2021-2023年高考数学真题分类汇编专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ（2份打包，原卷版+解析版）

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专题02 函数的概念与基本初等函数I
知识点目录
知识点1：已知奇偶性求参数
知识点2：函数图像的识别
知识点3：函数的实际应用
知识点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性
知识点5：分段函数问题
知识点6：函数的定义域、值域、最值问题
知识点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用
近三年高考真题
知识点1：已知奇偶性求参数
1．（2023•乙卷）已知是偶函数，则　　
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
2．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
【答案】
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．
3．（2023•甲卷）若为偶函数，则　　．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
若为偶函数，则，
变形可得在上恒成立，必有．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的定义，涉及三角函数的诱导公式，属于基础题．
4．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
其定义域为，
若为偶函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．
5．（2022•乙卷）若是奇函数，则　 　．
【答案】；．
【解析】，
若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，且，
且，
函数为奇函数，定义域必须关于原点对称，
，解得，
，定义域为且，
由得，，
，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题．
6．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】1．
【解析】函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以，
所以．
法二：因为函数是偶函数，
所以，
即，
即，
即，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为 ．
【答案】1．
【解析】函数，为奇函数，，
（1），，即，求得或．
当时，，不是奇函数，故；
当时，，是奇函数，故满足条件，
综上，，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．
8．（2023•上海）已知，，函数．
（1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
【解析】（1）若，则，
要使函数有意义，则，即的定义域为，
是奇函数，是偶函数，
函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数．
（2）若函数过点，则（1），得，得，
此时，若数与轴负半轴有两个不同交点，
即，得，当时，有两个不同的交点，
设，
则，得，得，即，
若即是方程的根，
则，即，得或，
则实数的取值范围是且且，
即，，．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数与方程的应用，根据条件建立方程，转化为一元二次方程根的分布是解决本题的关键，是中档题．
知识点2：函数图像的识别
9．（2023•天津）函数的图象如图所示，则的解析式可能为　　

A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由图象可知，图象关于轴对称，为偶函数，故错误，
当时，恒大于0，与图象不符合，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象，属于基础题．
10．（2022•天津）函数的图像为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，，
，
该函数为奇函数，故错误；
时，，；，；，，
故错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题．
11．（2022•甲卷）函数在区间，的图像大致为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】，
可知，
函数是奇函数，排除；
当时，（1），排除．
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．
12．（2022•甲卷）函数在区间，的图像大致为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】，
可知，
函数是奇函数，排除；
当时，（1），排除．
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．
13．（2022•乙卷（理））如图是下列四个函数中的某个函数在区间，的大致图像，则该函数是　　

A． B．
C． D．
【答案】
【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在存在零点，
而对于选项：令，即，解得，或或，故排除选项；
选项：当时，，，因为，，
故，且当时，，故，
而观察图像可知当时，，故选项错误．
选项，中，当时，，故排除选项．
故选：．
【点评】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．
14．（2021•天津）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据题意，，其定义域为，
有，是偶函数，排除，
在区间上，，必有，排除，
故选：．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的判断，属于基础题．
15．（2021•浙江）已知函数，，则图象为如图的函数可能是　　

A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为为偶函数，为奇函数，
函数为非奇非偶函数，故选项错误；
函数为非奇非偶函数，故选项错误；
函数，则对恒成立，
则函数在上单调递增，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
16．(2021年北京卷数学试题) 已知函数，则图象为如图的函数可能是( )

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.

知识点3：函数的实际应用
17．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10

混合动力汽车
10

电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得，，，
，，
，，
可得，正确；
，错误；
，正确；
，，正确．
故选：．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
18．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
等级
降雨量（精确到


