2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，复数5i−2的共轭复数为(    )
A. i+2 B. −2−i C. i−2 D. 2−i
2. 已知点P(tanα,cosα)在第三象限，则角α的终边在第几象限(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 化简AB+BC+CD+DE(    )
A. 0 B. AE C. 0 D. EA
4. 在△ABC中，cosB=14，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积等于(    )
A. 14 B. 12 C. 32 D. 154
5. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40o的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70o，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65o，那么B，C两点间的距离是(    )
A. 10 2海里 B. 10 3海里 C. 20 3海里 D. 20 2海里
6. 已知向量a，b满足2a−b=(0,3)，a−2b=(−3,0)，λa+μb=(−1,1)，则λ+μ=(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 已知向量a=(2,1)，b=(−1,1)，c=(m−2,−n)，且(a+b)//c，则mn的最大值为(    )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
8. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是(    )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列选项中正确的是(    )
A. sin(α−3π)=sinα B. cos(α−72π)=−sinα
C. tan(−α−π)=−tanα D. sin(52π−α)=cosα
10. 给出下列命题，其中假命题为(    )
A. 两个具有共同终点的向量，一定是共线向量
B. 若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件
C. 若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
D. λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线
11. 对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(    )
A. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B. 若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形
C. 若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC为钝角三角形
D. 若AB= 3，AC=1，B=30°，则△ABC的面积为 34或 32
12. 在△ABC中，已知(a+b)：(c+a)：(b+c)=6：5：4，给出下列结论中正确结论是(    )
A. 由已知条件，这个三角形被唯一确定
B. △ABC一定是钝三角形
C. sinA：sinB：sinC=7：5：3
D. 若b+c=8，则△ABC的面积是15 32
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数z满足z(1−2i)=1(其中i是虚数单位)，则复数z的虚部为______．
14. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB|的值是______．
15. 已知曲线y=sin(ωx+π6)关于直线x=1对称，则|ω|的最小值为          ．
16. 关于函数f(x)=cos(2x−π3)+cos(2x+π6)，有下列命题：
①y=f(x)的最大值为 2；
②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y=f(x)在区间(π24,13π24)上单调递减；
④将函数y= 2cos2x的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是______.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(Ⅰ)已知m∈R，复数z=(m2−4m−5)+(m2−2m−15)i是纯虚数，求m的值；
(Ⅱ)已知复数z满足方程z+(z−2)i=0，求z−及|z−+2i|的值．
18. (本小题12.0分)
已知向量OA=a，OB=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4．
(1)求|a+b|，|a−b|；
(2)求a+b与a的夹角及a−b与a的夹角．
19. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcos A．
    (1)求角B的大小；
    (2)若b=2 3，a+c=4，求△ABC的面积．

20. (本小题12.0分)
如图，在圆内接△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足acosC+ccosA=2bcosB．
(1)求B的大小；
(2)若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求ABCD四边形的面积．

21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．

(1)求函数的解析式．
(2)求函数的单调递增区间．
(3)当x∈[0,π2]时，求f(x)的取值范围．
22. (本小题12.0分)
已知向量a=(sinx,cosx),b=(sin(x−π6),sinx)，函数f(x)=2a⋅b，g(x)=f(π4x)．
(1)求f(x)在[π2,π]上的最值，并求出相应的x的值；
(2)计算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值；
(3)已知t∈R，讨论g(x)在[t,t+2]上零点的个数．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−2−i，其共轭复数为−2+i．
故选：C．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数值的符号特征，是基础题．
由题意，推导出tanα<0cosα<0，确定α的象限，然后取得结果．
【解答】
解：∵P(tanα,cosα)在第三象限，
∴tanα<0cosα<0，
由tanα<0，得α在第二、四象限，
由cosα<0，得α在第二、三象限
∴α在第二象限．
故选B．
  
