2023年黑龙江省绥化市肇东八中中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省绥化市肇东八中中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，田凹应弃之”判断也可．等内容，欢迎下载使用。

1. 一个数的绝对值是5，这个数是( )
A. 5B. −5C. 5和−5D. 0
2. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算中，正确的是( )
A. x3⋅y3=(xy)6B. (−2x2)⋅(−3x3)=6x6
C. x2+x2=2x2D. (a−1)2=a2−12
4. 下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 若式子 x+331−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. −3≤x<1B. x≥−3且x≠1C. x<1且x≠−3D. x≠1且x≠−3
6. 下列命题是假命题的为( )
A. 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
7. 在同一平面直角坐标系中，直线y=4x+1与直线 y=−x+b的交点不可能在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 若关于x≥−3的分式方程xx−2=2−m2−x的解为正数，则满足条件的正整数m的值可以为( )
A. 1，2，3B. 1，2C. 1，3D. 2，3
9. 某射击运动员在一次训练中射击了10次，成绩如图所示.下列结论正确的是( )
A. 众数是8B. 平均数是6C. 极差是5D. 中位数是7
10. 设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度为( )
A. 20米/秒B. 25米/秒C. 30米/秒D. 35米/秒
11. 如图△ABC中，AC=BC=5，AB=6，CD=4，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为( )
A. 4.8B. 2.4C. 6D. 5
12. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−2，抛物线与x轴的一个交点在点(−4,0)和点(−3,0)之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a−b=0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④若(−5,y1)，(2,y2)是抛物线上的两点，则y14ac.正确的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
13. 小芳抛一枚硬币8次，有5次正面朝上，当她抛第9次时，正面朝上的概率为______ ．
14. 设x1，x2是一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为______ ．
15. 分解因式x2(a−b)+4y2(b−a)= ______ ．
16. 若关于x的不等式组x−2<3x−6x17. 反比例函数y=kx(x>0)的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C.若△OBC的面积为9，则k= ______ ．
18. 如图，正五边形ABCDE的边长为3，顶点A，B在半径为3的⊙O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，点C转过的度数为______ ．
19. 我们规定：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a⋅b=x1x2+y1y2.例如a=(1,3)，b=(2,4)，则a⋅b=1×2+3×4=2+12=14.已知a=(x+1,x−1)，b=(x−3,4)，且−2≤x≤3，则a⋅b的最大值是______ ．
20. 如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是______．
21. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是______ ．
22. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(0,1)，(0,2)，(1,2)，(1,3)，(0,3)，(−1,3)…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. (本小题8.0分)
(1)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等；
(2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，求等腰三角形△PBD顶角的度数．
24. (本小题8.0分)
某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用适量数据，并绘制了如下不完整统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解决下列问题：

(1)此次调查抽取了多少用户的用水量数据？
(2)补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
25. (本小题8.0分)
如图，直线y=kx+2与双曲线y=1.5x相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．
(1)求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标；
(2)以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC.求经过点C的双曲线的解析式．
26. (本小题8.0分)
如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
(1)求证：∠DAE=∠DAC；
(2)求证：DF⋅AC=AD⋅DC；
(3)若sinC=14，AD=4 10，求EF的长．
27. (本小题8.0分)
问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE=AF，∠AED=60°，AE=5，BF=2，求DE的长．
28. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.抛物线的对称轴为直线x=−1，点C坐标为(0,4)．

