第九章整式乘法与因式分解复习课-（苏教科）课件PPT

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因式分解 方法归纳 专 题 因式分解整式 相关 公式am÷an =am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．a0=1 (a≠0). （a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2公式(a+b) (a-b) =a2 -b2的8种变化形式：归纳：完全平方公式的常用形式：(l)a2 +b2 = (a+b) 2 - 2ab= (a-b)2 +2ab; (2) ab= [（a+b）2-（a2+b2）]；(5) (a+b) 2 = (a-b)2 +4ab; (6) (a-b) 2 = (a+b)2 -4ab;(7)ab= 因式分解 ------（一） 提公因式法课前预习1. 把下列多项式写成整式乘积的形式： (1)a 2+a= ;(2)x 2-1= . 2.下列变形：①a(x+y)=ax+ay;②x2-4x+4=x(x-4)+4;③10x2-5x=5x(2x-1);④x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x.其中属于因式分解的有 .3.8a3b2与12ab3c的公因式是 . 4. 把下列各式分解因式： (1)6mn 2+2mn; (2)18xyz-12x 2y 2; a(a+1)(x+1)(x-1)③4ab 2原式=2mn(3n+1)原式=6xy(3z-2xy)因式分解的概念定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 如：ax+ay=a(x+y),a 2-b 2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b 2=(a+b) 2, x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), am+an+bm+bn=(a+b)(m+n)，…,都是因式分解. 注意: ①因式分解专指多项式的恒等变形，即等式的左边必须是多项式. 提公因式法 分解因式注意：(1)提公因式分解因式的关键是确定公因式.确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别考虑： ①对 于数字系数如果是整数系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数②对于字母，需考虑两条：一条是取各项相同的字母；另一条是各相同字母的指数取其次数最低的. (2)乘法分配律是提公因式法的依据，提公因式法实质上是分配律的“逆用”，即 (3)提公因式法分解因式的一般步骤是：第一步找出公因式；第二步提公因式并确定另一个因式.提公因式时可用原多项式除的公因式，所得的商即为提公因式后剩下的另一个因式.也可以用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式.例如：因式分解8a 3b 2-12ab 2c，提公因式4ab 2时，用4ab 2分别去除原多项式的每一项，得(8a 3b 2÷4ab 2-12ab3c÷4ab 2)=2a 2-3bc,即8a 3b 2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc). 【例2】 运用提取公因式法分解因式. (1)12a 2b 3+6a 2b 2-18a 3b 2; (2)-27m 2n+9mn 2-18mn; (3)5a 2(x-y)+10a(y-x); (4)x(x-y) 2-y(y-x) 2; (5)18(a-b) 3-12b(b-a) 2. 解析：(1)系数12，6，-18的最大公约数为6.相同字母a,b的最低次幂为a2b2，公因式为6a2b2.12a2b3+6a2b2-18a3b2=6a2b2(2b+1-3a). 注意括号内第二项应为1. (2)当第一项系数为负时，应提出负号，括号内各项都变号，公因式为-9mn. -27m2n+9mn2-18mn =-9mn(3m-n+2) . (3)∵y-x=-(x-y), ∴公因式为5a(x-y). 5a2(x-y)+10a(y-x) =5a(x-y)(a-2). (4)x(x-y) 2-y(y-x)2 =x(x-y)2-y(x-y) 2 =(x-y)2(x-y) =(x-y)3 (5)18(a-b)3-12b(b-a)2 =18(a-b) 3-12b(a-b)2 =6(a-b)2(3a-3b-2b) =6(a-b)2(3a-5b) 3. 把下列各式分解因式. (1)ab+a+b+1; (2)-4m 3+16m2-26m;  (3)m(a-3)+2(3-a); (4)6a(b-a)2-2(a-b)3. 原式=a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)原式=-2m(2m2-8m+13)原式=m(a-3)-2(a-3) =(a-3)(m-2)原式=6a(a-b)2-2(a-b)3 =2(a-b)2［3a-(a-b)］ =2(a-b)2(2a+b)5.因式分解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；（2）a2x2y﹣axy2．原式=x（x﹣y）+y（x﹣y） =（x+y）（x﹣y）原式=axy（ax﹣y）14.3.2 公式法（一）课前预习1.计算：852﹣152=（　　）A．70 B．700 C．4900 D．70002.下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（　　）A．x2﹣xy B．