四川省岳池县第一中学2023届高三理科数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

这是一份四川省岳池县第一中学2023届高三理科数学上学期10月月考试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
岳池一中高2023届10月月考
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法运算即可求得答案.
【详解】，
故选：A
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再进行补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，
故选：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：．
故选：B.
4. 已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）
A. B. －
C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
5. 已知角终边所在直线的斜率为，则（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再根据二次齐次式化简代入即可求解.
【详解】由三角函数定义得，
所以．
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为整体，结合倍角公式可得，再利用诱导公式运算求解.
【详解】因为，
所以．
故选：A.
7. 直线与曲线围成的封闭图形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意画出草图,再结合定积分求解即可
【详解】
由定积分的几何意义和图形对称性可得阴影区域面积为

故选：B.
8. 若，则（       ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于的方程，解方程即可
【详解】,解得
故选：C
9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【详解】函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+），
故把函数y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2x+cos2x的图象，
故选C．
10. 在中，下列等式错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断.
【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确；
对于选项B：

，故B正确；
对于选项C：因为，
即，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，则
所以，故D错误；
故选：D.
11. 已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比中项以及余弦函数的对称性列式求得，进而可得结果.
【详解】
如图，设方程的三个不同的实数根从小到大依次为，，
则，解得，
所以.
故选：A.
12. 中,的对边分别为.已知 ,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简,再对进行边化角.
【详解】因为,所以.
所以,即
即
所以(舍)或,所以
因为.
所以.


所以.
故选：B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数在上的单调递减区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】令解不等式，再结合范围即可.
【详解】令，解得，
令得，所以函数在上的单调递增区间为.
故答案为：.
14. 过点（2,0）且与曲线y＝相切的直线的方程为________
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设切点为，所以切点为，由点可知直线方程为
考点：1．直线方程；2．导数的几何意义
15. 中国古代数学经典《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑,若三棱锥为鳖臑,且平面,,又该鳖臑的外接球的表面积为,则该鳖臑的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】补形成长方体即可获解
【详解】
设外接球的半径为,则,所以.
将鳖臑补成长方体,则鳖臑的外接球直径为长方体对角线.
即,得,所以.
故答案为：6
16. 函数是定义在上的奇函数，且当时，恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据奇函数求得，令，参变分离整理得，根据恒成立问题结合函数单调性运算求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，得，
当，则，
可得，所以符合题意.
当时，恒成立，
设，则，，
可得，整理得，
因为函数在上单调递增，
当时，函数取到最大值0，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

（1）求直方图中的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【答案】（1）．（2）1200名新生中有名学生可以申请住宿．
（3）的分布列为：


0

1

2

3

4














数学期望为．
【解析】
【详解】试题分析：（1）直方图各小矩形的面积之和为1，据此即可得 ．（2）新生上学所需时间不少于 小时即60分钟到100分钟，其频率为：，这个时间段的人数为，所以有名学生可以申请住宿．（3）显然这是一个二项分布．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，由二项分布概率公式可得其分布列及期望．
试题解析：（1）由直方图可得：
．
所以 ．
（2）新生上学所需时间不少于小时的频率为：
，
因为，
所以1200名新生中有名学生可以申请住宿．
（3）的可能取值为
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为 ，
, ,
, ,
． 10分
所以的分布列为：


0

1

2

3

4














．（或）
所以的数学期望为 ．
18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和中点.

（1）求证：直线平面；
（2）求证：面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析.
（2）见解析. （3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直判定定理证明即可；
（3）运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．
【小问1详解】

证明:取PC的中点
则.
所以四边形AEMF为平行四边形
所以
平面PEC
【小问2详解】
因为底面ABCD是菱形,所以

平面PBD
【小问3详解】

设,取OB的中点,连接PG
因为点E,O分别为AB和AC中点,所以
因为平面PBD,所以平面PBD
所以为PE与平面PDB所成角

所以
所以PE与平面PDB所成角的正弦值为
19. 已知数列中，，.设
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由递推得到,欲证是等比数列，只需利用等比数列的定义证明为常数即可；
（2）由（1）的结论求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求出数列的前项和.
【详解】（1）证明：因为,所以====2，
又, 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，


20. 已知函数，是的导数.
（1）讨论不等式的解集；
（2）当且时，若在恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）计算得，其有一个零点1，因此可对分类讨论研究另一个零点（如有）与1的大小关系，得出不等式的解集.
（2）先求在上的最大值，由导数知识知最大值是和中的较大者，因此可比较两者大小（通过作差得，再构造新函数利用导数研究单调性可得最大值为），也可分类，由的单调性得时有，再由得出最终结论.
【详解】（1） ，所以，
当时，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
（2）法一：当时，由得，当时，，单调递减，当时，，单调递增；是的较大者.，
令，，
所以是增函数，所以当时，，所以，所以.
恒成立等价于，
由单调递增以及，得；
法二：当时，由得，当时，，单调递减，当时，，单调递增；
是的较大者.
由，由单调递增以及，得.
当时，，因为当时，单调递减，所以，
综上范围是.
【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和值域，解决不等式的恒成立的问题，属于较难题.
21. 已知椭圆:的左、右有顶点分别是、,上顶点是,圆:的圆心到直线的距离是,且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程;
（2）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、,直线、与轴的交点记为,．试判断是否为定值,若是,证明你的结论．若不是,举反例说明．
【答案】（1）
（2）是定值为
【解析】
【分析】(1)写出的方程,利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解;
(2)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的数量积公式进行求解.
【小问1详解】
BD方程：
得,解得
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
设直线,则
联立,得
所以,即
所以

所以BP方程为,则
设,则且
所以


所以
所以是定值为

【点睛】关键点点睛：本题斜率之积为定值.
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）射线：与曲线交于点，射线：与曲线交于点，求的取值范围．
【答案】（1）的极坐标方程为，的直角方程为；（2）.
【解析】
【分析】(1)利用三种方程的互化方法求出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程即可；
（2）设点和点的极坐标分别为，，其中，可得，的值，代入可得其取值范围.
【详解】解：（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为
又，
曲线的极坐标方程为，即
曲线的极坐标方程可化为，
故曲线的直角方程为
（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中
则，
于是
由，得
故的取值范围是
【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分类讨论思想，分、、，将问题转化为一次不等式进行求解；
（2）利用柯西不等式进行求解.
【小问1详解】
当时，原不等式等价于，
即成立，所以；
当时，原不等式等价于，解得，
又，所以；
当时，原不等式等价于，
即不成立，解得；
综上所述，不等式的解集为；
【小问2详解】
由柯西不等式得，
所以，
当且仅当，即且时等号成立，