第02讲 数轴与相反数（8种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

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第02讲 数轴与相反数（8种题型）
【题型目录】
一、数轴的三要素及其画法
二、用数轴上的点表示有理数
三、利用数轴比较有理数的大小
四、数轴上两点间距离
五、数轴上的动点问题
六、根据点在数轴上的位置判定式子的正负
七、相反数的概念
八、多重符号的化简
【知识梳理】
一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
【考点剖析】
一、数轴的三要素及其画法
1.图中所画的数轴，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向即可得出结果．
【详解】解：A选项中没有正方向，故A选项不符合题意；
B选项中没有原点，故B选项不符合题意；
C选项中单位长度不一样，故C选项不符合题意；
D选项中原点、单位长度和正方向都是对的，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是数轴的三要素，掌握数轴的三要素是解题的关键．
二、用数轴上的点表示有理数
2．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期末）如图，数轴上被墨水遮盖的点表示的数可能是（     ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数在数轴上的位置，确定表示的数即可．
【详解】解，根据数轴可知，被墨水遮盖的点表示的数大于，小于；
在选项中只有符号题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上表示的数，解题关键是根据数轴，确定表示的数的范围．
3．（2022秋·四川宜宾·七年级统考期中）下列说法正确的是（    ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上表示的点有两个
C．数轴上的点表示的数不是正数就是负数
D．数轴上原点两边的点表示同一个数
【答案】A
【分析】直接利用数轴的性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，说法正确，故此选项符合题意；
B、数轴表示的点只有1个，故原说法错误，此选项不符合题意；
C、数轴上的点表示的数不是正数就是负数，还有0，故原说法错误，此选项不符合题意；
D、数轴上原点两边的点表示不同的数，故原说法错误，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了数轴，正确把握数轴的定义是解题关键．

4．（2021秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）在数轴上距离原点4个单位长度的点有_____个，它们所表示的数是_____．
【答案】 2 4或
【分析】根据数轴上点的特征，分在原点的左右两边两种情况解答．
【详解】解：若在原点的左边，距离原点4个单位长度的点表示的数是，
若在原点的右边，距离原点4个单位长度的点表示的数是4，
∴距离原点4个单位长度的点有2个，所表示的数是4或．
故答案为∶2；4或．
【点睛】本题考查了数轴的知识，注意分所求的点在原点的左、右两边两种情况讨论．
5．（2023秋·陕西延安·七年级校考期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，设点，，所对应数的和是．若以为原点，求出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？

【答案】以B为原点，点A，C所对应的数分别是，1，；以C为原点，点A，B所对应的数分别是，，
【分析】根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值．
【详解】解：以为原点，点，所对应的数分别是，1，
；
以为原点，点，所对应的数分别是，，
．
【点睛】本题主要考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．
三、利用数轴比较有理数的大小
6．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数
C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小
【答案】C
【分析】由数轴可得点A表示的数小于点B表示的数小于0，据此判断即可．
【详解】由数轴可得，点A表示的数小于点B表示的数小于0，
故点A、点B表示的数都是负数，都小于0，故选项A、B、D正确；
点A在点B的左边，即点A表示的数比点B表示的数小，故选项C错误．
故选：C
【点睛】本题考查有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数．
7．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）在有理数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】在数轴上将各点表示出来即可求解．
【详解】在数轴上将各点表示如下：

由图可知最小的数是
故选A
【点睛】本题考查了比较有理数大小，能够正确画出数轴并将各点在数轴上表示出来是解答本题的关键．
8．（2022秋·四川达州·七年级校考期末）实数a在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴上a的位置可知，由此即可求解．
【详解】解：依题意得，
设，则．
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个数的大小，解答此题的关键是根据数轴上未知数的位置估算其大小，再设出符合条件的数值进行比较大小即可．
9．（2021秋·七年级课时练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________．（填“>”“=”或“0）秒．

(1)点B表示的数是___________；A、B两点之间的距离为___________；点 C表示的数是___________．
(2)当等于多少秒时，P、C之间的距离为 2个单位长度？
【答案】(1)；；
(2)或秒

【分析】（1）分析数轴直接求解即可．
（2）分类讨论点P的位置，直接列关系式求解．
【详解】（1）B表示的数为，
A、B两点之间的距离为，
C为的中点．
（2）由（1）可知，，
当点P在点C的左边时，，则；
当点P在点C的右边时，，则．
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是点的坐标直接看数轴对应的数，解题技巧是分类讨论点的不同位置．
六、根据点在数轴上的位置判定式子的正负
18．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的定义和性质可得，，再进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知：，
，故A错误；
，故B错误；
，，
，故C正确；
∵
，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解决问题的关键．
19．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）如图，点A，B，C在数轴上对应的实数分别为a，b，c，则下列说法正确的是______（填序号）．

