第1章 有理数（全章复习与测试）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

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第1章 有理数全章复习与测试
【知识梳理】
一．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
三、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
四、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
五、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
六、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
七、有理数大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【考点剖析】
一．正数和负数（共5小题）
1．（2022秋•嘉兴期末）如果转盘沿顺时针转3圈记为+3，则转盘沿逆时针转2圈记为（　　）
A．﹣2 B．+2 C．3 D．﹣3
【分析】根据正数和负数的意义解答即可．
【解答】解：由题意可知，将顺时针记为正，则逆时针记为负，
所以转盘沿逆时针转2圈记为﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了具有相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，一般情况下一对反义词具有相反意义．
2．（2022秋•婺城区期末）手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（　　）

A．收入19.00元 B．支出10元
C．支出3.00元 D．支出22.00元
【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．
【解答】解：+19﹣10﹣12＝﹣3（元），
即表示支出3元，
故选：C．
【点评】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键．
3．（2022秋•武义县期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里Φ300表示直径是300mm，+0.2和﹣0.5是指直径在（300﹣0.5）mm到（300+0.2）mm之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（　　）
A．44.6mm B．44.8mm C．45.3mm D．45.5mm
【分析】根据正负数的意义求解即可．
【解答】解：由题意得：合格范围为：45﹣0.3＝44.7到45+0.2＝45.2，
而44.6＜44.7＜44.8＜45.2＜45.3＜45.5，
故可得B合格．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，理解并熟记正负数的意义是解题的关键．
4．（2022秋•金华期末）《浮生六记》中说：“佛手乃香中君子”，佛手闻起来沁人心脾，泡茶喝止咳润肺，备受人们喜爱．金华种植佛手已有600多年的历史，某果农采摘了5个佛手，每个佛手的质量以0.5kg为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：

（1）这5个佛手中质量最大的佛手为多少千克？它与质量最小的佛手相差多少千克？
（2）这五个佛手的总质量为多少千克？

【分析】（1）求出个佛手的质量即可判断；
（2）把个佛手的质量相加即可．
【解答】解：（1）∵0.5+0.1＝0.6，0.5+0＝0.5，0.5﹣0.05＝0.45，0.5﹣0.25＝0.25，0.5+0.15＝0.65，
∴质量最大的佛手为0.65kg，质量最小的佛手为0.25kg，
∴质量最大的佛手比质量最小的佛手重0.65﹣0.25＝0.4（kg），
答：质量最大的佛手为0.65kg，它与质量最小的佛手相差0.4kg；
（2）0.6+0.5+0.45+0.25+0.65＝2.45（kg），
答：这五个佛手的总质量为2.45千克．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，计算准确无误是解题的关键．
5．（2022秋•慈溪市期末）2022年足球世界杯在卡塔尔举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
+43
﹣35
﹣50
+142
﹣82
+21
﹣29
（1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？
（2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由．
（3）若该款足球纪念品每个生产成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？
【分析】（1）根据表格数据，结合正负数的意义得出本周生产量最多的一天是周四，最少的一天是周五，用最多的减去最小的即可求解；
（2）将表格数据相加即可求解；
（3）根据利润等于售价减去成本乘以数量即可求解．
【解答】（1）解：由表可知：因为本周生产量最多的一天是周四，最少的一天是周五，
∴142﹣（﹣82）＝224（个）．
答：本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产224个．
（2）∵43+（﹣35）+（﹣50）+（+142）+（﹣82）+（+21）+（﹣29）
＝43﹣35﹣50+142﹣82+21﹣29
＝10．
∵10＞0，
∴本周实际生产总量达到了计划数量．
（3）由利润＝总量×（单价﹣成本）有：
（10000×7+10）×（30﹣25）＝70010×5＝350050（元）．
答：该工厂本周的生产总利润是350050元．
【点评】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，有理数的加减的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
二．有理数（共4小题）
6．（2022秋•义乌市校级月考）在，，+3.5，0，﹣0.7中，负分数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由负分数的概念，即可判断．
【解答】，+3.5是正分数；﹣，﹣0.7是负分数，
故选：B．
【点评】本题考查负分数的概念，关键是掌握有限小数和无限循环小数都是分数．
7．（2022秋•东阳市月考）下列各数中，是负整数的是（　　）
A．+3 B．﹣1 C．﹣ D．0
【分析】根据负整数的定义判断即可．
【解答】解：A．+3是正整数，故本选项不合题意；
B．﹣1是负整数，故本选项符合题意；
C．是负分数，故本选项不合题意；
D．0既不是正整数，也不是负整数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，掌握负整数的定义是解题的关键．
8．（2021秋•诸暨市月考）在﹣2，+3.5，0，，﹣0.7，11中，负分数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】据分母不为1的数是分数，可得分数，再根据小于0的分数是负分数，可得负分数．
【解答】解：在﹣2，+3.5，0，，﹣0.7，11中，负分数有，﹣0.7共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，先判断分数，在判断负分数，是解题关键．
9．（2022秋•镇海区校级期中）在﹣3.5，，0.161161116…，0，中，有理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据有理数的分类即可判断．
【解答】解：有理数有：﹣3.5，，0，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
三．数轴（共4小题）
10．（2022秋•杭州期末）在数轴上有一点M表示的数是3，而点N与点M的距离是2个单位长度，则点N所表示数是（　　）
A．﹣2 B．1 C．5 D．1或5
【分析】在数轴上与表示3的点距离是2个单位长度的点有两个，一个在表示3的点（M）的左边2个单位长度，一个在表示3的点的右边2个单位长度，由此求得答案即可．
【解答】解：在数轴上与表示3的点距离是2个单位长度的点所表示的数是3﹣2＝1，﹣3+2＝5．
故选：D．
【点评】此题考查数轴，分类探讨是解决问题的关键．
11．（2022秋•桐乡市期中）数轴上点A，B，C分别表示数﹣1，m，﹣1+m，下列说法正确的是（　　）
A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边
C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边
【分析】由于不知道数m的数值，所以不清楚点A与点C，点A与点B的位置关系，再根据点B，C分别表示数m，﹣1+m即可判断．
【解答】解：∵m的数值未知，
∴点A与点C，点A与点B的位置关系未知，
∵点B，C分别表示数m，﹣1+m，
即点B向左移动一个单位，
∴点C一定在点B的左边，
故选：D．
【点评】本题主要考查数轴，掌握在数轴上，右边的数总比左边大事解题关键．
12．（2022秋•金华期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．

