2011-2020年高考数学真题分类汇编 专题17 数列的概念与数列的通项公式（含解析）

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专题17 数列的概念与数列的通项公式
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2013
卷1
理14
数列前项和与关系的应用
主要考查等比数列定义、通项公式及数列第项与其前项和的关系
2014[来源:Z&xx&k.Com][来源:学科网]
卷2[来源:学科网][来源:学科网ZXXK][来源:Z*xx*k.Com]
文16[来源:学*科*网Z*X*X*K]
已知递推公式求通项公式[来源:学科网]
主要考查已知数列递推公式求首项，考查运算求解能力[来源:学科网ZXXK][来源:Z|xx|k.Com]
卷1
理17
数列前项和与关系的应用
主要考查数列第项与前项和关系、等差数列的判定及通项公式、探索性问题
2016
卷3
文17
已知递推公式求通项公式
主要考查由递推公式求通项、等比数列定义、通项公式，考查运算求解能力
卷3
理17
数列前项和与关系的应用
主要考查数列利用前项和与关系求通项公式、等比数列定义及前项和公式，考查运算求解能力
2018
卷1
理14
数列前项和与关系的应用
主要考查数列利用前项和与关系求通项公式、等比数列定义及前项和公式，考查运算求解能力
2020
卷2
理12
周期数列
周期数列，数列的新定义问题

大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021年预测
考点54 数列概念与与由数列的前几项求通项公式
0/6
2021年高考仍将以考查由递推公式求通项公式与已知前项和或前项和与第项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练
考点55已知递推公式求通项公式
2/6
考点56 数列前项和与关系的应用
4/6
考点57 数列性质
0/6
十年试题分类*探求规律
考点54 数列概念与由数列的前几项求通项公式
1．(2020全国Ⅱ理12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，．
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C
2．(2011天津)已知数列满足，
．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)设，证明是等比数列；
(Ⅲ)设为的前项和，证明
【解析】(Ⅰ)由，可得
又，
当
当
(Ⅱ)证明：对任意
①
②
②-①，得
所以是等比数列．
(Ⅲ)证明：，由(Ⅱ)知，当时，


故对任意
由①得
因此，
于是，
故
考点55已知递推公式求通项公式
1．(2014新课标Ⅱ，文16)数列满足，则________．
【答案】
【解析】由得，=，∵，∴==，∴==-1，∴==2，∴==，∴==-1，∴==2，==．
2．(2013新课标Ⅰ，理14)若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．
【答案】
【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．
3．(2015江苏)数列满足，且()，则数列前10项的和为 ．
【答案】
【解析】由题意得：
，所以．
4．(2016•新课标Ⅲ，文17)已知各项都为正数的数列满足，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
【解析】(1)根据题意，，
当时，有，
而，则有，解可得，
当时，有，
又由，解可得，
故，；
(2)根据题意，，
变形可得，
即有或，
又由数列各项都为正数，
则有，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
故．
考点56 数列的前项和与关系的应用
1．(2020江苏20)已知数列的首项，前项和为．设与是常数．若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
(1)若等差数列是“”数列，求的值；
(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
(3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)时，，∴．
(2)，，
因此．
，．从而．
又，，，．
综上，．
(3)若存在三个不同的数列为“”数列，则，
则，
由，则，令，则，
时，，由可得，则，即，
此时唯一，不存在三个不同的数列；
时，令，则，则，
①时，则同理不存在三个不同的数列；
②时，，无解，则，同理不存在三个不同的数列；
③时，，则，同理不存在三个不同的数列；
④即时，，有两解，，设，，，则，则对任意，或或，此时，，均符合条件，
对应，，，
则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，．
2．(2018•新课标Ⅰ，理14)记为数列的前项和．若，则　　．
【答案】
【解析】为数列的前项和，，①，当时，，解得，
当时，，②，由①②可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，．
3．(2016•新课标Ⅲ，理17)已知数列的前项和，其中．
(1)证明是等比数列，并求其通项公式；
(2)若，求．
【解析】(1)，．
．
当时，，
即，
，．．即，
即，，
是等比数列，公比，
当时，，
即，
．
(2)若，
则若，
即，
则，得．
4．(2014新课标Ⅰ，理17)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题设，，两式相减
，由于，所以 …………6分
(Ⅱ)由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，{}为等差数列：由知
数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列
令则，∴
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列
令则，∴
∴()，
因此，存在存在，使得{}为等差数列． ………12分
考点57数列性质
1．(2012福建)数列的通项公式，前项和为，则=___．
【答案】3018
【解析】因为的周期为4；由，∴，，…，∴
2. (2011浙江)若数列中的最大项是第项，则=____________．
【答案】4
【解析】由题意得，得，因为，所以．
3．(2014湖南)已知数列{}满足
(Ⅰ)若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；
(Ⅱ)若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．
【解析】(I)因为是递增数列，所以．而，
因此又成等差数列，所以，因而，
解得
当时，，这与是递增数列矛盾．故．
(Ⅱ)由于是递增数列，因而，于是
①
但，所以
． ②
又①，②知，，因此
③
因为是递减数列，同理可得，故
④
由③，④即知，，于是
，
故数列的通项公式为．