重庆市第八中学2022-2023学年高二数学下学期期末试题(Word版附解析)
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这是一份重庆市第八中学2022-2023学年高二数学下学期期末试题(Word版附解析),共23页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
重庆八中2022—2023学年度(下)期末考试高二年级
数学试题
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合、,利用补集和交集的定义可求得结果.
【详解】因为,则或
,因此,.
故选:D.
2. 已知圆,则圆关于点对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化,因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.
【详解】圆的圆心为,半径为,
关于对称的点为,
圆对称后只是圆心位置改变,圆的半径不会变化,仍为,
因此所求的圆的方程为.
故选:D
3. 古代数学名著《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自信,五日织五尺,问日织几何?“意思是:一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知5天共织布5尺,问该女子每天分别织布多少?按此条件,若织布的总尺数不少于25尺,该女子需要的天数至少为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设女子第一天织布尺,则数列是公比为2的等比数列,由题意得,解得,即可得到,再解不等式即可.
【详解】设女子第一天织布尺,则数列是公比为的等比数列,
由题意得,解得,
,解得,
因为,,
该女子所需的天数至少为天.
故选:B
4. 已知正三棱锥的底面边长为6,高为3,则该三棱锥的表面积是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形,求出底面积和侧面积,即可求出三棱锥的表面积.
【详解】如图,正三棱锥中,为正三棱锥的高,
则,取的中点,连接,,
则在上,且,
又,,所以,
所以,则,
所以,
故三棱锥的表面积为.
故选:B
5. 下列说法中正确的是( )
A. “与是对立事件”是“与互为互斥事件”的必要不充分条件
B. 已知随机变量服从二项分布,则
C. 已知随机变量服从正态分布且,则
D. 已知随机变量的方差为,则
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A,根据二项分布的期望公式判断B,根据正态分布的性质判断C,根据方差的性质判断D.
【详解】对于A:若与是对立事件,则与是互斥事件,故充分性成立,
若与是互斥事件得不到与是对立事件,故必要性不成立,
所以“与是对立事件”是“与互为互斥事件”的充分不必要条件,故A错误;
对于B:已知随机变量,则,故B错误;
对于C:因为随机变量,,
所以,
所以,故C正确;
对于D:,故D错误;
故选:C
6. 设函数的定义域为R,是其导函数,若,,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数,由的单调性求解,
【详解】构造函数,则,
故在R上单调递增,,
可化为,
故原不等式的解集为,
故选:B
7. 用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色,要求同一区域用同一种颜色,有共公边的区域使用不同颜色,则共有涂色方法( )
A. 120种 B. 720种 C. 840种 D. 960种
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.
【详解】法一:有5种颜色可选,有4种颜色可选,有3种颜色可选,
若同色,有4种颜色可选;
若同色,有4种颜色可选;
若与、都不同色,则有2种颜色可选,此时有4种颜色可选,故共有种.
法二:当使用5种颜色时,有种涂色方法;
当使用4种颜色时,必有两块区域同色,可以,,,,,共有种涂色方法;当使用3种颜色时,只能是同色且同色,同色且同色,同色,同色,共有种涂色方法,
∴共有种涂色方法.
故选:D.
【点睛】本题即可用分步乘法计数原理完成,也可用分类加法计数原理来完成,还考查分析推理能力,是中档题.
8. 已知函数,,若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设函数,的切点坐标分别为,,根据导数几何意义可得,,即该方程有两个不同的实根,则设,求导确定其单调性与取值情况,即可得实数a的取值范围.
【详解】解:设函数上的切点坐标为,且,函数上的切点坐标为,且,
又,则公切线的斜率,则,所以,
则公切线方程为,即,
代入得:,则,整理得,
若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则方程有两个不同的实根,
设,则,令得,
当时,,单调递增,时,,单调递减,
又可得,则时,;时,,则函数的大致图象如下:
所以,解得,故实数a的取值范围为.
故选:B.
【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用,难度较大.解决本题的关键是,根据公切线的几何意义,设切点坐标分别为,且,,且,可得,即有,得公切线方程为,代入切点将双变量方程转化为单变量方程,根据含参方程进行“参变分离”得,转化为一曲一直问题,即可得实数a的取值范围.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9. 已知,,,下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式即可判断ABD,由乘“1”法即可判断C.
【详解】,,且,
对于A,,,由基本不等式可得, ,,当且仅当时,等号成立,故A正确;
对于B,,当且仅当时,等号成立,故,故B正确.
