△ABM：S△CBM=1：2时，S△ABM=13S△ABC，
∴MNOC=13，即MN8=13，
∴MN=83，
∵tan∠CAO=COAO=MNAN，
∴86=83AN，
∴AN=2，
∴BN=AB−AN=4+6−2=8，
∵tan∠GBQ=GQBQ=MNBN，
∴−13t2−23t+84−t=838，
解得t=−5或t=4(与A重合，舍去)，
∴G(−5,3)；
当S△CBM：S△ABM=1：2时，S△ABM=23S△ABC，
同理可得MN=163，AN=4，BN=6，
∵tan∠GBQ=GQBQ=MNBN，
∴−13t2−23t+84−t=1636，
解得t=4(舍去)或t=−103，
∴G(−103,17627)，
综上所述，G的坐标为(−5,3)或(−103,17627).
【解析】(1)求出C(0,8)，OC=8.由tan∠ABC=2，得OB=4，B(4,0)，设OA=m，有m2+82=(m+4)2，可得A(−6,0)，再用待定系数法可得答案；
(2)设直线BG交AC于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，过点G作GQ⊥x轴于点Q，设G(t,−13t2−23t+8)，可得BQ=4−t.分两种情况：当S△ABM：S△CBM=1：2时，S△ABM=13S△ABC，得MN=83，又86=83AN，得AN=2，BN=AB−AN=8，根据tan∠GBQ=GQBQ=MNBN，有−13t2−23t+84−t=838，即可解得G(−5,3)；当S△CBM：S△ABM=1：2时，同理可得G(−103,17627).
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积的计算，锐角三角函数等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24.【答案】90°
【解析】解：(1)∵8÷10%=80(名)，
∴本次调查中共抽查了80名学生．
(2)选择足球的学生有：80×15%=12(名)，补全条形统计图如图所示：
(3)“跳绳”部分所对应的圆心角度数是：360×2080=90°，
故答案为：90°．
(4)∵2400×2480=720(名)，
∴估计该校学生中喜欢“篮球”的学生有720名．
(1)根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得这次抽样调查中调查的学生总数，
(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整，
(3)根据扇形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数，
(4)根据统计图中的数据，可以计算出该校学生中喜欢“篮球”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)点E的实际意义是甲出发15分钟，乙追上甲，
由题意得：甲步行的速度为1800÷30=60(米/分钟)，
∴甲出发15分钟离开小区的路程为：60×15=900(米)，
∴E(15,900)；
(2)根据题意得：乙骑公共自行车的速度为：900÷(15−10)=180(米/分钟)，
180×(21−10)=1980(米)，
∴点C的坐标为(21,1980)，
∴乙从还车点到学校所花的时间为：(1980−1800)÷45=4(分钟)；
(3)当10≤x≤21时，设乙与小区的距离y与x的函数关系式为y=kx+b，将C(21,1980)，B(10,0)代入得：
10k+b=021k+b=1980，
解得k=180b=−1800，
∴乙与小区的距离y与x的函数关系式为y=180x−1800，
由甲步行的速度为60米/分钟知线段OA解析式为y=60x(0≤x≤30)，
①甲在乙前面300米时，
60x−(180x−1800)=300，
解得x=12.5，
②乙追上甲，乙在甲前面300米时，
(180x−1800)−60x=300，
解得x=17.5；
③乙到达学校，甲距学校还有300米时，
60x=1800−300，
解得x=25，
此时乙刚好到学校，
∴x=25符合题意，
综上所述，甲出发后12.5分钟或17.5分钟或25分钟，两人相距300米．
【解析】(1)由图直接可得点E的实际意义，根据甲步行的速度为1800÷30=60(米/分钟)，即可得E(15,900)；
(2)求出乙骑公共自行车的速度为180米/分钟，即得点C的坐标为(21,1980)，乙从还车点到学校所花的时间为：(1980−1800)÷45=4(分钟)；
(3)用待定系数法求出乙与小区的距离y与x的函数关系式为y=180x−1800，由甲步行的速度为60米/分钟可得线段OA解析式为y=60x(0≤x≤30)，分三种情况：①甲在乙前面300米时，②乙追上甲，乙在甲前面300米时，③乙到达学校，甲距学校还有300米时，分别列出方程即可得甲出发后12.5分钟或17.5分钟或25分钟，两人相距300米．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
26.【答案】3 3
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=12∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
(2)解：BE=EF，
理由如下：过点E作EG//BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF；
(3)解：如图3所示，过点E作EG//BC交AB延长线于点G，过点E作EH⊥BF于H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠ECF=60°．
∵EG//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°．
∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形．
∴AG=AE=GE，
∴BG=CE，∠AGE=∠ECF．
∵CF=AE，
∴GE=CF．
在△BGE和△ECF中，
BG=EC∠BGE=∠ECFGE=CF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE=EF，
∵∠ABC=60°，AB⊥BE，
∴∠EBF=30°，
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB=30°，
∴∠BEF=120°，
∵∠ACB=60°=∠ECF，
∴∠CEF=90°，
∴CF=2CE，∠BEC=30°=∠CBE，
∴BC=CE=2，
∴CF=4，
∴BF=6，
∵EH⊥BF，∠CBE=30°，BE=EF，
∴BH=HF=3，BH= 3HE，
∴HE= 3，
∴S△BEF=12×BF×HE=3 3，
故答案为：3 3．
(1)由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；
(2)过点E作EG//BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；
(3)过点E作EG//BC交AB延长线于点G，证明同(2)可得BE=FE，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EH，BF的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】解：(1)设每个新工人每月可以安装x辆自行车，则每名熟练工每月安装(x+200)辆，
根据题意，可得：(x+200)+2x=800，
解得：x=200，
即：x+200=400(辆)，
答：每个新工人每月可以安装200辆自行车，则每名熟练工每月安装400辆自行车；
(2)①平均每个月的安装数量为：24000÷12=2000(辆)，设需要熟练工n人，
∵每个新工人每月可以安装200辆自行车，每名熟练工每月安装400辆自行车，工厂招聘m名新工人，
∴熟练工的人数为：n=2000−200m400(人)，
整理为：n=5−m2
∵0
即：当m=2时，n=5−m2=4；
当m=4时，n=5−m2=3；
当m=6时，n=5−m2=2；
∴总的方案有3种：
方案一：4名熟练工，2名新工人；
方案二：3名熟练工，4名新工人；
方案三：2名熟练工，6名新工人；
②∵要使新工人的人数多于熟练工，
则①中的方案二和方案三满足条件，
选择方案二时，每月总支出为：6000×3+4000×4=34000(元)；
选择方案三时，每月总支出为：6000×2+4000×6=36000(元)；
∵36000>34000，
∴选择方案二时，每月总支出最少，且为34000元．
【解析】(1)设每个新工人每月可以安装x辆自行车，则每名熟练工每月安装(x+200)辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
(2)①先求出平均每个月的安装数量，设需要熟练工n人，即可熟练工的人数为：n=2000−200m400，整理为：n=5−m2，结合0
28.【答案】解：(1)如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCO=∠A=60°，
在Rt△DOC中，OD=OC⋅tan60°=2 3，
∴D(0,2 3).
(2)①当0
∵C(2,0)，D(0,2 3)，
∴直线CD的解析式为y=− 3x+2 3，
∴AP=t，AD=4，
∴PD=4−t，
∴P(t−4,2 3)，Q(t−4,− 3t+6 3)，
∴PQ=− 3t+4 3，CE=6−t，
∴S=12⋅PQ⋅EC=12⋅(− 3t+4 3)(6−t)= 32t2−5 3t+12 3．
②当4
易知：P(t−4,2 3)，Q(t−4,− 3t+6 3)，
∴PQ= 3t−4 3，CE=6−t，
∴S=12⋅PQ⋅EC=12⋅( 3t−4 3)(6−t)=− 32t2+5 3t−12 3．
(3)如图4中，作CH⊥AD于H，在CH上截取一点G，使得GP=GC，连接PG．
∵QP=QC，∠CQE=30°，
∴∠QCP=∠QPC=15°，
∵PE//CH，
∴∠PCG=∠QPC=∠GPC=15°，
∴∠PGH=30°，设PH=m，则PG=GC=2x，GH= 3x，
∴ 3x+2x=2 3，
∴x=4 3−6，
∴P(8−4 3,2 3)，Q(8−4 3,12−6 3)，
∴直线PC的解析式为y=−( 3+2)x+4+2 3，
∵QM平分∠PQC，
∴QM⊥PC，
∴可得直线QM的解析式为y=(2− 3)x+10 3−16，
令y=2 3，可得x=8，
∴M(8,2 3)，设N(x,y)，
①当QM为对角线时，x=8−4 3+8=16−4 3，y=12−6 3，可得N1(16−4 3,12−6 3).
②当DQ为对角线时，x=8−4 3−8=−4 3，y=12−6 3，可得N3(−4 3,12−6 3).
③当DM为对角线时，8−4 3+x2=0+82，x=4 3，
12−6 3+y2=2 3+2 32，y=10 3−12，
∴N2(4 3,10 3−12)．
综上所述，满足条件的点N的坐标(16−4 3,12−6 3)或(−4 3,12−6 3)或(4 3,10 3−12)．
【解析】(1)在Rt△ODC中，解直角三角形求出OD即可解决问题；
(2)分两种情形分别求解①当0
本题考查一次函数综合题、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，两直线垂直的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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