2023青岛莱西高一下学期7月期末数学试题含解析

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高一学业水平阶段性检测（四）
数学试题
本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 对于下列四个命题：
①满足的复数只有、；
②若、，且，则是纯虚数；
③复数的充要条件是；
④在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．
其中真命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）
A. 内不存在与异面的直线 B. 内存在与平行的直线
C. 内存在唯一一条直线与相交 D. 内存在与垂直的直线
3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）
A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称
C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同
4. 抛掷2枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”；下列结论正确的是（ ）
A. B. 与互斥
C. 与相等 D. 与是对立事件
5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A. 向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍
B. 向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍
C. 向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍
D. 向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍
6. 已知，，点P在直线上，且，则点P坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7. 对于，若存在 ，满足，则称“类三角形”．“类三角形”一定满足．
A. 有一个内角为 B. 有一个内角为
C. 有一个内角为 D. 有一个内角为
8. 在三棱锥中，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复平面内表示复数：点为，则下列结论中正确的为（ ）
A. 若，则 B. 若在直线上，则
C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则
10. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，对于这5000只家食血液样本中的指标值，下列的叙述正确的为（ ）

A. 估计指标值的中位数为 B. 估计A指标值的80%分位数为9
C. 估计A指标值的众数为7.5 D. 估计A指标值的第25百分位数为
11. 一个袋子中有标号分别为、、、的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则下列选项正确的为（ ）
A. B. C. D.
12. 三棱锥满足下列两个条件：①；②．若，记二面角的大小为，则下列选项中可以取到的为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为_______.
14. 已知，则在上的投影向量的坐标为_______；
15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为，且，，若，则称甲乙“心有灵犀”现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为______．
16. 设锐角三角形的内角所对的边分别为，，则的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数和满足：，若，求和．
18. 试分别解答下列两个小题：
（1）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件 “方程有且仅有一个实根”，求．
（2）甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求．
19. 如图，在三棱锥中，作平面，垂足为，连接并延长交棱于点为棱上的一点，若，二面角的大小与相等，求证：平面.

20. 试分别解答下列两个小题：
（1）已知向量和都是非零向量，且与垂直，与垂直，记向量与的夹角为，求．
（2）在中，内角的对边分别为，若．试将表示成关于的表达式，并求出的取值范围．
21. 如图，四边形是边长为2的正方形，平面，且为的中点．

（1）求证：；
（2）设平面平面与直线所成的角为，求．
22. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，的周长为2．

（1）求的大小；
（2）设，试将表示为的函数，并求出的最大值及相应的．