3.【答案】B 
【解析】解：∵AB+BC+CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE，
故选：B．
直接根据向量的加法运算即可求解．
本题考查的知识点是向量加减运算，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积的计算问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
利用正弦定理和余弦定理求出a、c的值，即可解得△ABC的面积．
【解答】
解：△ABC中，cosB=14，b=2，sinC=2sinA，
由正弦定理得c=2a，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB
=a2+4a2−2a⋅2a⋅14=4a2=4，
解得a=1，∴c=2，
可得△ABC的面积为S=12acsinB=12×1×2× 1−(14)2= 154．
故选：D．  
5.【答案】A 
【解析】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，
从而∠ACB=45°．
在△ABC中，由正弦定理可得BC=ABsin45∘×sin30°=10 2海里．
故选：A．
根据题意，确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．
本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查．

6.【答案】B 
【解析】解：∵2a−b=(0,3)，则4a−2b=(0,6)，①，
又a−2b=(−3,0)，②，
由①−②得：3a=(3,6)，即a=(1,2)，
同理，b=(2,1)，
又λa+μb=(λ+2μ,2λ+μ)=(−1,1)，即λ+2μ=−12λ+μ=1，得λ=1μ=−1，
故λ+μ=1+(−1)=0，
故答案为：B．
根据题意可解a,b，再根据λa+μb=(−1,1)，可解出λ和μ，可解此题．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：a=(2,1)，b=(−1,1)，
则a+b=(1,2)，
∵c=(m−2,−n)，且(a+b)//c，
∴−n=2(m−2)，即2m+n=4，
当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0，
当m>0且n>0时，2m+n=4≥2 2mn，即mn≤2，
当且仅当2m=n2m+n=4，即m=1，n=2时，等号成立，
综上所述，mn的最大值为2．
故选：B．
根据向量平行得到2m+n=4，再利用均值不等式计算得到答案．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．
【解答】
解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x=−y，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．
当x=π2时，函数的值为0，故排除C．
故选D．
  
9.【答案】BCD 
【解析】解：∵sin(α−3π)=sin(α−π)=−sin(π−α)=−sinα，故A不正确；
∵cos(α−72π)=cos(α+12π)=−sinα，故B正确；
∵tan(−α−π)=tan(−α)=−tanα，故C正确；
∵sin(52π−α)=sin(12π−α)=cosα，故D正确，
故选：BCD．
由题意利用诱导公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

10.【答案】ACD 
【解析】解：两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，故它们不一定是共线向量，故A错误．
若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故B正确．
若a与b同向，且|a|>|b|，则a与b不能比较大小，故C错误．
λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b不一定共线，例如当λ=μ=0时，a与b是任意的，故D错误．
故选：ACD．
由题意，利用向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查向量的相关概念，向量共线及向量相等，属于基础题．

11.【答案】CD 
【解析】解：对于A：sin2A=sin2B，∴A=B⇒△ABC是等腰三角形，或2A+2B=π⇒A+B=π2，即△ABC是直角三角形．故A不对；
对于B：由sinA=cosB，∴A−B=π2或A+B=π2.∴△ABC不一定是直角三角形；
对于C：sin2A+sin2B<1−cos2C=sin2C，∴a2+b2 对于D：由正弦定理，得
sinC=c⋅sinBb= 32.而c>b，∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°．
∴S△ABC=12bcsinA= 32或 34.D正确．
故选：CD．
通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可．
本题考查三角形的判断正弦定理以及勾股定理的应用，是基本知识的考查．

12.【答案】BC 
【解析】解：∵(a+b)：(c+a)：(b+c)=6：5：4，
∴设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，(k>0)，
得a=72k，b=52k，c=32k，
则a：b：c=7：5：3，
则sinA：sinB：sinC=7：5：3，故C正确，
由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误，
cosA=b2+c2−a22bc=254k2+94k2−494k22×52×32k2=−12<0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确，
若b+c=8，则52k+32k=4k=8，
则k=2，即b=5，c=3，A=120°，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×5×3× 32=15 34.故D错误，
故选：BC．
根据边长比例关系，求出a，b，c的关系，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式分别进行计算，判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，结合三角形的边长关系，求出a，b，c的比例关系是解决本题的关键．