（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 　9　cm；
（2）图中点A所表示的数是 　12　，点B所表示的数是 　21　；
（3）受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”求爷爷和小明的年龄．

【分析】（1）由图象可知3倍的AB长为30﹣3＝27cm，即可求AB得长度．
（2）A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21．
（3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爷爷的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
【解答】解：（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为30﹣3＝27（cm），则这根木棒的长为27÷3＝9（cm），
故答案为：9；
（2）由（1）可知这跟木棒的长为9cm，
∴A点表示为3+9＝12，B点表示的数是3+9+9＝21，
故答案为：12，21；
（3）借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒AB，爷爷像小明这样大时，可看做点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为﹣37，
∴爷爷比小明大[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），
∴爷爷现在的年龄为119﹣52＝67（岁）．
∴小明现在的年龄为67﹣52＝15（岁）．
【点评】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键．
13．（2022秋•温州期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C为数轴上一点，点C到点A的距离是点C到点B的距离的．
（1）若点C在点A的左侧，求出点C所表示的数．
（2）若点C在点A的右侧，求出点C所表示的数．


【分析】（1）设点C所表示的数为x，根据题意可得：﹣1﹣x＝（3﹣x），然后进行计算即可解答；
（2）设点C所表示的数为a，分两种情况：当点C在AB之间时；当点C在点B的右侧时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）设点C所表示的数为x，
∵点C到点A的距离是点C到点B的距离的，
∴﹣1﹣x＝（3﹣x），
解得：x＝﹣7，
∴点C所表示的数为﹣7；
（2）设点C所表示的数为a，
分两种情况：
当点C在AB之间时，
∵点C到点A的距离是点C到点B的距离的，
∴a﹣（﹣1）＝（3﹣a），
解得：a＝；
当点C在点B的右侧时，
∵点C到点A的距离是点C到点B的距离的，
∴a﹣（﹣1）＝（a﹣3），
解得：a＝﹣7（舍去）；
综上所述：点C所表示的数为．
【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．
四．相反数（共2小题）
14．（2022秋•婺城区期末）﹣2023的相反数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：B．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
15．（2022秋•鄞州区校级期中）下列各组代数式中，互为相反数的有（　　）
①a﹣b与﹣a﹣b；②a+b与﹣a﹣b；③a+1与1﹣a；④﹣a+b与a﹣b．
A．②④ B．①②④ C．①③ D．③④
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和是0．两个多项式，如果一个多项式的各项分别与另一个多项式的各项互为相反数，则这两个代数式也互为相反数．
【解答】解：①a﹣b+（﹣a﹣b）＝﹣2b≠0，不是互为相反数；
②a+b+（﹣a﹣b）＝0，是互为相反数；
③a+1+1﹣a＝2≠0，不是互为相反数；
④﹣a+b+a﹣b＝0，是互为相反数．
故选：A．
【点评】此题考查的是相反数，掌握其概念是解决此题的关键．
五．绝对值（共3小题）
16．（2022秋•新化县期末）下列说法中正确的是（　　）
A．0是最小的数
B．如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等
C．最大的负有理数是﹣1
D．任何有理数的绝对值都是正数
【分析】根据有理数的比较大小可得A、C的正误，根据相反数的概念可判断出B的正误；根据绝对值的性质可得D的正误．
【解答】解：A、0是最小的数，说法错误，负数比0还小；
B、如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等，说法正确；
