重庆市长寿中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份重庆市长寿中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 已知全集，集合，，则， 命题“”的否定是， 荀子曰， 设，，，则， 已知，则， 设函数，，若函数等内容，欢迎下载使用。

重庆市长寿中学校2022-2023学年高一上·期末考试
数学试题
一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，合计40分）
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. P B. M C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，从而得到.
【详解】，.
故选：A
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：C
3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件必要条件的定义即得.
【详解】由名言可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，
荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
详解】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性确定的范围，进而比较大小可得答案.
【详解】因为在上单调递增，
所以，即；
因为在上单调递增，
所以，
因为在上单调递减，
所以，
所以.
故选：D．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】解：，
，
则，
故选：D
7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ）

A.
B. 图象的一条对称轴的方程为
C. 在区间上单调递增
D. 的解集为
【答案】C
【解析】
【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项．
【详解】由题意，最小正周期为，∴，
又，，且，∴，
∴，故A正确；
，∴直线是图象的一条对称轴，故B正确；
时，，即时，取得最大值.
因此在区间上不单调，故C错；
由得，，
，故D正确．
故选：C．
8. 设函数，，若函数（）恰有三个零点､､（），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与有三个交点，令，则，与有3个交点，，，画出的函数图象，结合函数图象及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：由，所以，
因为函数（）恰有三个零点，即有三个解，
即与有三个交点，
令，则，与有3个交点，，，
不妨令，则，，，

由图可知、关于对称，所以，即，
，即，
可得的取值范围是，
故选：B
二．多选题（本大题共4小题，若全选对得5分，未选全得2分，选错得0分，本大题共20分）
9. 已知，现有下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】当时，由可得，进而得，当时 ，利用指对互化及换底公式可得.
【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；
当时，由，可得，
则，所以B正确.
故选：AB.
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.
10. 若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（ ）
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 的最小值是10 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用可判断A；利用可判断B；
展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D．
【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；
对于B，，∴，
当且仅当时取到等号，∴B错误；
对于C，，
当且仅当即时取到等号，所以C不正确；
对于D，∵，∴，∴D正确．
故选：AD.
11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】考虑角 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.
【详解】由 …①，以及 ，
对等式①两边取平方得 ， …②，
，，由②， ，
由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，
解得 ， ，
故A正确，B正确，C错误，D正确；
故选：ABD.
12. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A. 若为第二象限的角，则为第三、四象限的角
B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为
C. 若，则的取值范围是
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，求出的取值范围，即可得到的取值范围，即可判断；
选项B，令，则，可得，即可得出的解析式，即可判断出正误；
选项C，分或两种情况讨论，结合对数函数的单调性，解出即可得出；
选项D，令，则函数在单调递减即可判断出.
【详解】对于A：因为为第二象限的角，所以，，
所以，，
则为第三、四象限的角或轴负半轴上，故A错误；
对于B：若，则，
则，
是偶函数，
，即，
所以，即的解析式为，故B正确；
对于C：若，则，
若，则，此时不成立，
若，则，此时，
即的取值范围是，故C正确；
对于D：若，则，
令，
则函数在单调递减，
则不等式等价为，
则，即，故D正确．
故选：BCD
三．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知函数的定义域为，则的定义域为_________ .
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，所以；
即函数的定义域为；
由解得，
因此的定义域为.
故答案为：
14. 某城市数，理，化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数，理，化三科竞赛的有7名，只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有__名．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意画出图形，根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加2门，3门竞赛的人数加在一起 ，即可得到竞赛的总人数，然后即可求出没有参加任何一科竞赛的学生人数.
【详解】画三个圆分别代表参加数学，物理，化学的人．
因为参加数，理，化三科竞赛的有7名，只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名．分别填入图形中，
又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，
故单独参加数学的有8人，单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，
故是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为人．

故答案为：3．
15. 已知，则___________.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因，所以.
故答案为：
16. 已知，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
四．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题各12分，合计70分）
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当时，集合，则可求出；
（2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，集合，
又，
所以；
【小问2详解】
方案一 选择条件①．
由，得．
当时，，得，此时，符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
方案二 选择条件②．
由，得．
当时，，得，此时，符合题意．
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
18. （1）计算：；
（2）若，求的值；
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）利用指数、对数的运算性质进行计算求解.
（2）利用把原式转化为齐次式，再对分子分母同时除以弦化切进行求解.
【详解】（1）

；
（2）
.
19. 已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式解集．
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）函数的定义域满足真数部分大于0，得到的取值范围；
（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；
（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.
【小问1详解】
由函数的定义域满足真数部分大于零，即解不等式，
解得,
函数的定义域为.
【小问2详解】
由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
【小问3详解】
解不等式，
即,即，
从而有， 所以.
不等式的解集为
20. 已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在上的最值以及取得最值时对应x的值.
【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，
（2）时，时
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再求最小正周期，结合正弦函数单调性可求单调递增区间；
（2）根据题意求得的范围，可求得值域.
【小问1详解】
∵

，
∴的最小正周期，
由,，
解得,，
的单调递增区间为,；
【小问2详解】
，
,，则，
，
当时可得，此时，
当时可得，此时.
21. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【答案】（1）4米； （2）.
【解析】
【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；
（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.
【小问1详解】
因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为米（），
设甲工程队报价为元，
所以（元），
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.
【小问2详解】
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.
22. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，在上的最小值为，求实数的值；
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义得等式，对比系数可得解；
（2）由（1）得的范围，进一步判定为减函数，进而原不等式得以转化，不难求得的范围；
（3）由（1）求得，从而确定了，进而通过令换元把转化为二次函数，再分析其在，上的单调性即可得解．
【详解】（1）因为为奇函数，所以，解得：
（2）解得，又，所以；
任取，则，，
所以为减函数.
恒成立等价于恒成立
令，则，因为，那么
所以，解得或
（3）因为，所以，

令，因，所以

（i）当时，在上单调递增，
，解得，不合题意，舍去；
（ii）当时，，解得(负舍)
综上所述，.
【点睛】方法点睛：二次函数在区间上的最小值的讨论方法：(1) 当时，(2) 当时，(3) 时，.