对于C,,
当且仅当时,等号成立,故C正确;
对于D,,,所以,故D错误,
故选:ABC
10. 少年强则国强,少年智则国智,党和政府一直重视青少年的健康成长,出台了一系列政策和行动计划,提高学生身体素质,为了加强对学生的营养健康监测,某校在3000名学生中,抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是( )
A. 样本的众数为65
B. 该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C. 样本的第80百分位数为72.5
D. 样本的平均值为66.75
【答案】BCD
【解析】
【分析】由频率分布直方图得众数,百分位数,平均数后判断
【详解】对于A,样本的众数为67.5,故A错误,
对于B,该校学生中低于65kg的学生大约为,故B正确,
对于C,体重位于的频率为,
体重位于的频率为,
故第80百分位数位于,设其为,则,得,故C正确,
对于D,样本的平均值为,故D正确,
故选:BCD
11. 已知函数,,则下列结论正确的是( )
A. 当时,函数在处的切线方程为
B. 当时,不等式恒成立
C. 当时,有极小值
D. 若在区间上单调递增,则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A,利用导数的几何意义求解即可;对于C,利用导数分析判断的单调性即可判断;对于BD,利用选项C中结论,取可得的单调性与最大值,从而得以判断.
【详解】对于A,当时,,则,
故,,
所以在处的切线方程为,即,故A正确;
对于C,因,则,
当时,令,得;令,得;
所以在上单调递增,在上单调递减,
故有极大值,没有极小值,故C错误;
对于B,由选项C可知,当时,在处取得唯一极大值,即最大值,
故当时,,,
所以,即恒成立,故B正确;
对于D,由选项C可知,当时,在上单调递增,在上单调递减,
所以在区间上不单调递增,故D错误.
故选:AB.
12. 已知数列满足,,,为数列的前项和,则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据递推关系式可求得为奇数和为偶数时通项公式,进而确定,知AB正误;由可确定C正确;分别讨论和时,的通项公式,结合二次函数性质可确定D正确.
【详解】对于A,当为奇数时,,又,
,则,A正确;
对于B,当为偶数时,,又,;
由A知:当为奇数时,;
则当为偶数时,;
当为奇数时,;
,B错误;
对于C,,C正确;
对于D,当时,,
当为偶数时,;当为奇数时,;
当时,,
当为偶数时,;当为奇数时,;
综上所述:,D正确.
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:本题考查根据数列递推关系式求解通项公式、前项和的问题,解题关键是能够根据递推关系式确定数列奇偶项所满足的关系,进而通过对于的取值的讨论求得通项公式.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置上)
13. 6的二项展开式中的常数项为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项,令的指数等于零,即可得出答案.
【详解】解:6的二项展开式的通项为,
令,则,
所以6的二项展开式中的常数项为.
故答案为:60.
14. 甲、乙两人向同一目标各射击一次,已知甲命中目标的概率为.乙命中目标的概率为,已知目标至少被命中次,则甲命中目标的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】计算得到目标至少被命中次概率、目标至少被命中次且甲命中目标的概率,由条件概率公式可求得结果.
【详解】记事件为“甲命中目标”,事件为“目标至少被命中次”,
则,,
.
故答案为:.
15. 已知点B1,B2分别是双曲线虚轴的两个顶点,过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率e为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件解出点坐标,利用正三角形的边角关系建立等式,得到之间的关系即可解出答案.
【详解】如图所示,
依题意点纵坐标为,把代入双曲线方程可得
所以点的坐标为,
又中,
则
故答案为:
16. 已知数列的首项,,,记,若,则正整数的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据递推公式,通过构造数列法求得,再利用等比数列的前项和公式,求得,再解不等式即可.
【详解】因为,所以,
所以,
又,所以,所以数列为等比数列,
所以,所以,
所以,
若,则,所以,故正整数的最大值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查通过构造数列法求通项公式,以及利用公式法求等比数列的前项和,属中档题.
四、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤)
17. 已知等差数列的首项,记的前n项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列公差,令,求数列的前n项和.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】(1)由等差数列的性质代入方程解出,然后得通项公式,
(2)由裂项相消法求解,
【小问1详解】
由题意得,
原方程可化为,解得,,
由得的通项公式或
【小问2详解】
数列公差,则,
18. 某新能源汽车公司对其产品研发投资额x(单位:百万元)与其月销售量y(单位:千辆)的数据进行统计,得到如下统计表和散点图.
x
1
2
3
4
5
y
0.69
1.61
1.79
2.08
2.20
(1)通过分析散点图的特征后,计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型,根据统计表和参考数据,求出y关于x的回归方程;
(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时,决定停止产品研发,转为投资产品促销.根据以往的经验,当投资11百万元进行产品促销后,月销售量的分布列为:
3
4
5
P
p
结合回归方程和的分布列,试问公司的决策是否合理.
参考公式及参考数据:,,.
y
0.69
1.61
1.79
2.08
2.20
(保留整数)
2
5
6
8
9
【答案】(1);
(2)公司的决策合理.
【解析】
【分析】(1)令,可得,根据公式求出关于x的回归方程,从而可得y关于x的回归方程;
(2)当时,,根据分布列的性质求出,从而可得,与比较即可得结论.