(1)求抛物线表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使∠ABP=∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为一个数的绝对值是5，
所以这个数是5和−5，
故选：C．
根据绝对值的意义求解即可．
本题主要考查了绝对值的意义，熟知：一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值等于它的相反数．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】C
【解析】解：∵x3⋅y3=(xy)3，故选项A错误，
∵(−2x2)⋅(−3x3)=6x5，故选项B错误，
∵x2+x2=2x2，故选项C正确，
∵(a−1)2=a2−2a+1，故选项D错误，
故选：C．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况，)判断也可．
根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：第一个图形：折叠后可以组成正方体；
第二个图形：折叠后可以组成正方体；
第三个图形：田字形的平面图，不能折成正方体．
第四个图形：凹字形的平面图，不能折成正方体．
综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是2个．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得x+3≥01−x≠0，
解得x≥−3且x≠1．
故选：B．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，是真命题；
B、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，是真命题；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
故选：B．
根据直角三角形、平行四边形的判定、三角形中位线和矩形的判定判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了两直线相交或平行问题，−次函数的性质等知识点，能熟记−次函数的性质是解此题的关键．
根据一次函数的性质得出函数y=4x+1的图象经过第一、二、三象限(不经过第四象限)，函数y=−x+b中y随x的增大而减小，再得出答案即可．
【解答】
解：∵函数y=4x+1中k=4>0，b=1>0，
∴函数y=4x+1的图象经过第一、二、三象限(不经过第四象限)，
∵y=−x+b中k=−1<0，
∴函数y=−x+b中y随x的增大而减小，
∴直线y=4x+1与直线y=−x+b的交点不可能在第四象限，
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：等式的两边都乘以(x−2)，得：
x=2(x−2)+m，
解得x=4−m，
∴4−m≥−3，
解得m≤7，
∵x=4−m≠2，
∴m≠2，
由关于x的分式方程xx−2=2−m2−x的解为正数，得
m=1或3或4或5或6或7，
只有C符合题意，
故选：C．
根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根．
9.【答案】A
【解析】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项符合题意；
平均数为110×(6+7×2+8×3+9×2+10×2)=8.2，故B选项不符合题意；
极差为10−6=4，故C选项不符合题意；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是：12×(8+8)=8，故D选项不符合题意．
故选：A．
根据众数、中位数、平均数以及极差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
本题主要考查了折线统计图、众数、中位数、平均数以及极差，正确把握相关定义是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：设甲车的速度为a米/秒，乙车速度为b米/秒，由图象可得：
100(b−a)=500①(220−200)(a+b)=900②，
由②×5+①得：200b=5000，
解得：b=25，
将b=25代入①得：100(25−a)=500，
解得：a=20，
即甲的速度为20米/秒．
故选：A．
设甲车的速度为a米/秒，乙车速度为b米/秒，根据图象，可得第一段是追及问题，第二段是背向行驶问题，列出方程组，解之即可．
本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，列出方程组是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，
∵CD为△ABC的中线，AB=6，CD=4，
∴AD=BD=12AB=12×6=3，
∵AC=BC=5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE=BE，AI=BI，
∴AE+EF=BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF=AI+IF=BI+IF=BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF=BF=BG，此时AE+EF的值最小，
∵12AC⋅BG=12AB⋅CD=S△ABC，
∴12×5BG=12×6×4，
∴BG=4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：A．
连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则点A与点B关于直线CD对称，所以AE=BE，AI=BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以证明当点E与点I重合，且BF与BG重合时，AE+EF=BF=BG，此时AE+EF的值最小，由12×5BG=12×6×4=S△ABC，求得BG=4.8，则AE+EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−2，
∴4a−b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在(−3,0)和(−4,0)之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在(−1,0)和(0,0)之间，
∴x=−1时，y>0，且b=4a，
即a−b+c=a−4a+c=−3a+c>0，
∴c>3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(−2,3)，
∴抛物线与直线y=2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵(−5,y1)到直线x=−2的距离小于点(2,y2)到直线x=−2的距离，
∴yı>y2；所以④错误；
∵抛物线的顶点坐标为(−2,3)，
∴4ac−b24a=3，
∴b2+12a=4ac，
∵4a−b=0，
∴b=4a，
∴b2+3b=4ac，
∵a<0，
∴b=4a<0，
∴b2+2b>4ac，所以⑤正确；
故选：C．
根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x=−1时y>0可判断②，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(−2,3)，即可判断③；利用两点到对称轴的距离即可判断④；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到4ac−b24a=3，即可判断⑤．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
13.【答案】0.5
【解析】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为12．
故答案为：0.5．
硬币只有正反两个面，然后根据概率的意义解答．
本题考查的知识点是概率的意义，解题关键是理解概率的定义并明确硬币只有正反两个面．
14.【答案】54
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，
∴x1+x2=5，x1⋅x2=4，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=54．
故答案为：54．
先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】(a−b)(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x2(a−b)+4y2(b−a)
=x2(a−b)−4y2(a−b)
=(a−b)(x2−4y2)
=(a−b)(x+2y)(x−2y)，
故答案为：(a−b)(x+2y)(x−2y)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
16.【答案】m>2
【解析】解：由x−2<3x−6，得：x>2，
由x2，
故答案为：m>2．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，并结合不等式组有解可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：设B点坐标为(a,b)，
∵点D为OB的中点，
∴D点坐标为(a2,b2)，
而点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=12a⋅12b=14ab，
∴ab=4k，
∵∠BAO=90°，
而点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴S△AOC=12k，
∵△OBC的面积为9，
∴12ab−12k=9，
∴2k−12k=9，
∴k=6．
故答案为6．
设B点坐标为(a,b)，利用线段中点坐标公式得到D点坐标为(a2,b2)，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k=14ab，则ab=4k，接着根据反比例函数k的几何意义得到S△AOC=12k，利用面积的差得到12ab−12k=9，所以2k−12k=9，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
18.【答案】12°
【解析】解：如图设圆心为O，连接OA、OB，点E落在圆上的点E′处．

