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_2021年四川省巴中市中考数学真题及答案
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这是一份_2021年四川省巴中市中考数学真题及答案，共32页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省巴中市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑.
1．下列各式的值最小的是（ ）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
2．某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（ ）
A．337×108 B．3.37×1010 C．3.37×1011 D．0.337×1011
4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解巴河被污染情况
B．了解巴中市中小学生书面作业总量
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩
D．调查一批灯泡的质量
5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
6．关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
7．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
9．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将正确答案直接写在答题卡相应的位置上.
13．函数y＝+中自变量x的取值范围是 ．
14．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 ．
15．为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是 ．
甲
乙
880
880
s2
2160
2500
16．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
17．如图，平行于y轴的直线与函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝ ．
18如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝ ．
19（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
三、解答题（本大题共7道小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上.）
20如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
21为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
22学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
23如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
24如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
25已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各式的值最小的是（ ）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：20＝1，|﹣2|＝2，2﹣1＝，﹣（﹣2）＝2，
∵＜1＜2，
∴最小的是2﹣1．
故选：C．
2．某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
3．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（ ）
A．337×108 B．3.37×1010 C．3.37×1011 D．0.337×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：337亿＝33700000000＝3.37×1010．
故选：B．
4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解巴河被污染情况
B．了解巴中市中小学生书面作业总量
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩
D．调查一批灯泡的质量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A．了解巴河被污染情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解巴中市中小学生书面作业总量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩，适合全面调查，故本选项符合题意；
D．调查一批灯泡的质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：C．
5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，故B和C错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
6．关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
【分析】解分式方程得4x＝6﹣m，由题意可知x≠2，则6﹣m≠8，即可求m的取值．
【解答】解：﹣3＝0，
方程两边同时乘以2﹣x，得m+x﹣3（2﹣x）＝0，
去括号得，m+x﹣6+3x＝0，
合并同类项得，4x＝6﹣m，
∵方程有解，
∴x≠2，
∴6﹣m≠8，
∴m≠﹣2，
故选：B．
7．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
【分析】根据函数图象上的数据，求出相应阶段的速度即可得到正确的结论．
【解答】解：A、小风的成绩是220秒，本选项正确，不符合题意；
B、小风最后冲刺阶段的速度是＝5（米/秒），本选项正确，不符合题意；
C、小风第一阶段的速度是＝5（米/秒），即小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等，本选项正确，不符合题意；
D、＝（米/秒），故本选项错误，符合题意；
故选：D．
8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sinB＝，sinC＝，tanB＝，sin2B+sin2C＝，
故选：A．
9．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意连接OA、OC，OC交AB于点E，根据垂径定理推出OC⊥AB，且AE＝BE＝3，再由圆周角定理推出∠AOC＝2∠ADC＝60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AE＝，
故圆心O到弦AB的距离为．
故选：C．
10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，则，即可求解．
【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，
∴，
∴（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用翻折后△ADE与△OEB相似得到ED的长，进而求解，
【解答】解：∵四边形AOBC为矩形，且点C（﹣10，8），
∴AC＝OB＝8，AO＝BC＝10，∠C＝∠A＝∠EOB＝90°，
∵△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，
∴CD＝DE，BC＝BE＝10，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝6，
设CD＝DE＝m，则AD＝8﹣m，
∵∠ADE+∠AED＝∠AED+∠OEB＝90°，
∴∠ADE＝∠OEB，
∵∠A＝∠AOB，
∴△ADE∽△OEB，
∴，即，
解得m＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
在Rt△BDE中，DE＝5，BE＝10，
∴tan∠DBE＝＝，
故选：D．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac＝＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为，
即为x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c＝＝＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
二．填空题
13．函数y＝+中自变量x的取值范围是 x≤2且x≠﹣3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x+3≠0，
解得x≤2且x≠﹣3．
故答案为：x≤2且x≠﹣3．
14．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 x2＝﹣2 ．
【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得x2＝﹣2，解答出即可．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，
则1×x2＝＝﹣2，
解得x2＝﹣2．
故答案为：x2＝﹣2．
15．为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是 甲 ．
甲
乙
880
880
s2
2160
2500
【分析】先比较平均数得到甲和乙产量相同，然后比较方差得到甲比较稳定．
【解答】解：因为甲、乙的平均数相同，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
16．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ 5 ．