x2+xyC．x2+y2 D．x2﹣y23.分解因式：x2﹣4=　　 ．4.若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=　　．DD（x+2）（x﹣2）3课堂精讲知识点.利用平方差公式分解因式a 2-b 2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积. (1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2逆用，即为因式分解的平方差公式. (2)公式中所说的“两个数”是a,b，而不是a 2,b 2，其中a,b可以是单项式，也可以是多项式. (3)平方差公式的特点：①左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②右边是两个数的和与这两个数的差的积，凡是符合平方差公式特点的二项式，都可以运用平方差公式分解因式，如x 2-y 2,a 2-1,4x 2-9,(b+c) 2- 4(a-b) 2 等. 【例】 把下列各式分解因式. 课堂精讲(1)25m2-n2; (2)(x-y)2-1;    (3)16x-25x3y2; (4)x4-16. 原式=(5m+n)(5m-n)原式=(x-y+1)(x-y-1)原式=x(4+5xy)(4-5xy)原式=(x2+4)(x+2)(x-2)随堂检测1.将x2﹣16分解因式正确的是（　　）A．（x﹣4）2 B．（x﹣4）（x+4）C．（x+8）（x﹣8） D．（x﹣4）2+8x2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+93.若a+b=2011，a﹣b=1，则a2﹣b2=　　．4.计算：20142﹣20132=　　．5.4x2﹣9=　 　．BD20114027（2x﹣3）（2x+3）14.3.3 公式法（二）课前预习1.分解因式a4﹣2a2+1的结果是（　　）A．（a2+1）2 B．（a2﹣1）2C．a2（a2﹣2） D．（a+1）2（a﹣1）22.当a=9时，代数式a2+2a+1的值为　　 ．3.x2+ x+　 　是完全平方式.4.（2014龙岩）因式分解：x2﹣4x+4=　　 ．D1001（x﹣2）2课堂精讲知识点.用完全平方公式分解因式（1）把整式乘法的完全平方公式(a±b)2 =a2±2ab+b2反过来，就得到 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．我们把a2 +2ab+b2和a2 -2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解，公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.（2）完全平方公式的特点等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方，当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．归纳：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．【例】分解因式：（1）﹣x2+4xy﹣4y2（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．解析：（1）先添加带符号的括号，再利用完全平方公式分解因式即可．（2）首先利用多项式乘法计算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后变形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可．（1）解：﹣x2+4xy﹣4y2，=﹣（x2﹣4xy+4y2），=﹣（x﹣2y）2．（2）解：原式=x2﹣4x+3+1，=x2﹣4x+4，=（x﹣2）2．1. 把下列各式分解因式. (1)y2-4x(y-x); (2)(a2+b2)2-4a2b2.原式=(y-2x)2原式=(a+b)2(a-b)2随堂检测1.下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（　　）A．2x2+4x+1 B．4x2﹣12xy+9y2C．2x2+4xy+y2 D．x2﹣y2+2xy2.把代数式x2﹣4x+4分解因式，下列结果中正确的是（　　）A．（x+2）（x﹣2） B．（x+2）2C．（x﹣4）2 D．（x﹣2）23.若a=2b﹣2，则a2﹣4ab+4b2的值是　　 ．4.如果多项式x2﹣6x+c可以分解为（x﹣3）2，那么c的值是　 　．5.分解因式4x2﹣4x+1=　 　．BD49（2x﹣1）2十字相乘法 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab观察与发现两个一次二项式相乘的积一个二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个二次三项式两个一次二项式相乘的积因式分解如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。=(x－2)(x－4)例2：步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。试一试：小结：用十字相乘法把形如二次三项式分解因式使(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。) 练一练：小结：用十字相乘法把形如二次三项式分解因式当q>0时，q分解的因数a、b( )当q0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同当q