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2022-2023学年江西省吉安市青原区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省吉安市青原区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省吉安市青原区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 要使1x−2022有意义，则x的取值范围为( )
A. x≠0 B. x>2022 C. x≠2022 D. x≠−2022
3. 下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9 B. x2+4x+10=(x+2)2+6
C. x2−6x+9=(x−3)2 D. x2−4+3x=(x−2)(x+2)+3x
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC=8，则BP=( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
5. 如图，△ABC的面积为8cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A. 2cm2
B. 3cm2
C. 4cm2
D. 5cm2
6. 如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为( )
A. 5° B. 10° C. 15° D. 25°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 分解因式：m2−2m=______．
8. 若点A(m,n)和点B(3,2)关于x轴对称，则mn的值是______ ．
9. 一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是______ ．
10. 如图，∠AOP=∠BOP，PC//OA，PD⊥OA，若∠AOB=45°，PC=6，则PD的长为______．
11. 如图，直线y=kx+b(k<0)与直线y=3x相交于点A(m,3)，则不等式kx+b>3x的解集是______ ．
12. 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5cm，AB=13cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)因式分解：2a3−12a2+18a；
(2)解方程：xx−2=12x2−4+1．
14. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(xx−2−3x−2)⋅x2−4x−3，其中x=4．
15. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
16. (本小题6.0分)
解不等式组：2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)，并将解集在数轴上表示出来．
17. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
(1)在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
(2)在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
18. (本小题8.0分)
如图，已知△BAC中，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E，连接AD.(1)若∠BAC=60°，∠B=80°，求∠BAD的度数；
(2)若AB=10，BC=12，求△ABD的周长．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A(−3,1)B(0,3)C(0,1)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．
20. (本小题8.0分)
“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
21. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE=CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
22. (本小题9.0分)
阅读下面的材料，回答问题：如果(x−2)(6+2x)>0，求x的取值范围．
解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得x−2>06+2x>0或x−2<06+2x<0，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为x>2，第二个不等式组的解集为x<−3.故当x>2或x<−3时，(x−2)(6+2x)>0．
(1)试利用上述方法，求不等式(x−3)(1−x)<0的解集．
(2)如图，直线AB：y=kx+b与x轴交于点A(−2,−0)，直线CD：y=1−mx与x轴交于点C(1,0)，根据图象，请你直接写出关于x的不等式(kx+b)(1−mx)<0的解集．
23. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=DC=4，AD=BC=8.延长BC到E，使CE=4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．(t>0)
(1)当t=3时，BP=______；
(2)当t=______时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)当0
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】C
【解析】解：∵分式1x−2022有意义，
∴x−2022≠0，
∴x≠2022，
故选：C．
根据分式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、是多项式相乘，错误；
B、右边不是积的形式；错误；
C、x2−6x+9=(x−3)2，正确；
D、右边不是积的形式；错误；
故选：C．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4.【答案】C
【解析】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA=DC=8，
∵∠ABC=90°，点P是AD的中点，
∴BP=12AD=4，
故选：C．
先根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=8，然后利用直角三角形斜边上的中线可得BP=12AD=4，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于点D，如图所示，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，
∴∠PAB=∠PDB，
∴BA=BD，
∵BP⊥AD，
∴AP=DP，
∴S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，
∴S△PBC=12S△ABC，
∵△ABC的面积为8cm2，
∴△PBC的面积为4cm2，
故选：C．
