2022-2023学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省江门市鹤山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，没有平方根的是(    )
A. 65 B. (−2)2 C. −22 D. 12
2. 计算 8− 2的结果是(    )
A. 6 B. 6 C. 2 D. 2
3. 下列说法中，正确的个数是(    )
(1)正比例函数一定是一次函数；
(2)一次函数一定是正比例函数；
(3)速度一定，路程s是时间t的一次函数；
(4)圆的面积是圆的半径r的正比例函数．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是(    )
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 频率
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AC=4m，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为(    )
A. 26cm
B. 24cm
C. 20cm
D. 18cm
6. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm燃烧时剩下的高度h(cm)与时间t(小时)的关系图象表示是(    )
A. B. C. D.
7. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，则图形中全等三角形共有(    )


A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
8. 以A(−0.5,0)、B(2,0)、C(0,1)三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，点A的坐标为(−1,0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(    )

A. (0,0) B. (−12,−12) C. ( 22,− 22) D. (− 22,− 22)
10. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形面积是13，小正方形面积是1，直角三角形两条直角边长分别为a、b，则a+b的值是(    )


A. 4 B. 5 C. 12 D. 1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知平行四边形ABCD中，∠B−∠A=40°，则∠D= ______ ．
12. x+1× x−1= x2−1成立的条件是______．
13. 一次函数的图象过点(1,2)，且y随x减小，请写出一个满足条件的解析式是______ ．
14. 已知样本中各数据与样本平均数的差的平方和是(x1+x)2+(x2+x)2+…+(x10+x)2=40，则样本方差s2= ______ ．
15. 如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
当自变量x取何值时，函数y=52x+1与y=5x+17的值相等？这个函数值是多少？
17. (本小题8.0分)
某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数
6
7
8
9
人数
1
5
2

(1)填空：10名学生的射击成绩的众数是______，中位数是______．
(2)求这10名学生的平均成绩．
(3)若9环(含9环)以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？
18. (本小题8.0分)
如图，从正方形ABCD中裁去两个面积分别为24cm2和15cm2的正方形BEOH和DFOG，求留下部分的总面积．

19. (本小题9.0分)
如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC．
(1)利用直尺和圆规作AC边上的中线BM(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)延长BM到D，使MD=MB，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是菱形．

20. (本小题9.0分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)以格点为顶点画△ABC，使△ABC三边长为：3，2 2， 5；
(2)求△ABC的面积．

21. (本小题9.0分)
我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何，译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

22. (本小题12.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF=BE．
(1)求证：四边形AECF是矩形．
(2)若BF平分∠ABC，且DF=1，AF=3，求线段BF的长．

23. (本小题12.0分)
如图，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为原点建立平面直角坐标系，点B在x轴正半轴上，过点A的直线y=− 33x+m与x轴交于点E．
(1)求点A的坐标；
(2)求点E的坐标；
(3)求证OA⊥AE．

24. (本小题15.0分)
如图，矩形OBCD中，OB=5，OD=3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB=S矩形OBCD．
(1)求S△POB；
(2)求直线OC的解析式；
(3)当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；
(4)当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、B、D都是正数，故都有平方根；
C是负数，故C没有平方根；
故选：C．
根据平方都是非负数，可得负数没有平方根．
本题考查了平方根，注意负数没有平方根．

2.【答案】D 
【解析】解： 8− 2
=2 2− 2
= 2，
故选：D．
根据二次根式加减的一般步骤，先化简，再合并．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

3.【答案】B 
【解析】解：(1)正比例函数一定是一次函数，正确；
(2)一次函数一定是正比例函数，错误；
(3)速度一定，路程s是时间t的关系式为：s=vt，是一次函数，正确；
(4)圆的面积是圆的半径r的平方的正比例函数，故错误，
故选：B．
利用正比例函数和一次函数的定义逐一判断后即可得到答案．
本题考查了一次函数和正比例函数的定义，属于基础题，比较容易掌握．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了方差的意义，波动越大，方差越大，数据越不稳定，反之也成立．
根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．
【解答】
解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故选C．  
5.【答案】D 
【解析】解：∵AC=4cm，△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13−4=9(cm)．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2(AD+DC)=18cm．
故选：D．
根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm.然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长．熟记“平行四边形的对边相等”是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的图象的知识点，解答时应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．随着时间的增多，蜡烛的高度就越来越小，由此即可求出答案．
【解答】
解：设蜡烛点燃后剩下h厘米时，燃烧了t小时，
则h与t的关系是为h=20−5t(0≤t≤4)，是一次函数图象，即t越大，h越小，
符合此条件的只有C．
故选：C．  
7.【答案】C 
【解析】解：全等三角形有△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，△AOB≌△DOC，共3对，
故选C．
根据全等三角形的判定定理(SAS,ASA,AAS,SSS)推出即可．
本题考查了等腰梯形性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