【分析】由f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，得a（﹣x）2+（a﹣5）•（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，解得a＝5．
【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），即a（﹣x）2+（a﹣5）•（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，
∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣a＝0，
∴a＝5，
故答案为：5．
17．如图，平行于y轴的直线与函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝ 8 ．
【分析】设A（m，），则B（m，），D（m，0），设C（n，），由S△OCD＝OD•yc＝•m•＝2，得出＝2，即＝．又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD＝k•＝k＝2，即可求出k＝8．
【解答】解：设A（m，），则B（m，），D（m，0），设C（n，），
∵S△OCD＝OD•yc＝•m•＝2，
∴＝2，
∴＝．
又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD
＝k﹣••（m﹣n）
＝k（1﹣）
＝k•
＝k，
∴k＝2，
∴k＝8．
故答案为：8．
18如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝ ．
【考点】正方形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OQ，OP，利用HL证明Rt△OAQ≌Rt△ODQ，得QA＝DQ，同理可证：CP＝DP，设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，在Rt△BPQ中，利用勾股定理列出方程（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，解方程得x＝，再利用△AQM∽△BQP可求解．
【解答】解：连接OQ，OP，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OA＝OD，∠OAQ＝∠ODQ＝90°，
在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，
，
∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），
∴QA＝DQ，
同理可证：CP＝DP，
∵BQ：AQ＝3：1，
∴BQ＝，AQ＝，
设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，
解得x＝，
∴BP＝，
∵∠AQM＝∠BQP，∠BAM＝∠B，
∴△AQM∽△BQP，
∴，
∴，
∴AM＝．
故答案为：．
19（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；分母有理化；二次根式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；二次根式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣3＜x≤﹣1，解集在数轴上表示见解答；
（3），5．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法可以解答本题；
（2）先求出每个不等式的解集，然后取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后再在数轴上表示出来即可；
（3）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣4，﹣3，0，1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+
＝2×+2﹣﹣2+﹣1
＝+2﹣﹣2+﹣1
＝﹣1；
（2），
解不等式①，得
x＞﹣3，
解不等式②，得
x≤﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤﹣1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）÷（1+）
＝
＝
＝，
∵a（a+3）≠0，a+4≠0，
∴a≠﹣4，﹣3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
三、解答题（本大题共7道小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上.）
20如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）连接BD，根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，进而利用菱形的判定解答即可．
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝BE，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝5．
21为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
【考点】扇形统计图；条形统计图；方差；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）500，36°；
（2）图形见解析；
（3）此规则不合理，理由见解析．
【分析】（1）由A等级的学生除以所占的比例求出该校九年级共有的学生，即可解决问题；
（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D”等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．
22学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）6m；
（2）14m．
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝12（m），
∴AB＝BE﹣AE＝12﹣6＝6（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴DE＝≈＝24（m），
∴CD＝DE﹣CE＝24﹣6≈14（m）．
23如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】（1）m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）；
（3）3+4．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出m、k、b的值；
（2）根据点的坐标得出三角形的底和高，利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）求出直线DE的函数关系式，设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k＝﹣，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，
直线AB的关系式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
＝×7×1+×7×4
＝；
（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
b＝﹣3，k+b＝0，
∴k＝3，b＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y＝有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n＝有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
24如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）详见解答；
（2）6π﹣9．
【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；
（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．
【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
设半径为r，在Rt△EOC中，有勾股定理得，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝6，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
25已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
2021年四川省巴中市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑.
1．下列各式的值最小的是（ ）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
2．某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（ ）
A．337×108 B．3.37×1010 C．3.37×1011 D．0.337×1011
4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解巴河被污染情况
B．了解巴中市中小学生书面作业总量
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩
D．调查一批灯泡的质量
5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
6．关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
7．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
9．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将正确答案直接写在答题卡相应的位置上.