C、最大的负有理数是﹣1，说法错误，例如﹣0.1比﹣1还大；
D、任何有理数的绝对值都是正数，说法错误，例如0的绝对值是0，不是正数；
故选：B．
【点评】此题主要绝对值，以及有理数，关键是掌握①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
17．（2022秋•宁波期中）已知a＜﹣1，﹣1≤c≤0，a＜b＜c，求|a+b+c|﹣|b﹣c|﹣|a﹣c﹣1|的最大值和最小值．
【分析】根据已知条件求得a+b+c＜0，b﹣c＜0，a﹣c﹣1＜0，化简|a+b+c|﹣|b﹣c|﹣|a﹣c﹣1|＝﹣3c﹣1，根据﹣1≤c≤0，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：∵a＜﹣1，﹣1≤c≤0，a＜b＜c，
∴a+b+c＜0，b﹣c＜0，a﹣c﹣1＜0，
∴|a+b+c|﹣|b﹣c|﹣|a﹣c﹣1|
＝﹣（a+b+c）﹣（c﹣b）﹣（c﹣a+1）
＝﹣a﹣b﹣c﹣c+b﹣c+a﹣1
＝﹣3c﹣1，
∵﹣1≤c≤0，
∴﹣3≤3c≤0，
∴﹣1≤﹣3c﹣1≤2，
∴最小值为﹣1，最大值为2．
【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．
18．（2022秋•郫都区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　＜　0，a+b　＜　0，c﹣a　＞　0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．

【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；

（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．
六．非负数的性质：绝对值（共3小题）
19．（2022秋•拱墅区校级月考）已知|x+2|与|y﹣4|互为相反数，则x+y﹣3的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据绝对值的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|x+2|与|y﹣4|互为相反数，
∴|x+2|+|y﹣4|＝0，
∴x+2＝0，y﹣4＝0，
解得x＝﹣2，y＝4，
∴x+y﹣3＝﹣2+4﹣3＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的非负性，理解绝对值的非负性是正确解答的前提》
20．（2022秋•北仑区期中）式子|x﹣1|+5的最小值是 　5　．
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：因为|x﹣1|≥0，
所以|x﹣1|的最小值是0，
所以|x﹣1|+5的最小值是5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握任意一个数的绝对值都是非负数是解题的关键．
21．（2022秋•东阳市月考）算式10﹣|5﹣x|有最 　大　（填“大”或“小”）值为 　10　．
【分析】根据非负数的性质得出|5﹣x|的最小值，从而得出10﹣|5﹣x|的最大值，从而得答案．
【解答】解：∵|5﹣x|≥0，
∴最小值为0，
∴10﹣|5﹣x|≤10，最大值为10，
故答案为：大，10．
【点评】本题考查了非负数的性质以及绝对值，掌握非负数的性质是解题的关键．
七．有理数大小比较（共8小题）
22．（2022秋•苍南县期末）数﹣6，5，0，中最大的是（　　）
A．﹣6 B．5 C．0 D．
【分析】利用有理数的大小比较判断．
【解答】解：在有理数﹣6，5，0，中，最大的数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较．
23．（2022秋•长兴县期末）数1，﹣2，0，﹣1中，最小的数是（　　）
A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴数1，﹣2，0，﹣1中，最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
24．（2022秋•武义县期末）比较两个数的大小：0 　＞　﹣5．
【分析】根据负数都小于0解答即可．
【解答】解：∵﹣5是负数，
∴0＞﹣5．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数都大于0，负数都小于0是解题的关键．
25．（2022秋•永康市期中）在数轴上表示数3，﹣|3.5|，2，0，﹣，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”连接．
【分析】先去绝对值符号，再把各数在数轴上表示出来，用“＜”把它们连接起来即可．
【解答】解：﹣|3.5|＝﹣3.5，
如图，