∵AB=OA=OB，
∴∠OAB=60°，
同理∠OAE′=60°，
∵∠EAB=108°，
∴∠EAO=∠EAB−∠OAB=48°，
∴∠EAE′=∠OAE′−∠EAO=60°−48°=12°，
∵点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，
∴点C旋转的角度为12°，
故答案为：12°．
因为点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，所以求出点E旋转的角度即可．
本题考查正多边形与圆，旋转的性质，理解点E旋转的角度和点C旋转的角度相等是解决问题的关键，所以中考常考题型．
19.【答案】8
【解析】解：根据题意知：a⋅b=(x+1)(x−3)+4(x−1)=(x+1)2−8．
因为−2≤x≤3，
所以当x=3时，a⋅b=(3+1)2−8=8．
即a⋅b的最大值是8．
故答案是：8．
根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．
20.【答案】2 3
【解析】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是： 3，则△BCE的边EC上的高是：3 32，
△ACE边EC上的高是：5 32，
则S△ABC=S△AEC−S△BEC=12×4×(5 32−3 32)=2 3．
故答案是：2 3．
延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC−S△BEC即可求解．
本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC−S△BEC是关键．
21.【答案】5 2或4 5或5
【解析】解：如图所示：
①当AP=AE=5时，
∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE= 2AE=5 2；
②当P1E=AE=5时，
∵BE=AB−AE=8−5=3，∠B=90°，
∴P1B= 52−32=4，
∴底边AP1= 82+42=4 5；
③当P2A=P2E时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5 2或4 5或5；
故答案为：5 2或4 5或5．
分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE= 2AE=5 2即可；②当 1PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；③当P2A=P2E时，底边AE=5；即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
22.【答案】(−5,13)
【解析】
【分析】
本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．
观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【解答】
解：(0,1)，共1个，
(0,2)，(1,2)，共2个，
(1,3)，(0,3)，(−1,3)，共3个，
…，
依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，
1+2+3+…+n=n(n+1)2，
当n=13时，13×(13+1)2=91，
所以，第90个点的纵坐标为13，
(13−1)÷2=6，
∴第91个点的坐标为(−6,13)，
第90个点的坐标为(−5,13)．
故答案为(−5,13)．
23.【答案】解：(1)点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图点P即为所求；
(2)∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠PBD=12∠ABC=30°，
∵MN垂直平分线段BD，
∴PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBD=∠PDB=30°
∴∠BPD=180°−30°−30°=120°．
【解析】(1)作∠ABC的平分线BK，线段BD的垂直平分线MN，射线BK与直线MN的交点P即为所求；
(2)求出∠PBD，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；
本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵10÷10%=100(户)，
∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据；
(2)∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100−10−36−25−9=100−80=20(户)，
∴据此补全频数分布直方图如图：
扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为25100×360°=90°；
(3)∵10+20+36100×20=13.2(万户)．
∴该地20万用户中约有13.2万户居民的用水全部享受基本价格．
【解析】(1)根据频数、频率和总量的关系，由用水“0吨～10吨”部分的用户数和所占百分比即可求得此次调查抽取的用户数．
(2)求出用水“15吨～20吨”部分的户数，即可补全频数分布直方图．由用水“20吨～300吨”部分的户所占百分比乘以360°即可求得扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．
(3)根据用样本估计总体的思想即可求得该地20万用户中用水全部享受基本价格的用户数．
本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，频数、频率和总量的关系，求扇形圆心角，用样本估计总体．
25.【答案】解：(1)∵点A在双曲线y=1.5x上，且点A的横坐标为1，
∴点A的纵坐标为1.51=32，
∴点A(1,32)，
∵点A(1,32)在直线y=kx+2上，
∴k+2=32，
∴k=−12，
∴直线AB的解析式为y=−12x+2，
联立直线AB和双曲线的解析式得，y=1.5xy=−12x+2，
解得，x=1y=32(点A的纵横坐标)或x=3y=12，
∴B(3,12)；
(2)如图，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，
∴∠D=∠F=∠CEF=∠CEB=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC，
∴AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(AAS)，
∴AD=BE，CD=CE，
设点C(m,n)，
∵A(1,32)，B(3,12)，
∴AD=n−32，CD=m−1，BE=3−m，CE=n−12，
∴n−32=3−mm−1=n−12，
∴m=52n=2，
∴C(52,2)，
设过点C的双曲线的解析式为y=k′x，
∴k′=2×52=5，
∴过点C的双曲线的解析式为y=5x．
【解析】(1)将点A的横坐标代入双曲线的解析式中，求出点A的纵坐标，在将点A的坐标代入直线AB的解析式中，求出k，最后联立直线AB的解析式和双曲线的解析式，得出方程组求解，即可得出点B的坐标；
(2)过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，得出∠DCE=90°，进而判断出∠ACD=∠BCE，即可利用AAS判断出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，CD=CE，设点C(m,n)，求出AD=n−32，CD=m−1，BE=3−m，CE=n−12，进而建立方程组求解得出点C的坐标，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形求出点C的坐标是解本题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图，连接OD．