小雨

中雨

大雨

暴雨



在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是　　

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】
【解析】圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为，
将，代入公式可得，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以，
则平地上积水的厚度，
因为，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选：．
【点评】本题考查了空间几何体在实际生活中的应用，解题的关键是掌握锥体和柱体体积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
19．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】
【解析】在中，，所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
故选：．
【点评】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
20．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？
【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项，公差，
，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，
则，
令，，
即要解，
则当时，，
令，解得：，
即当时，递减；当时，递增，
由于（1），因此的解只能在时取得，
经检验，，，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．
解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，
则，
数列满足，
注意到，，，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．
知识点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性
21．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
22．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
23．（2023•上海）下列函数是偶函数的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于，由正弦函数的性质可知，为奇函数；
对于，由正弦函数的性质可知，为偶函数；
对于，由幂函数的性质可知，为奇函数；
对于，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数．
故选：．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
24．（2021•全国）下列函数中为偶函数的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】对于，的定义域为，不关于原点对称，故不正确；
对于，的定义域为，但，故不正确；
对于，的定义域为，，为奇函数，故不正确；
对于，，满足，故为偶函数，故正确．
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
25．（2021•全国）函数的单调递减区间是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，，
则，
由为增函数，
即函数的单调递减区间是函数，，的减区间，
又函数，，的减区间为，
即函数的单调递减区间是，
故选：．
【点评】本题考查了复合函数的单调性，重点考查了对数函数的单调性，属基础题．
26．（2021•北京）设函数的定义域为，，则“在区间，上单调递增”是“在区间，上的最大值为（1）”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】若函数在，上单调递增，
则函数在，上的最大值为（1），
若，则函数在，上的最大值为（1），
但函数在，上不单调，
故选：．
【点评】本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
27．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意；
因为在上是增函数，不符合题意；
，为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
28．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由一次函数性质可知在上是减函数，不符合题意；
由指数函数性质可知在上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知在上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知在上单调递增，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
29．（2021•甲卷）设是定义域为的奇函数，且．若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得，
又，
所以，
又，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．
30．（2021•乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：．
【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
知识点5：分段函数问题
31．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】，，，．
【解析】①当时，，不满足题意；
②当方程满足且△时，
有即，，，
此时，
，当时，不满足，
当时，△，满足；
③△时，，，，
记的两根为，，不妨设，
则，
当时，，且，，，
但此时，舍去，
，，且，
但此时，舍去，
故仅有1与两个解，
于是，，，，．
故答案为：，，，．
【点评】本题是含参数的函数零点问题，主要是分类讨论思想的考查，属偏难题．
32．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 ．
【解析】当时，，解得；
当时，，解得（舍；
所以的解为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．
33．（2022•天津）设，对任意实数，记，．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】，．
【解析】设，，由可得．
要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，
则△，
解得或．
①当时，，作出函数、的图象如图所示：

此时函数只有两个零点，不满足题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如图所示：

由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
34．（2022•浙江）已知函数则　 　．
【答案】；．
【解析】函数，，
；
作出函数的图象如图：

由图可知，若当，时，，则的最大值是．
故答案为：；．
【点评】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
35．（2021•浙江）已知，函数若，则 ．
【答案】2．
【解析】因为函数，
所以，
则（2），解得．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
36．（2022•北京）设函数若存在最小值，则的一个取值为 　 　．
【答案】0，1．
【解析】当时，函数图像如图所示，不满足题意，

当时，函数图像如图所示，满足题意；

当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；

当时，函数图像如图所示，不满足题意，

当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；

综上所述：的取值范围是，，
故答案为：0，1．
【点评】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．
37．（2023•上海）已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】，．
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．
知识点6：函数的定义域、值域、最值问题
38．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．
【答案】1
【解析】函数，所以.
故答案为：1
39．（2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【解析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

  
显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

  
当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

  
因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
40．（2022•上海）下列函数定义域为的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，定义域为，
，定义域为，
，定义域为，
，定义域为．
定义域为的是．
故选：．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
41．（2022•上海）设函数满足对任意，都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，，则的取值范围为 ．
【答案】，．
【解析】法一：令，解得（负值舍去），
当时，，
当时，，
且当时，总存在，使得，
故，
若，易得，
所以，
即实数的取值范围为；
法二：原命题等价于任意，
所以恒成立，
即恒成立，又，
所以，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．
42．（2022•北京）函数的定义域是 ．
【答案】，，．
【解析】要使函数有意义，
则，解得且，
所以函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
43．（2021•新高考Ⅰ）函数的最小值为 ．
【答案】1．
【解析】法一、函数的定义域为．
当时，，
此时函数在，上为减函数，
当时，，
则，
当，时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上是连续函数，
当时，单调递减，当时，单调递增．
当时取得最小值为（1）．
故答案为：1．
法二、令，，
分别作出两函数的图象如图：

由图可知，（1），
则数的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．
知识点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用
44．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】的图像关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，
（1），由，，得，
，故，周期为4，
由（2），得（2），又（3）（1），
所以（1）（2）（3）（4），
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
45．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则　　
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
46．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则　　
A． B． C．（2） D．（4）
【答案】
【解析】函数为偶函数，
，
为奇函数，
，
用替换上式中，得，
，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即，
用替换上式中，可得，，
关于对称，
又（1），
（1）．
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
47．（2021•甲卷）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】为奇函数，（1），且，
偶函数，，
，即，
．
令，则，
，．
当，时，．
（2），
（3）（1），
又（3），，解得，
（1），，
当，时，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
48．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）已知函数的定义域为，，则　　
A． B．（1）
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】
【解析】由，
取，可得，故正确；
取，可得（1）（1），即（1），故正确；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函数，故正确；
由上可知，（1），而函数解析式不确定，
不妨取，满足，
常数函数无极值，故错误．
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
49．（2021•全国）已知函数，且，则（2） ．
【答案】．
【解析】因为，
所以，
因为，
所以（2）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
50．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．时，；当时，；是奇函数．
【解析】．
另幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，
综上所述，取即可．