故﹣|3.5|＜﹣＜0＜2＜3．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
26．（2018秋•秀洲区期末）比较大小：﹣　＞　（填“＞”或“＜”）．
【分析】求出两个数的绝对值，再比较即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣|＝，
∴﹣＞﹣，
故答案为：＞
【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
27．（2022秋•仙居县期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：﹣（﹣1），|﹣4|，+（﹣2.5）．

（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图2所示：
①在数轴上分别表示出数﹣n和|m|；
②把m，n，﹣n，|m|这四个数从小到大用“＜”号连接．

【分析】（1）在数轴上表示三个数即可；
（2）①在数轴上分别表示出数﹣n和|m|即可；
②在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）①如图所示：
②把m，n，﹣n，|m|这四个数从小到大用“＜”号连接为﹣n＜m＜|m|＜n．

【点评】本题考查了有理数大小比较，正确在数轴上表示出各个数是解决本题的关键．
28．（2022秋•嘉兴期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+11，则x的值是 　3或﹣9　．
【分析】按照题目的规定，分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵x是整数，
∴〈x〉＝x+1，
若x＞﹣3x，则max{x，﹣3x}＝x，
∴x＝﹣2〈x〉+11＝﹣2（x+1）+11，
∴x＝3，
此时符合题意．
若x＜﹣3x，则max{x，﹣3x}＝﹣3x，
∴﹣3x＝﹣2（x+1）+11，
∴x＝﹣9．
此时符合题意．
∴x的值是3或﹣9．
【点评】本题考查有理数的大小比较，关键是掌握题目中的规定，并分情况讨论．
29．（2022秋•丽水期中）在数轴上表示下列各数：﹣3，+2，﹣1，0，3，并用“＜”把这些数连接起来．


【分析】在数轴上标出各数，﹣3＜﹣1＜0＜+2＜3．
【解答】解：如图所示，

﹣3＜﹣1＜0＜+2＜3．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌数轴知识点是解本题的关键，综合性较强，难度不大．
【过关检测】
一、单选题
1．月球是地球的近邻，它的起源一直是人类不断探索的谜题之一．全球迄今进行了126次月球探测活动，因为研究月球可提高人类对宇宙的认识，包括认识太阳系的演化及特点，认识地球自然系统与太空自然现象之间的关系．我们已经认识到，在月球表面，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到﹣183℃．下面对“﹣183℃”的叙述不正确的是（　　）

A．﹣183是一个负数
B．﹣183表示在海平面以下183米
C．﹣183在数轴上的位置在原点的左边 
D．﹣183是一个比﹣100小的数
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.
【详解】A、﹣183是负数,正确;
B、﹣183表示在零摄氏度以下183℃,错误;
C、﹣183在数轴上的位置在原点的左边,正确;
D、﹣183是一个比-100小的数,正确;
故选B..
【点睛】本题考查了正数与负数的知识,解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.
2．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，经过两次移动后到达的终点表示的是什么数？（　　）
A．+5 B．+1 C．-1 D．-5
【答案】C
【分析】根据向右移动用加,向左移动用减进行计算,列式求解即可.
【详解】由题意得0+2-3=-1.
故选C.
【点睛】本题主要考查了数轴的知识,熟记左减右加是解题的关键.
3．在1，﹣2，0，  这四个数中，最大的整数是（     ）
A．1 B．0 C． D．﹣2
【答案】A
【分析】先确定四个数中的整数，再根据有理数的大小比较法则解答．
【详解】1，−2，0是整数，且−2＜0＜1，
∴最大的整数是1，
故选A．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，掌握整数的概念、有理数的大小比较法则是解题的关键．
4．下列说法正确的是（　　）
A．一个数的绝对值一定比0大 B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最小的正整数是1
【答案】D
【详解】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确；
故选 ：D．
5．﹣|﹣|的倒数是（　　）
A． B．﹣      C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】先把﹣|﹣|化简，再根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.
【详解】∵﹣|﹣|=-，
∴﹣|﹣|的倒数是-2.
故选D.
【点睛】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键.求小数的倒数一般先把小数化成分数，求带分数的倒数一般先把带分数化成假分数.
6．有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（　　）
A．+2 B．﹣3
C．+3 D．+4
【答案】A
【详解】
A、+2的绝对值是2；          B、﹣3的绝对值是3；
C、+3的绝对值是3；          D、+4的绝对值是4．
∵
∴表示实际克数最接近标准克数的是A
故选:A
7．若|n+2|+|m+8|=0，则n﹣m等于（　　）
A．6 B．﹣10 C．﹣6 D．10
【答案】A
试题分析：根据绝对值的非负性：任何数的绝对值不小于0，得|n+2|≥0，|m+8|≥0，再根据|n+2|+|m+8|=0，则只有当|n+2|=0，且|m+8|=0时成立，解得m、n的值，再求n-m.
解：∵|n+2|+|m+8|=0，
∴|n+2|=0，且|m+8|=0，
解得n=-2，m=-8，
则n-m=-2-（-8）=6．
故选A．
点睛：两个具有非负性的数的和等于0，则两个数都为0，是初中数学的常考点.
8．的绝对值是　　
A． B． C．2018 D．
【答案】C
【分析】根据数a的绝对值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.
【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，
所以-2018的绝对值是2018，
故选C.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.
9．如图，数轴上每个刻度为1个单位长，则 A，B 分别对应数 a，b，且b-2a=7，那么数轴上原点的位置在（     ）