延长AP交BC于点D，先根据已知条件可得AB=AD，再根据等腰三角形的性质可得AP=DP，再根据三角形中线的性质可得S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，进一步可得△PBC的面积．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A=180°−∠B2=80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A2=80°2=40°，
同理可得∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=80°2n−1，
以点A4为顶点的等腰三角形的底角为∠A5，
∠A5=80°24=5°，
故选：A．
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
7.【答案】m(m−2)
【解析】解：m2−2m=m(m−2)．
直接把公因式m提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
8.【答案】−6
【解析】解：∵A(m,n)与点B(3,2)关于x轴对称，
∴m=3，n=−2，
∴mn=−6．
故答案为：−6．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出m、n的值，再计算mn的值．
本题考查关于x轴对称的点坐标，解题关键是理解关于x轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
9.【答案】11
【解析】解：设这个多边形是n边形，
则这个多边形的内角和是180°(n−2)，外角和是360°，
由题意得：180°(n−2)=4.5×360°，
解得：n=11，
这个多边形的边数是11．
故答案为：11．
由题意知一个多边形的内角和是外角和的4.5倍，可设这个多边形是n边形，由多边形的内角和公式得n边形的内角和为180°(n−2)，多边形的外角和是360°，从而列出一元一次方程180°(n−2)=4.5×360°，解出n即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．
10.【答案】3 2
【解析】解：过P作PE⊥OB，
∵∠AOP=∠BOP，∠AOB=45°，
∴∠AOP=∠BOP=22.5°，
∵PC//OA，
∴∠OPC=∠AOP=22.5°，
∴∠PCE=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE= 22PC= 22×6=3 2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=3 2，
故答案为3 2．
过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE=3 2，根据角平分线的性质即可证得PD=PE=3 2．
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求得∠PCE=45°是解题的关键．
11.【答案】x<1
【解析】解：把点A(m,3)，代入y=3x得，
3=3m，
∴m=1，
∴A(1,3)，
根据图象可知不等式kx+b>3x的解集：x<1．
故答案为：x<1．
先把点A(m,3)，代入y=3x得出A(1,3)，根据图可知不等式kx+b>3x的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于y=3x的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b落在直线y=3x上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】13或24或16924
【解析】解：∵∠C=90°，AB=13cm，AC=5cm，
∴BC=12cm．
①当BP=BA=13时，t=131=13；
②当AB=AP时，BP=2BC=24cm，t=241=24；
③当PB=PA时，PB=PA=tcm，CP=(12−t)cm，AC=5cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
即t2=52+(12−t)2，
解得t=16924．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=13或24或16924．
故答案为：13或24或16924．
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t的值．
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13.【答案】解：(1)原式=2a(a2−6a+9)=2a(a−3)2．
(2)xx−2=12x2−4+1，
方程两边同时乘x2−4得，
x(x+2)=12+x2−4，
x2+2x=8+x2，
x=4．
经检验，x=4是原方程的解，
所以原方程的解为x=4．
【解析】(1)先提取公因式2a，再用公式法分解即可．
(2)方程两边同时乘以x2−4，再解得x=4，经检验，x=4是方程的根，即可求解．
本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握提公因式，公式法因式分解，分式的化简、分式方程的解法，切勿遗漏分式方程的验根是解题的关键．
14.【答案】解：(xx−2−3x−2)⋅x2−4x−3，
=x−3x−2×(x+2)(x−2)x−3
=x+2．
当x=4时，原式=4+2=6．
【解析】先计算括号内法分式，然后通过约分化简，代入求值．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵ED//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
16.【答案】解：2x−13−5x+12≤1①5x−1<3(x+1)②，
解①式，得x≥−1，
解②式，得<2，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<2，
将解集表示在数轴上为：．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，四边形AECF即为所求；
(2)如图，三角形AEM即为所求．
【解析】(1)根据正方形的性质对角线垂直且互相平分且相等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
(2)结合(1)根据正方形的性质可得△ABE≌△ADM，可得AE=AM，即可在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：(1)∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC，
∵∠BAC=60°，∠B=80°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=40°，
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−40°=20°；
(2)∵DE垂直平分AC，
∴CD=DA，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=10+12=22．
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得到DA=DC，推出∠C=∠DAC，求出∠C=180°−∠B−∠BAC=40°，即可得到∠DAC=∠C=40°，因此∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−40°=20°；