13．函数y＝+中自变量x的取值范围是 ．
14．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 ．
15．为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是 ．
甲
乙
880
880
s2
2160
2500
16．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
17．如图，平行于y轴的直线与函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝ ．
18如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝ ．
19（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
三、解答题（本大题共7道小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上.）
20如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
21为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
22学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
23如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
24如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
25已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各式的值最小的是（ ）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：20＝1，|﹣2|＝2，2﹣1＝，﹣（﹣2）＝2，
∵＜1＜2，
∴最小的是2﹣1．
故选：C．
2．某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
3．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元．用科学记数法表示337亿正确的是（ ）
A．337×108 B．3.37×1010 C．3.37×1011 D．0.337×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：337亿＝33700000000＝3.37×1010．
故选：B．
4．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解巴河被污染情况
B．了解巴中市中小学生书面作业总量
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩
D．调查一批灯泡的质量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A．了解巴河被污染情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解巴中市中小学生书面作业总量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．了解某班学生一分钟跳绳成绩，适合全面调查，故本选项符合题意；
D．调查一批灯泡的质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：C．
5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，故B和C错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
6．关于x的分式方程﹣3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
【分析】解分式方程得4x＝6﹣m，由题意可知x≠2，则6﹣m≠8，即可求m的取值．
【解答】解：﹣3＝0，
方程两边同时乘以2﹣x，得m+x﹣3（2﹣x）＝0，
去括号得，m+x﹣6+3x＝0，
合并同类项得，4x＝6﹣m，
∵方程有解，
∴x≠2，
∴6﹣m≠8，
∴m≠﹣2，
故选：B．
7．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
【分析】根据函数图象上的数据，求出相应阶段的速度即可得到正确的结论．
【解答】解：A、小风的成绩是220秒，本选项正确，不符合题意；
B、小风最后冲刺阶段的速度是＝5（米/秒），本选项正确，不符合题意；
C、小风第一阶段的速度是＝5（米/秒），即小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等，本选项正确，不符合题意；
D、＝（米/秒），故本选项错误，符合题意；
故选：D．
8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sinB＝，sinC＝，tanB＝，sin2B+sin2C＝，
故选：A．
9．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意连接OA、OC，OC交AB于点E，根据垂径定理推出OC⊥AB，且AE＝BE＝3，再由圆周角定理推出∠AOC＝2∠ADC＝60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AE＝，
故圆心O到弦AB的距离为．
故选：C．
10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，则，即可求解．
【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，
∴，
∴（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
11．如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用翻折后△ADE与△OEB相似得到ED的长，进而求解，
【解答】解：∵四边形AOBC为矩形，且点C（﹣10，8），
∴AC＝OB＝8，AO＝BC＝10，∠C＝∠A＝∠EOB＝90°，
∵△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，
∴CD＝DE，BC＝BE＝10，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝6，
设CD＝DE＝m，则AD＝8﹣m，
∵∠ADE+∠AED＝∠AED+∠OEB＝90°，
∴∠ADE＝∠OEB，
∵∠A＝∠AOB，
∴△ADE∽△OEB，
∴，即，
解得m＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
在Rt△BDE中，DE＝5，BE＝10，
∴tan∠DBE＝＝，
故选：D．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac＝＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为，
即为x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c＝＝＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
二．填空题
13．函数y＝+中自变量x的取值范围是 x≤2且x≠﹣3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x+3≠0，
解得x≤2且x≠﹣3．
故答案为：x≤2且x≠﹣3．
14．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 x2＝﹣2 ．
【分析】设方程的另一根为x2，根据根与系数的关系可得x2＝﹣2，解答出即可．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，
则1×x2＝＝﹣2，
解得x2＝﹣2．
故答案为：x2＝﹣2．
15．为优选品种，某农业科技小组对甲、乙两种杂交水稻进行种植对比试验研究，近五年来这两种杂交水稻的亩产量的平均数（单位：千克）及方差s2见表格．明年准备从中选出一种品质更优的杂交水稻进行种植，则应选的品种是 甲 ．
甲
乙
880
880
s2
2160
2500
【分析】先比较平均数得到甲和乙产量相同，然后比较方差得到甲比较稳定．
【解答】解：因为甲、乙的平均数相同，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
16．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ 5 ．
【分析】由f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，得a（﹣x）2+（a﹣5）•（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，解得a＝5．