8.【答案】C 
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

分三种情况考虑：
①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
令点A为(−0.5,0)，点B(2,0)，点C(0,1)，①以BC为对角线作平行四边形；②以AC为对角线作平行四边形；③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．

9.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到AB最短时的B点的位置与该点所在的等腰直角三角形是解题的关键.先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由于点B在直线y=x上运动，所以△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′的长即可得出点B′的坐标．
【解答】
解：如图，先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当点B与点B′重合时AB最短，
∵点B在直线y=x上运动，
∴∠AOB′=45°，
∵AB′⊥OB，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，
∴△B′CO为等腰直角三角形，
∵点A的坐标为(−1,0)，
∴OC=CB′=12OA=12×1=12，
∴B′坐标为(−12,−12)，
即当B与点B′重合时AB最短，点B的坐标为(−12,−12)，
故选：B．  
10.【答案】B 
【解析】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
∴小正方形的边长为(a−b)，
∵小正方形面积是1，
∴(a−b)2=1，
∴a2+b2−2ab=1，
∵大正方形面积是13，
a2+b2=13，
∴ab=6，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25，
∵a+b>0，
∴a+b=5，
故选：B．
设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据大正方形与小正方形的面积得出关于a、b的等式求解即可．
本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．

11.【答案】110° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B−∠A=40°，
∴∠B=110°，
∴∠D=∠B=110°．
故答案为：110°．
由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A+∠B=180°，又由∠B−∠A=40°，即可求得∠B的度数，又由平行四边形的对角相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．

12.【答案】x≥1 
【解析】解：若 x+1× x−1= x2−1成立，
那么x+1≥0x−1≥0，
解之得，x≥−1，x≥1，所以x≥1．
根据二次根式的乘法法则： a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)的条件，列不等式组求解．
此题的隐含条件是：被开方数是非负数．

13.【答案】y=−x+3 
【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
∵y随x减小，
∴k可取−1，
把(1,2)代入y=−x+b得−1+b=2，解得b=3，
∴满足条件的解析式可为y=−x+3．
故答案为y=−x+3．
设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质得k<0，取k=−1，然后把(1,2)代入y=−x+b可求出b．
本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

14.【答案】4 
【解析】解：∵s2=1n[(x1+x)2+(x2+x)2+…+(x10+x)2]=110×40=4，
∴样本方差s2=4．
故答案为：4．
直接利用方差公式求出即可．
此题主要考查了方差有关计算，正确掌握方差公式是解题关键．

15.【答案】23 
【解析】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为(a2,a)，
则点C的坐标为(a2+a,a)，
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k(a2+a)，解得，k=23．
故答案为：23．
设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值．
本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．

16.【答案】解：由题意得y=52x+1y=5x+17，解得x=−325y=−15，
当x=−325时，函数y=52x+1与y=5x+17的值相等，这个函数值是−15． 
【解析】本题考查了函数值，一次函数与二元一次方程组的关系，利用了函数值相等，自变量相等得出方程组是解题关键．
根据函数值相等，自变量相等，可得方程组，根据解方程组，可得答案．

17.【答案】解(1)7环；7环；
(2)由表可知9环的有2人，
∴这10名学生的平均成绩=6+7×5+8×2+9×210=7.5环，
答：这10名学生的平均成绩为7.5环．
(3)500×210=100人，
答：全年级500名学生中有100名是优秀射手． 
【解析】
【分析】
本题考查平均数、众数、中位数的意义及求法，理解样本估计总体的统计方法是解题的关键．
(1)根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．
(2)根据平均数的计算方法进行计算即可，
(3)样本估计总体，用样本中优秀人数所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．
【解答】
解：(1)射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，
故答案为：7环；7环．
(2)见答案；
(3)见答案．  
18.【答案】解：由题意可得：EO=HO= 24=2 6(cm)，
GO=FO= 15cm，
故留下部分的总面积为：2 6× 15×2=12 10(cm2)，
答：留下部分的总面积是12 10cm2． 
【解析】根据题意求出线段EO，HO，GO，FO的长，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键．