13.【答案】25 
【解析】解：由z(1−2i)=1，得z=11−2i=1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，
∴复数z的虚部为25．
故答案为：25．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

14.【答案】1 
【解析】解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，
∴|AB|= (cos80°−cos20°)2+(sin80°−sin20°)2
= cos280°+sin280°+cos220°+sin220°−2cos80°cos20°−2sin80°sin20°
= 2−2cos60°=1．
故答案为：1．
根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．
本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值，是基础题．

15.【答案】π3 
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的对称性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，属于基础题．
利用y=sinx的对称轴方程可得已知曲线的对称轴方程，利用整体代换思想可求出ω的关系式，进而求出结果．
【解答】
解：因为曲线y=sin(ωx+π6)关于直线x=1对称，
所以ω+π6=π2+kπ(k∈Z)，
所以ω=π3+kπ(k∈Z)，
即|ω|的最小值为π3，
故答案为：π3．
  
16.【答案】①②③ 
【解析】解：函数f(x)=cos(2x−π3)+cos(2x+π6)=12cos2x+ 32sin2x+ 32cos2x−12sin2x
=1+ 32cos2x+ 3−12sin2x= 2( 6+ 24cos2x+ 6− 24sin2x)= 2sin(2x+5π12)．
∴函数f(x)的最大值为 2，因此①正确；
周期T=2π2=π，因此②正确；
当x∈(π24,13π24)时，(2x+5π12)∈(π2,3π2)，因此y=f(x)在区间(π24,13π24)上单调递减，因此③正确；
将函数y= 2cos2x的图象向左平移π24个单位后，得到y= 2cos2(x+π24)
= 2cos(2x+π12)= 2sin(π2−2x−π12)=− 2sin(2x−5π12)≠ 2sin(2x+5π12)，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．
利用两角和差的正余弦公式可把f(x)化为 2sin(2x+5π12)，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．
熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．

17.【答案】解：(Ⅰ)∵z为纯虚数，
∴m2−4m−5=0m2−2m−15≠0⇒m=5或m=−1m≠5且m≠−3，
∴m=−1；
(Ⅱ)z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，
∴z−=1−i，
∴|z−+2i|=|(1−i)+2i|=|1+i|= 2 
【解析】(Ⅰ)根据z为纯虚数，得z的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；
(Ⅱ)根据方程求出z，然后求出z的共轭复数和|z−+2i|即可．
本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．

18.【答案】解：(1)因为向量OA=a，OB=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4，
所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=16+2×4×4×12+16=48，
所以|a+b|=4 3，
又|a−b|2=(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=|a|2−2|a||b|cos60°+|b|2=16−2×4×4×12+16=16，
所以|a−b|=4；
(2)记a+b与a的夹角为α，α∈[0°,180°]，a−b与a的夹角为β，β∈[0°,180°]，
则cosα=(a+b)⋅a|a+b||a|=a2+a⋅b4 3×4=16+4×4×1216 3= 32，
所以α=30°．cosβ=(a−b)⋅a|a−b||a|=a2−a⋅b4×4=16−4×4×1216=12，
所以β=60°． 
【解析】(1)由|a+b|2=(a+b)2、|a−b|2=(a−b)2，结合平面向量数量积的运算即可得解；
(2)记a+b与a的夹角为α，a−b与a的夹角为β，β∈[0°,180°]，由平面向量数量积的定义可得cosα、cosβ，即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题．