【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），即a（﹣x）2+（a﹣5）•（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，
∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣a＝0，
∴a＝5，
故答案为：5．
17．如图，平行于y轴的直线与函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝ 8 ．
【分析】设A（m，），则B（m，），D（m，0），设C（n，），由S△OCD＝OD•yc＝•m•＝2，得出＝2，即＝．又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD＝k•＝k＝2，即可求出k＝8．
【解答】解：设A（m，），则B（m，），D（m，0），设C（n，），
∵S△OCD＝OD•yc＝•m•＝2，
∴＝2，
∴＝．
又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD
＝k﹣••（m﹣n）
＝k（1﹣）
＝k•
＝k，
∴k＝2，
∴k＝8．
故答案为：8．
18如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝ ．
【考点】正方形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OQ，OP，利用HL证明Rt△OAQ≌Rt△ODQ，得QA＝DQ，同理可证：CP＝DP，设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，在Rt△BPQ中，利用勾股定理列出方程（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，解方程得x＝，再利用△AQM∽△BQP可求解．
【解答】解：连接OQ，OP，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OA＝OD，∠OAQ＝∠ODQ＝90°，
在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，
，
∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），
∴QA＝DQ，
同理可证：CP＝DP，
∵BQ：AQ＝3：1，
∴BQ＝，AQ＝，
设CP＝x，则BP＝3﹣x，PQ＝x+，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
（3﹣x）2+（）2＝（x+）2，
解得x＝，
∴BP＝，
∵∠AQM＝∠BQP，∠BAM＝∠B，
∴△AQM∽△BQP，
∴，
∴，
∴AM＝．
故答案为：．
19（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；分母有理化；二次根式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；二次根式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣3＜x≤﹣1，解集在数轴上表示见解答；
（3），5．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法可以解答本题；
（2）先求出每个不等式的解集，然后取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后再在数轴上表示出来即可；
（3）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从﹣4，﹣3，0，1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+
＝2×+2﹣﹣2+﹣1
＝+2﹣﹣2+﹣1
＝﹣1；
（2），
解不等式①，得
x＞﹣3，
解不等式②，得
x≤﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤﹣1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）÷（1+）
＝
＝
＝，
∵a（a+3）≠0，a+4≠0，
∴a≠﹣4，﹣3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
三、解答题（本大题共7道小题，共84分.请将解答过程写在答题卡相应的位置上.）
20如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
【考点】菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）连接BD，根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，进而利用菱形的判定解答即可．
（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝BE，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝5．
21为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
【考点】扇形统计图；条形统计图；方差；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）500，36°；
（2）图形见解析；
（3）此规则不合理，理由见解析．
【分析】（1）由A等级的学生除以所占的比例求出该校九年级共有的学生，即可解决问题；
（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D”等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．
22学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）6m；
（2）14m．
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝12（m），
∴AB＝BE﹣AE＝12﹣6＝6（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴DE＝≈＝24（m），
∴CD＝DE﹣CE＝24﹣6≈14（m）．
23如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】（1）m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）；
（3）3+4．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出m、k、b的值；
（2）根据点的坐标得出三角形的底和高，利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）求出直线DE的函数关系式，设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k＝﹣，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，
直线AB的关系式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
＝×7×1+×7×4
＝；
（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
b＝﹣3，k+b＝0，
∴k＝3，b＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y＝有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n＝有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
24如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）详见解答；
（2）6π﹣9．
【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；
（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．
【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
设半径为r，在Rt△EOC中，有勾股定理得，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝6，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
25已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
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