【小问1详解】
因为,令,所以.
由题可得,,
则,,
所以,所以回归方程为.
【小问2详解】
当时,.
因为且,所以,
所以,
所以公司的决策合理.
19. 如图,在三棱柱中,底面ABC是边长为8的等边三角形,,,,D在上且满足.
(1)求证:平面平面;
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)作出辅助线,得到四边形为正方形,从而得到⊥,再由三角形全等得到,所以⊥,从而证明线面垂直,证明面面垂直;
(2)先证明线面垂直,再建立空间直角坐标系,得到点的坐标,利用空间向量余弦夹角公式求出两个平面夹角的余弦值,进而求出正弦值.
【小问1详解】
过点作交于点,连接交于点,连接,
因为,所以四边形为平行四边形,
因为,所以,
因为,所以,
因为,,所以四边形为正方形,
故,⊥,
由勾股定理得,且,
因为,,
所以≌,故,所以⊥,
因为,平面,所以⊥平面,
因为平面,所以平面平面.
【小问2详解】
因为⊥,,由勾股定理得,
又,由勾股定理逆定理可得⊥,
因为,平面,所以⊥平面,
取中点,的中点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,
则,
设平面的法向量为,
则,
解得,令得,所以,
设平面的法向量为,
则,
令,解得,故,
设平面与平面夹角为,
则,
因为
所以平面与平面夹角的正弦值为,
20. 某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动,在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球(球的取状和大小都相同),抽奖规则如下:从袋中一次性摸出个球,把白球换成红球再全部放回袋中,设此时袋中红球个数为,则每位员工颁发奖金万元.
(1)求的分布列与数学期望;
(2)若企业有1000名员工,他们为企业贡献的利润近似服从正态分布,为各位员工贡献利润数额的均值,计算结果为万元,为数据的方差,计算结果为万元,为激励为企业做出突出贡献的员工,现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得,且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算,求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值(保留到整数).
参考数据:若随机变量服从正态分布,则,.
【答案】(1)分布列见解析,
(2)人,万元
【解析】
【分析】(1)依题意可得的可能取值为,,,,求出所对应的概率即可得到分布列与数学期望;
(2)由(1)求出奖金总金额,根据正态分布求出概率,即可估计人数,与每人可以获得奖金的平均数值.
【小问1详解】
依题意可得的可能取值为,,,,
则,,
,,
∴的分布列为:
3
4
5
6
∴.
【小问2详解】
由(1)可知给员工颁发奖金的总数为(万元),
设每位职工为企业的贡献利润数额为,则,
所以获得奖金的职工数约为
(人),
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为(万元).
21. 已如右焦点为,是椭圆上关于原点对称的两个动点,当点的坐标为时,的周长恰为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于两点,且,求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)引入左焦点,根据椭圆的定义可以得出四边形的周长为,由对称性可找出四边形的周长和的周长的关系,结合椭圆所过的点来求方程;
(2)设出直线方程,利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积后求解.
【小问1详解】
由题意,,于是,
设椭圆的左焦点为,由,故四边形为平行四边形,于是,
由椭圆的定义:,于是,解得,
而椭圆经过,故,结合可解得,
故椭圆方程为:
【小问2详解】
由于,平行线间距离处处相等,故到的距离可转化为到的距离.
的斜率不会是,如果为,则和轴重合,
过原点的直线要想平行,此时也和轴重合,那么不存在,不符题意;
当斜率不存在时,即轴,此时落在轴上,易知,则,
中边上的高的长等于,故;
当斜率存在且不为时,椭圆的右焦点,设直线:,
和椭圆方程联立得到:,
直线经过椭圆内的交点,于是必和椭圆相交,设,
根据弦长公式,,
中边上的高的长等于到的距离,即,
于是,
由韦达定理:,
故,
考察
,由于,则,
此时.
于是综上所述,面积最大值为.
22. 已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若函数的最小值为0,求实数k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)通过对求导,利用导数与函数间的关系即可求出单调区间;
(2)正难则反,通过条件将问题转化成对恒成立,再利用及放缩法求最值,注意取值条件,即可求出结果.
【小问1详解】
由解析式知,因为,则,
当时,在上恒成立,
当时,由,得,
当,当,
综上,当,的单调增区间为,无减区间;
当时,的单调增区间为,减区间为.
【小问2详解】
因为,
当趋向时,趋向,趋向,当趋向时,趋向,趋向,
又的最小值为0,在定义域内,
考虑反面:对恒成立.
由,得到,化简得,
设,
令,则在上恒成立,在上递增,
所以,故,当且仅当时取等号,
令,则在上恒成立,即在上递增,
又,,存在,使,
综上,即,
所以,要使,故实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:利用正难则反的思想,将问题转化成:考虑反面对恒成立,从而将问题转化成恒成立问题来求解.
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