A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点
【答案】C
【详解】由图知，b-a=3,代入b-2a=7   ，所以a=-4 .原点在C，所以选C.
10．下列有理数大小关系判断正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简各式，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
【详解】∵，，，
∴，故选项A正确；
∵，，
∴，故选项B不正确；
∵，，
∴，故选项C不正确；
∵，，，
∴，故选项D不正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
二、填空题
11．在知识竞赛中，如果用分表示扣分，那么分表示________．
【答案】加分
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：加分记为正，则扣分就记为负，直接得出结论即可．
【详解】在知识竞赛中，如果用-10分表示扣10分，那么+20分表示加20分，
故答案为加20分．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
12．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为______．

【答案】﹣6
【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【详解】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为-1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB=4-（-1），AC=-1-x，
根据题意AB=AC，
∴4-（-1）=-1-x，
解得x=-6．
故答案为-6．
点睛：本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．
13．在“1，﹣0.3，，0，﹣3.3”这五个数中，非负有理数______（写出所有符合题意的数）.
【答案】1，+，0
【详解】非负有理数包含0和正有理数，所以1，+，0满足题意.
14．A为数轴上表示﹣1的点，将点A沿数轴向右平移3个单位到点B，则点B所表示的数为______．
【答案】2．
【详解】解：∵A为数轴上表示﹣1的点，将点A沿数轴向右平移3个单位到点B，∴﹣1+3=2，即点B所表示的数是2，故答案为2．
点睛：本题考查了数轴和有理数的应用，关键是能根据题意得出算式．
15．若与互为相反数，则的值为________．
【答案】
【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．
【详解】由题意得，|a-2|+|b+3|=0，
则a-2=0，b+3=0，
解得，a=2，b=-3，
则a-b=2-（-3）=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
16．比较大小：________．
【答案】
【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断出-1.7、-1的大小关系即可．
【详解】|-1.7|=1.7，|-1|=1.6，
∵1.7＞1.6，
∴-1.7＜-1．
故答案为＜．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
17．在，，，中，负数有________个．
【答案】
【分析】先将各数化简，然后根据负数的定义判断．
【详解】-|-5|=-5是负数，-（-3）=3是正数，-（-3）2=-9是负数，（-5）2=25是正数．
故负数有-|-5|，-（-3）2两个，
故答案为2．
【点睛】本题考查了正数与负数，解题的关键是：先将各数化简，然后根据负数的定义判断．
18．在数轴上有、两点，点表示的数是，点与点间的距离是，那么点表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示2的点的左边时，当点在表示2的点的右边时，列出算式求出即可．
【详解】分为两种情况：①当点在表示2的点的左边时，数为2-4=-2；
②当点在表示2的点的右边时，数为2+4=6．
故答案为-2或6．
【点睛】本题考查的是数轴的特点，即数轴上两点之间的距离等于两点坐标之差的绝对值．
三、解答题
19．有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．

【答案】b
【分析】直接利用数轴得出各式的符号，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，，，，
故：