①；②；③若点A与点到原点0的距离相等，则；④点A，B间的距离可以表示为．
【答案】①③④
【分析】首先根据点A，B，C在数轴上的位置，可得，据此即可判定①②，再根据求数轴上两点间的距离，即可判定③④
【详解】解：根据点A，B，C在数轴上的位置，可得，
，，
故①正确，②错误；
点A与点到原点0的距离相等，，
，，故③正确；
点A，B间的距离可以表示为，故④正确，
故正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了利用数轴判定式子是否成立，熟练掌握和运用数轴是解决本题的关键．
七、相反数的概念
20.下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
【答案】C
【解析】的相反数是，而不是；的相反数是，而不是，－6的相反数就是，所以C正确；的相反数是，不是.
【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.
21.填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 .
22.下列说法中正确的有( )
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多
【答案】B
23．已知互为相反数，则 ．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.
【总结升华】若互为相反数，则或.
八、多重符号的化简
24.化简下列各数中的符号．
（1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）
（5）-[-(+1)] （6）-(-a)
【答案】 (1) （2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25
（4） （5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a
【解析】
(1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ；
（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5；
（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；
（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；
（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．
所以-(-a)= a
【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）下列各对数中，互为相反数的是（    ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】由于只有符号不同的两个数互为相反数，由此逐项判定即可．
【详解】解：A：-（+1）=-1和+（-1）=-1，不互为相反数，故不符合题意；    
B：-（-1）=1和+（-1）=-1，互为相反数，故符合题意；    
C： -（+1）=-1和-1不互为相反数，故不符合题意；    
D：+（-1）=-1和-1不互为相反数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查相反数，熟知相反数的定义是解题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先找到-a和-b在数轴上对应的位置，再根据数轴上左边的数比右边的数小即可得到答案．
【详解】解：根据数轴可得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查数轴上点的大小比较，相反数的概念，了解数轴上的点的大小规律是解题关键．
3．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）的相反数是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的数叫做相反数，即可进行解答．
【详解】解：的相反数是2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握：只有符号不同的数叫做相反数．
4．（2022秋·浙江·七年级期中）下列表示数轴的选项中，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可．
【详解】解：A、没有原点，不符合题意；
B、单位长度不统一，不符合题意；
C、-2和-1的位置不正确，不符合题意；
D、符合数轴三要素，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的画法，明确数轴的三要素，并数形结合进行识别，是解题的关键．
5．（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）数轴上有一个点B表示的数是3，点C到点B的距离为2个单位长度，则点C表示的数为（   ）
A．1 B．5 C．3或2 D．1或5
【答案】D
【分析】分点C在点B左边和右边两种情况进行求解即可．
【详解】解：当点C在点B左边时，点C表示的数为；
当点C在点B右边时，点C表示的数为；
故选D．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为4，那么A，B两点间的距离是（    ）
A．1或 B．或 C．1或7 D．1，7，或
【答案】C
【分析】点A到原点的距离为3，点A表示的数为3或者；点B到原点的距离为4，点B表示的数为4或者．可得点A到点B的距离为1或7．
【详解】解：由题意可得：
点A表示的数为3或者，点B表示的数为4或者，
若A、B在原点异侧，则两点之间的距离为，
若A、B在原点同侧，则两点之间的距离为，
故选C．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，根据点到原点的距离正确求出点所表示的数是解决本题的关键．
7．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）在，，，0，中，正数的个数有（    ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，进行判断即可．
【详解】解：，
∴，，，0，中，是正数的为，共2个；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．
8．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）在数轴上表示数的点移动个单位后，表示的数是（   ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据题意，向左或向右移动个单位即可得到结果．
【详解】解：如图，把数轴上表示数的点移动个单位后，表示的数是或．

故选：D
【点睛】本题考查了数轴，解本题的关键是熟练掌握数轴上的点表示数的意义和方法．
9．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（    ）
A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5
【答案】D
【分析】根据点A，B在数轴上分别表示0，3，算出每厘米代表的数值，乘以即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”， A，B在数轴上分别表示0，3，
∴，
∴C在数轴上所表示的数为：；
故选D．
【点睛】本题考查数轴上数字表示，解题的关键是根据的长度及数值得到每厘米代表的数值．

二、填空题
10．（2022秋·浙江·七年级期末）﹣（﹣2）＝___．
【答案】2
【分析】根据相反数的意义计算即可．
【详解】∵﹣（﹣2）=+2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了有理数的化简，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
11．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）的相反数是_____．
【答案】
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符合不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
12．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______.
【答案】或1
【分析】根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案．
【详解】解：表示左边的点，比小2的数时，这个数是；
表示右边的点，比大2的数时，这个数是；
故答案为或1．
【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，解题的关键是分类讨论．
13．（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）如图，图中数轴的单位长度为1，点A，B所表示的数互为相反数，若点M为线段中点，则点M所表示的数为________.