19.【答案】解：(1)如下图：BM即为所求；

(2)由作图得：BM平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AM=CM，
∵BM=DM．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴▱ABCD是菱形． 
【解析】(1)根据等腰三角形的选择作图；
(2)根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质及菱形的判定定理是解题的关键．

20.【答案】解：(1)如图：△ABC即为所求；
(2)△ABC的面积为：0.5×2×3=3．
 
【解析】(1)根据勾股定理作图；
(2)根据三角形的面积公式求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握勾股定理及三角形的面积公式是解题的关键．

21.【答案】解：设水深x尺，芦苇(x+1)尺，
由勾股定理：x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 
【解析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．

22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．

(2)解：∵BF平分∠ABC，AD//BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF= AB2−BE2=2 2，
在Rt△BFC中，BF= BC2+CF2= 42+(2 2)2=2 6． 
【解析】(1)首先证明AF=EC，AF/​/EC，推出四边形AECF是平行四边形，再证明∠AEC=90°即可解决问题；
(2)分别在Rt△ABE，Rt△BCF中，利用勾股定理求出AE、BF即可；
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】(1)解：如图，过A作AC⊥OB，垂足为C，

∵△OAB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴OC=12OB=1，
∴AC= OA2−OC2= 3，
∴点A的坐标为(1, 3)；
(2)解：∵A(1, 3)，
代入y=− 33x+m中，
解得m=4 33，
∴y=− 33x+4 33，
令y=0，则x=4．
∴E(4,0)；
(3)∵E(4,0)，
∴OE=4，
∵A(1, 3).
∴AE= (4−1)2+(0− 3)2=2 3，
∵OA2+AE2=22+(2 3)2=16=OE2，
∴∠OAE=90°，
即OA⊥AE． 
【解析】(1)过A作AC⊥OB，垂足为C，根据等边三角形的性质求出OC，利用勾股定理求出AC，可得点A坐标；
(2)将点A坐标代入解析式中求出m，再令y=0，求出x的值，即可得到点E的坐标；
(3)根据点A和点E坐标求出AE，OE，再根据勾股定理的逆定理得到方程，即可证明OA⊥AE．
本题考查了一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练转化点的坐标和线段的长．

24.【答案】解：(1)根据条件可知：S矩形OBCD=15，
∵S△POB=S矩形OBCD．
∴S△POB=15．
(2)根据条件可知：C(5,3)，
设直线OC的解析式为y=kx，
代入C点的坐标得：k=35，
∴直线OC的解析式为：y=35x.
(3)当点P在矩形的对角线OC上时设点P的坐标为(m,35m)，
∵S△POB=S矩形OBCD=15，
∴12×5×‖35m‖=15，
m1=10，m2=−10，
∴P(10,6)或P(−10,−6)．
(4)∵S△POB=S矩形OBCD=15，
∴点P的运动轨迹有两条：在直线y=6或y=−6上，
①当点P在直线y=6上时，找到点B关于直线y=6的对称点G，则G(5,12)，连接OG交直线y=6于点P，则该点即为OP+BP的最小值．
设OG解析式为：y=kx，代入点G坐标得，k=125，
∴OG解析式为：y=125x，令y=6，则x=52．
∴P(52,6)．
②当点P在直线y=−6上时；根据对称性和①的求法，可直接得PO+PB取最小值时，P点坐标是(52,−6)．
综上，当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，P(52,6)或(52,−6)． 
【解析】(1)利用矩形面积即可求出三角形面积；
(2)待定系数法直接求出解析式即可；
(3)设点P的坐标为(m,35m)利用面积是15建立含有绝对值的方程，解出即可；
(4)分两种情况：P分别在直线y=6或y=−6上，利用轴对称最短路径求出坐标即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短路径问题，找到对称点是关键．