(2)由由DE垂直平分AC，得到CD=DA，因此△ABD的周长=AB+BC=10+12=22．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到DA=DC．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，
(2)四边形AB1A1B的面积=12×6×4=12．
【解析】(1)利用网格特点，延长AC到A1使A1C=AC，延长BC到B1使B1C=BC，C点的对应点C1与C点重合，则△A1B1C1满足条件；
(2)四边形AB1A1B的对角线互相垂直平分，则四边形AB1A1B为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】解：(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，
依题意，得：800x+3=500x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3=8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
(2)设购买毽子m个，则购买跳绳(600−m)个，
依题意，得：600−m≥3m600−m≤460，
解得：140≤m≤150，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则w=8×0.8(600−m)+5×0.7m=−2.9m+3840，
∵−2.9<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=150时，w取得最小值，最小值=−2.9×150+3840=3405(元)，
则600−150=450，
答：当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
【解析】(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，由题意：用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买毽子m个，则购买跳绳(600−m)个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，列出一元一次不等式组，解之得m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，再由总价=单价×数量可得出w关于m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
(2)解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF= AB2−AF2= 42−22=2 3，
∵AD//BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
∠D=∠ECF ∠DAF=∠E AF=EF ，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴S▱ABCD=S△ABE=12AE⋅BF=12×4×2 3=4 3．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE，进而得证；
(2)先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=12AE⋅BF，即可得出结果．
22.【答案】解：(1)根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，得x−3>01−x<0①或x−3<01−x>0②，
解不等式组①得：x>3，
解不等式组②得：x<1，
故不等式(x−3)(1−x)<0的解集是x<1或x>3．
(2)由图象可知，kx+b>0时，x>−2；当kx+b<0时，x<−2，
当1−mx<0时，x>1，当1−mx>0时，x<1，
根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，得kx+b>01−mx<0①或kx+b<01−mx>0②，
解不等式组①得：x>1，
解不等式组②得：x<−2，
故关于x的不等式(kx+b)(1−mx)<0是x>1或x<−2．
【解析】(1)根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，进而可得x−3>01−x<0①或x−3<01−x>0②，再解两个不等式组即可．
(2)由函数的图象得出kx+b>0时，x>−2；当kx+b<0时，x<−2，当1−mx<0时，x>1，当1−mx>0时，x<1，再根据阅读材料的方法求解即可．
此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，关键是正确理解例题，找出所用方法．
23.【答案】6 8
【解析】解：(1)∵动点P的运动速度为2单位/秒，
∴BP=2t，
∴当t=3时，
BP=2×3=6，
故答案为：6．
(2)∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF，
如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=8−4=4，
∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，BC+DC+DF=8+4+4=16，
∴t=16÷2=8，
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
(3)∵BC+CD=8+4=12
∴当0
①当点P在BC上运动时，0
∵∠B=60°，
∴在Rt△ABM中，∠BAM=30°，
∴BM=12AB=3，AM= 3BM=3 3，
此时，S=S△ABP=12×BP×AM=12×2t×2 3=2 3t(0
此时，S=S△ABP=12×BC×AM=12×8×2 3=8 3(4
连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，
此时PM=PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等，
∵AD//BC，
∴∠DAP=∠APB，
又∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP，
∴∠BAP=∠APB，
∴BP=2t=BA=4，
解得：t=2，
②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE，
在平行四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠ADC=60°，
∴∠DCE=∠B=60°，
又∵CD=CE=4，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠CDE，即CD平分∠ADE，
∴当4≤t<6时，点P在∠ADC的角平分线上运动，
此时，点P到四边形ABED相邻两边AD和DE的距离相等．
综上：t=2或4≤t<6时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
(1)根据动点P的运动速度，即可表示出BP的长度，再将t=3代入即可求出BP的长度；
(2)根据两组对边分别相等可先求证四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰△ABP，从而可以求解；