【答案】
【分析】根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后确定点C、D在数轴上所表示的数，求中点M表示的数即可．
【详解】解：由数轴的单位长度为1，点A、B所表示的数互为相反数，
∴数轴的原点在点A和点B的中点处，
∴点C表示的数为1，点D表示的数为-4，
∵点M为线段中点，
∴点M所表示的数为
故答案为．
【点睛】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，熟练掌握数轴上数的表示及相反数是解题的关键．
14．（2022秋·七年级单元测试）已知数轴上两点A、B对应的数分别是－1和2，M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动，假设点M、N同时出发，经过_____________秒后，M、N之间的距离为2个单位．

【答案】或
【分析】设经过t秒后，M、N之间的距离为2个单位，利用点M，N的运动方向和速度，可得到点M，N表示的数，再根据M、N之间的距离为2个单位，可得到关于t的方程|-1-2t-（2-6t）|=2，然后解方程求出t的值．
【详解】设经过t秒后，M、N之间的距离为2个单位，
∵M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动，
∴点M表示出的数为-1-2t，点N表示的数为2-6t，
∵M、N之间的距离为2个单位，
∴|-1-2t-（2-6t）|=2，
解之：t=或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，利用代数式表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，正确理解动点问题是解题的关键．

三、解答题
15．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）把下列各数，及它们的相反数表示在数轴上，再按从小到大顺序用“”把这些数连接起来．
，，0，．
【答案】数轴见解析，
【分析】首先根据相反数的求法，分别求出，，0，的相反数各是多少；然后把所给的各数及它们的相反数在数轴上表示出来；最后根据数轴的特征：当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所给的各数按从小到大的顺序排列起来即可．
【详解】解：的相反数是，0的相反数是0，的相反数是2，的相反数是，
如图所示：

用“”连接为．
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，有理数大小比较的方法，相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
16．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）在数轴上表示数4，，1，0，，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“”连接．

【答案】在数轴上表示各数见解析；
【分析】先把这些数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序排列即可．
【详解】解：在数轴上表示为：

∴将它们按从小到大的顺序用“”号连接为：．
【点睛】本题考查了用数轴表示数以及比较数的大小，在数轴上比较数的大小，右边的总比左边的数大．
17．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）如图为白纸上的一条数轴，A，B是数轴上两点，点A表示的数是，点B在点A的右边，且到点A的距离是4

(1)点B表示的数是 ．
(2)C，D，M，N是数轴上不同于A，B的四点，把数轴对折，使A，B两点重合，此时，C，D两点也重合．
①若点D在原点的右边，到原点的距离为6，求点C表示的数．
②若点M，N在数轴上原点的两侧，点M到点A的距离是100，当A，B两点重合时，点M分别到点B，N的距离相等，求点N表示的数．
【答案】(1)1
(2)①；②或

【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）①先求出对折点表示的数，然后利用两点之间的距离求解即可；
②分两种情况分析：点M在原点左侧，点M在原点右侧，然后利用两点之间的距离公式求解分析即可
【详解】（1）解：∵点A表示的数是，点B在点A的右边，且到点A的距离是4，
∴，
∴点B表示的数是1，
故答案为：1；
（2）①对折点为：
点D到对折点的距离为：
．
∴点C表示的数是－8．
②若点M在原点左侧，由折叠可得，当A，B两点重合时，
点M到点B的距离等于折叠前点M到点A的距离100，
∴折叠后点M表示的数为．
∵折叠后点M分别到点B，N的距离相等，
∴点N表示的数为．
若点M在原点右侧，同理可得，
折叠后点M表示的数为．
∴点N表示的数为．
综上所述，点N表示的数为或．
【点睛】题目主要考查数轴上的点表示有理数及两点之间的距离公式，熟练掌握利用数轴上两点之间的距离求解是解题关键．
18．（2022秋·浙江·七年级专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0．
【答案】见解析
【分析】直接在数轴上表示出相关有理数即可即可．
【详解】解：以0为原点，作一条以右方向为正方向的数轴，
各点的位置如图：

【点睛】本题主要考查了数轴、点在数轴上位置的确定等知识点，正确画出数轴以及在数轴上表示数是解答本题的关键．