．
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是正确得出各式的符号．
20．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
4，0.5，﹣1，10%，﹣5，﹣3.14，0，，+2018
（1）正整数集合{　 　…}
（2）分数集合{　 　…}
（3）负有理数集合{　 　…}
（4）整数集合{　 　…}．
【分析】根据正整数、分数、负有理数，整数的定义即可解答．
【详解】（1）正整数集合{4，+2018…}
（2）分数集合{0.5，﹣1，10%，﹣3.14，…}
（3）负有理数集合{﹣1，﹣5，﹣3.14…}
（4）整数集合{4，﹣5，0，2018…}．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正整数、分数、负有理数，整数的定义是解题的关键．
21．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是　 　，点B对应的数是　 　；
（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．
【答案】(1) ﹣5, 27；(2) -37．
【分析】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可；（2）设经过x秒F追上点E，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数.
【详解】（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣5；B对应的数是27；
（2）设经过x秒F追上点E，
根据题意得：2x+32=4x，
解得：x=16，
则点C对应的数为﹣5﹣2×16=﹣37．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22．a的相反数是2b+1，b的相反数是3，求a2+b2的值．
【答案】34
【分析】根据相反数的定义列出关于a、b的方程组,求出a、b的值,再代入a2+b2进行计算即可.
【详解】∵a的相反数是2b+1，b的相反数是3，
∴，
解得．
∴a2+b2=52+（﹣3）2=34．
【点睛】本题考查了相反数的定义,即只有符号不同的两个数叫互为相反数.
23．某出租车司机从赣东大道的汽车站出发在赣东大道（将赣东大道看作一条直线）上来回载客，假定向南行驶的路程记为正数，向北行驶的路程记为负数，行驶的各段路程依次为（单位：km）：+5，﹣8，+10，﹣6，﹣3，+11，﹣9
（1）出租车最后是否回到出发点汽车站？
（2）出租车离汽车站最远是多少km？
（3）在行程中，如果每行驶4km载到一个顾客，则出租车一共载到多少顾客？
【答案】（1）出租车最后回到出发点汽车站;（2）9km;（3）13个顾客．
【分析】(1)根据有理数的加法,即可解答;(2)把每次出租车离汽车站的距离依次算出来,即可解答; (3)把绝对值相加,再除以4,即可解答.
【详解】（1）∵5﹣8+10﹣6﹣3+11﹣9=0，
∴出租车最后回到出发点汽车站．
（2）∵出租车离汽车站的距离依次为：5km，|5﹣8|=|﹣3|=3km，
|﹣3+10|=7km，|7﹣6|=1km，|1﹣3|=|﹣2|=2km，|﹣2+11|=9km，|9﹣9|=0km，
∴出租车离汽车站最远是9km．
（3）5+8+10+6+3+11+9=52km．
52÷4=13（个）
答：出租车一共载到13个顾客．
【点睛】本题考查了正数和负数,利用了有理数的加法运算,根据题意列出算式是解题的关键.
24．2017年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织其中，其中闻名于世的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了7万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
10月8日
人数变化
+0.6
+0.2
+0.1
﹣0.2
﹣0.8
﹣1.6
﹣0.1

（1）10月3日的人数为　 　万人．
（2）这八天，游客人数最多的是10月　 　日，达到　 　万人．游客人数最少的是10月______　 　日，为　 　万人．
（3）这8天参观故宫的总人数约为　 　万人（结果精确到万位）；
（4）如果你们一家人打算在下一个国庆节参观故宫，请你对你们的出行日期提一个建议．
【答案】（1）7.6；（2）4，7.9，8，5.2；（3）55；（4）为了安全，尽量把参观日期向后安排．
【分析】（1）根据题意计算出10月2日的人数再加上-0.58即可；
（2）分别计算出每天的人数，即可作出判断；
（3）根据（1）（2）把8天的人数相加即可；
（4）答案不唯一，只要合理即可．
【详解】解：（1）2日的人数为：7+0.6=7.6万人，
3日的人数为：7.6+0.2=7.8万人．
故答案为7.8；
（2）4日的人数为：7.8+0.1=7.9万人，
5日的人数为：7.9﹣0.2=7.7万人，
6日的人数为：7.7﹣0.8=6.9万人，
7日的人数为：6.9﹣1.6=5.3万人，
8日的人数为：5.3﹣0.1=5.2万人，
所以这八天，游客人数最多的是10月4日，达到7.9万人．游客人数最少的是10月8日，达到5.2万人．
故答案为4，7.9，8，5.2；
（3）7+7.6+7.8+7.9+7.7+6.9+5.3+5.2=55.4≈55万人．
故答案为55；
（4）为了安全，尽量把参观日期向后安排．
【点睛】考查了正数负数以及有理数的运算，关键是正确理解表中数据的含义，正确计算出每天的人数.