(3)根据题意分两种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
(4)当0
2022-2023学年江西省吉安市青原区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 要使1x−2022有意义，则x的取值范围为( )
A. x≠0 B. x>2022 C. x≠2022 D. x≠−2022
3. 下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (a+3)(a−3)=a2−9 B. x2+4x+10=(x+2)2+6
C. x2−6x+9=(x−3)2 D. x2−4+3x=(x−2)(x+2)+3x
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC=8，则BP=( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
5. 如图，△ABC的面积为8cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A. 2cm2
B. 3cm2
C. 4cm2
D. 5cm2
6. 如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为( )
A. 5° B. 10° C. 15° D. 25°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 分解因式：m2−2m=______．
8. 若点A(m,n)和点B(3,2)关于x轴对称，则mn的值是______ ．
9. 一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是______ ．
10. 如图，∠AOP=∠BOP，PC//OA，PD⊥OA，若∠AOB=45°，PC=6，则PD的长为______．
11. 如图，直线y=kx+b(k<0)与直线y=3x相交于点A(m,3)，则不等式kx+b>3x的解集是______ ．
12. 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5cm，AB=13cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)因式分解：2a3−12a2+18a；
(2)解方程：xx−2=12x2−4+1．
14. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(xx−2−3x−2)⋅x2−4x−3，其中x=4．
15. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
16. (本小题6.0分)
解不等式组：2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)，并将解集在数轴上表示出来．
17. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
(1)在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
(2)在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
18. (本小题8.0分)
如图，已知△BAC中，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E，连接AD.(1)若∠BAC=60°，∠B=80°，求∠BAD的度数；
(2)若AB=10，BC=12，求△ABD的周长．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A(−3,1)B(0,3)C(0,1)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．
20. (本小题8.0分)
“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
21. (本小题9.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE=CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
22. (本小题9.0分)
阅读下面的材料，回答问题：如果(x−2)(6+2x)>0，求x的取值范围．
解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得x−2>06+2x>0或x−2<06+2x<0，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为x>2，第二个不等式组的解集为x<−3.故当x>2或x<−3时，(x−2)(6+2x)>0．
(1)试利用上述方法，求不等式(x−3)(1−x)<0的解集．
(2)如图，直线AB：y=kx+b与x轴交于点A(−2,−0)，直线CD：y=1−mx与x轴交于点C(1,0)，根据图象，请你直接写出关于x的不等式(kx+b)(1−mx)<0的解集．
23. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=DC=4，AD=BC=8.延长BC到E，使CE=4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．(t>0)
(1)当t=3时，BP=______；
(2)当t=______时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)当0
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】C
【解析】解：∵分式1x−2022有意义，
∴x−2022≠0，
∴x≠2022，
故选：C．
根据分式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、是多项式相乘，错误；
B、右边不是积的形式；错误；
C、x2−6x+9=(x−3)2，正确；
D、右边不是积的形式；错误；
故选：C．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4.【答案】C
【解析】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA=DC=8，
∵∠ABC=90°，点P是AD的中点，
∴BP=12AD=4，
故选：C．
先根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=8，然后利用直角三角形斜边上的中线可得BP=12AD=4，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于点D，如图所示，
∵BP平分∠ABC，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，
∴∠PAB=∠PDB，
∴BA=BD，
∵BP⊥AD，
∴AP=DP，
∴S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，
∴S△PBC=12S△ABC，
∵△ABC的面积为8cm2，
∴△PBC的面积为4cm2，
故选：C．