19.【答案】解：(1)因为a+2c=2bcosA，
由正弦定理，得sinA+2sinC=2sinBcosA，
因为C=π−(A+B)，
所以sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA．
即以sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA，
所以sinA(1+2cosB)=0，
因为sinA≠0，
所以cosB=−12，
又因为0 所以B=2π3，
(2)由余弦定理a2+c2−2accosB=b2及b=2 3得，a2+c2+ac=12，
即(a+c)2−ac=12，
又因为a+c=4，
所以ac=4，
所以S△ABC=12acsinB=12×4× 32= 3． 
【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题．
(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出;
(2)由余弦定理求出ac，再根据三角形的面积公式计算即可．

20.【答案】解：(1)∵acosC+ccosA=2bcosB．
由正弦定理，可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB．
得sinB=2sinBcosB．
∵0 ∴cosB=12，
即B=π3．
(2)在△ABC中，AB=2，BC=3，B=π3．
由余弦定理，cosπ3=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=4+9−AC212，
可得：AC= 7．
在△ADC中，AC= 7，AD=1，ABCD在圆上，
∵B=π3．
∴∠ADC=2π3．
由余弦定理，cos2π3=AD2+DC2−AC22AD⋅DC =1+DC2−72DC．
解得：DC=2；
四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC=12AD⋅DC⋅sin2π3+12AB⋅BC⋅sinπ3=2 3． 
【解析】(1)根据正弦定理化简即可．
(2)在△ABC，利用余弦定理求出AC，已知B，可得∠ADC，再余弦定理求出DC，即可△ABC和△ADC面积，可得四边形ABCD的面积．
本题考查三角形的面积的求法，正弦余弦定理的合理运用．圆内角四边形的角的关系．属于中档题．

21.【答案】解：(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知，
A=2，T=2×(11π12−5π12)=π，
所以2πω=π，解得ω=2；
由函数图象过点(5π12,0)，
得2sin(5π6+φ)=0，
则5π6+φ=kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)；
(2)由函数f(x)的解析式，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z；
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z；
所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(3)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，
则(2x+π6)∈[π6,7π6]，
所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，
则f(x)=2sin(2x+π6)的取值范围是[−1,2]． 
【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
(1)由函数f(x)的图象求得A、T和ω、φ的值，即可写出函数的解析式；
(2)由三角函数的图象与性质，即可求f(x)的单调递增区间；
(3)根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0,π2]时f(x)的取值范围即可．

22.【答案】解：(1)f(x)=2a⋅b=2sinxsin(x−π6)+2sinxcosx= 3sin2x+12sin2x
=12sin2x− 32cos2x+ 32=sin(2x−π3)+ 32，
∵x∈[π2,π]，∴2π3≤2x−π3≤5π3，
∴−1≤sin(2x−π3)≤ 32，
当2x−π3=32π，即x=11π12时，f(x)取得最小值 32−1，
当2x−π3=2π3，即x=π2时，f(x)取得最大值为  3．
(2)由(1)得，f(x)=sin(2x−π3)+ 32．
∴g(x)=f(πx4)=sin(π2x−π3)+ 32.T=4，
∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=…=g(2009)+g(2010)+g(2011)+g(2012)．
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=2 3，g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)=503×2 3+g(1)+g(2)
=1006 3+3 32+12=2015 3+12．
(3)g(x)在[t,t+2]上零点的个数等价于y=sin(π2x−π3)与y=− 32两图象交点个数．
在同一直角坐标系内作出这两个数的图象．

当4k 当43+4k≤t<2+4k或103+4k 当2+4k≤t≤103+4k时，y=sin(π2x−π3)与y=− 32两图象2个交点，g(x)2个零点． 
【解析】(1)利用向量数量积的坐标运算，再利用三角函数公式化f(x)为含一个角的一种三角函数形式，利用三角函数的性质求最值．
(2)由(1)得，g(x)=f(πx4)=sin(π2x−π3)+ 32.注意到T=4，利用分组方法求和．
(3)g(x)在[t,t+2]上零点的个数等价于y=sin(π2x−π3)与y=− 32两图象交点个数．利用数形结合的方法进行讨论．
本题考查向量与三角，函数与方程的结合，融合了重要的知识点，公式和思想方法，属于难题．