延长AP交BC于点D，先根据已知条件可得AB=AD，再根据等腰三角形的性质可得AP=DP，再根据三角形中线的性质可得S△APB=S△DBP，S△APC=S△DPC，进一步可得△PBC的面积．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A=180°−∠B2=80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A2=80°2=40°，
同理可得∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=80°2n−1，
以点A4为顶点的等腰三角形的底角为∠A5，
∠A5=80°24=5°，
故选：A．
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
7.【答案】m(m−2)
【解析】解：m2−2m=m(m−2)．
直接把公因式m提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
8.【答案】−6
【解析】解：∵A(m,n)与点B(3,2)关于x轴对称，
∴m=3，n=−2，
∴mn=−6．
故答案为：−6．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出m、n的值，再计算mn的值．
本题考查关于x轴对称的点坐标，解题关键是理解关于x轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
9.【答案】11
【解析】解：设这个多边形是n边形，
则这个多边形的内角和是180°(n−2)，外角和是360°，
由题意得：180°(n−2)=4.5×360°，
解得：n=11，
这个多边形的边数是11．
故答案为：11．
由题意知一个多边形的内角和是外角和的4.5倍，可设这个多边形是n边形，由多边形的内角和公式得n边形的内角和为180°(n−2)，多边形的外角和是360°，从而列出一元一次方程180°(n−2)=4.5×360°，解出n即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．
10.【答案】3 2
【解析】解：过P作PE⊥OB，
∵∠AOP=∠BOP，∠AOB=45°，
∴∠AOP=∠BOP=22.5°，
∵PC//OA，
∴∠OPC=∠AOP=22.5°，
∴∠PCE=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PE= 22PC= 22×6=3 2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=3 2，
故答案为3 2．
过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE=3 2，根据角平分线的性质即可证得PD=PE=3 2．
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求得∠PCE=45°是解题的关键．
11.【答案】x<1
【解析】解：把点A(m,3)，代入y=3x得，
3=3m，
∴m=1，
∴A(1,3)，
根据图象可知不等式kx+b>3x的解集：x<1．
故答案为：x<1．
先把点A(m,3)，代入y=3x得出A(1,3)，根据图可知不等式kx+b>3x的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于y=3x的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b落在直线y=3x上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12.【答案】13或24或16924
【解析】解：∵∠C=90°，AB=13cm，AC=5cm，
∴BC=12cm．
①当BP=BA=13时，t=131=13；
②当AB=AP时，BP=2BC=24cm，t=241=24；
③当PB=PA时，PB=PA=tcm，CP=(12−t)cm，AC=5cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
即t2=52+(12−t)2，
解得t=16924．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=13或24或16924．
故答案为：13或24或16924．
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t的值．
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13.【答案】解：(1)原式=2a(a2−6a+9)=2a(a−3)2．
(2)xx−2=12x2−4+1，
方程两边同时乘x2−4得，
x(x+2)=12+x2−4，
x2+2x=8+x2，
x=4．
经检验，x=4是原方程的解，
所以原方程的解为x=4．
【解析】(1)先提取公因式2a，再用公式法分解即可．
(2)方程两边同时乘以x2−4，再解得x=4，经检验，x=4是方程的根，即可求解．
本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握提公因式，公式法因式分解，分式的化简、分式方程的解法，切勿遗漏分式方程的验根是解题的关键．
14.【答案】解：(xx−2−3x−2)⋅x2−4x−3，
=x−3x−2×(x+2)(x−2)x−3
=x+2．
当x=4时，原式=4+2=6．
【解析】先计算括号内法分式，然后通过约分化简，代入求值．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵ED//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
16.【答案】解：2x−13−5x+12≤1①5x−1<3(x+1)②，
解①式，得x≥−1，
解②式，得<2，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<2，
将解集表示在数轴上为：．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，四边形AECF即为所求；
(2)如图，三角形AEM即为所求．
【解析】(1)根据正方形的性质对角线垂直且互相平分且相等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
(2)结合(1)根据正方形的性质可得△ABE≌△ADM，可得AE=AM，即可在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：(1)∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC，
∵∠BAC=60°，∠B=80°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=40°，
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−40°=20°；
(2)∵DE垂直平分AC，
∴CD=DA，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=10+12=22．
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得到DA=DC，推出∠C=∠DAC，求出∠C=180°−∠B−∠BAC=40°，即可得到∠DAC=∠C=40°，因此∠BAD=∠BAC−∠DAC=60°−40°=20°；
(2)由由DE垂直平分AC，得到CD=DA，因此△ABD的周长=AB+BC=10+12=22．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到DA=DC．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，
(2)四边形AB1A1B的面积=12×6×4=12．
【解析】(1)利用网格特点，延长AC到A1使A1C=AC，延长BC到B1使B1C=BC，C点的对应点C1与C点重合，则△A1B1C1满足条件；
(2)四边形AB1A1B的对角线互相垂直平分，则四边形AB1A1B为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】解：(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，
依题意，得：800x+3=500x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3=8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
(2)设购买毽子m个，则购买跳绳(600−m)个，
依题意，得：600−m≥3m600−m≤460，
解得：140≤m≤150，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则w=8×0.8(600−m)+5×0.7m=−2.9m+3840，
∵−2.9<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=150时，w取得最小值，最小值=−2.9×150+3840=3405(元)，
则600−150=450，
答：当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
【解析】(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，由题意：用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买毽子m个，则购买跳绳(600−m)个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，列出一元一次不等式组，解之得m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，再由总价=单价×数量可得出w关于m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
(2)解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF= AB2−AF2= 42−22=2 3，
∵AD//BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
∠D=∠ECF ∠DAF=∠E AF=EF ，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴S▱ABCD=S△ABE=12AE⋅BF=12×4×2 3=4 3．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE，进而得证；
(2)先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=12AE⋅BF，即可得出结果．
22.【答案】解：(1)根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，得x−3>01−x<0①或x−3<01−x>0②，
解不等式组①得：x>3，
解不等式组②得：x<1，
故不等式(x−3)(1−x)<0的解集是x<1或x>3．
(2)由图象可知，kx+b>0时，x>−2；当kx+b<0时，x<−2，
当1−mx<0时，x>1，当1−mx>0时，x<1，
根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，得kx+b>01−mx<0①或kx+b<01−mx>0②，
解不等式组①得：x>1，
解不等式组②得：x<−2，
故关于x的不等式(kx+b)(1−mx)<0是x>1或x<−2．
【解析】(1)根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，进而可得x−3>01−x<0①或x−3<01−x>0②，再解两个不等式组即可．
(2)由函数的图象得出kx+b>0时，x>−2；当kx+b<0时，x<−2，当1−mx<0时，x>1，当1−mx>0时，x<1，再根据阅读材料的方法求解即可．
此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，关键是正确理解例题，找出所用方法．
23.【答案】6 8
【解析】解：(1)∵动点P的运动速度为2单位/秒，
∴BP=2t，
∴当t=3时，
BP=2×3=6，
故答案为：6．
(2)∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF，
如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=8−4=4，
∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，BC+DC+DF=8+4+4=16，
∴t=16÷2=8，
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
(3)∵BC+CD=8+4=12
∴当0
①当点P在BC上运动时，0
∵∠B=60°，
∴在Rt△ABM中，∠BAM=30°，
∴BM=12AB=3，AM= 3BM=3 3，
此时，S=S△ABP=12×BP×AM=12×2t×2 3=2 3t(0
此时，S=S△ABP=12×BC×AM=12×8×2 3=8 3(4
连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，
此时PM=PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等，
∵AD//BC，
∴∠DAP=∠APB，
又∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP，
∴∠BAP=∠APB，
∴BP=2t=BA=4，
解得：t=2，
②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE，
在平行四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠ADC=60°，
∴∠DCE=∠B=60°，
又∵CD=CE=4，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠CDE，即CD平分∠ADE，
∴当4≤t<6时，点P在∠ADC的角平分线上运动，
此时，点P到四边形ABED相邻两边AD和DE的距离相等．
综上：t=2或4≤t<6时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
(1)根据动点P的运动速度，即可表示出BP的长度，再将t=3代入即可求出BP的长度；
(2)根据两组对边分别相等可先求证四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰△ABP，从而可以求解；
(3)根据题意分两种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
(4)当0
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