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE/​/OD，
∴∠EAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAE=∠DAC．
(2)证明：如图，连接BF．

∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB=∠E=90°，
∴BF//EC，
∴∠ABF=∠C，
∵∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠C，
∵∠DAF=∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴ADCA=DFCD，
∴DF⋅AC=AD⋅DC．
(3)解：过点D作DH⊥AC于H．

∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∵sin∠C=ODOC=14，
∴可以假设OD=k，OC=4k，则OA=OD=k，CD= 15k，
∵12⋅OD⋅DC=12⋅OC⋅DH，
∴DH= 154k，
∴OH= OD2−DH2=14k，
∴AH=OA+OH=54k，
∵AD2=AH2+DH2，
∴(4 10)2=(54k)2+( 154k)2
∴k=8或−8(舍弃)，
∴AC=5k=40，AB=2k=16，
∴sinC=AEAC=14=sin∠ABF=AFAB，
∴AE=10，AF=4，
∴EF=AE−AF=10−4=6．
【解析】(1)连接OD，证明AE/​/OD，推出∠EAD=∠ADO，再证明∠ADO=∠OAD即可解决问题．
(2)如图，连接BF.证明△DAF∽△CAD，可得结论．
(3)过点D作DH⊥AC于H.由sin∠C=ODOC=14，假设OD=k，OC=4k，则OA=OD=k，CD= 15k，在Rt△ADH中，利用勾股定理求出k，再利用(2)中结论求出DF，再根据sin∠EDF=sin∠DAH，推出EFDF=DHAD，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
27.【答案】(1)证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB=∠AGD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
∠DAE=∠ABF=90°∠ADE=∠BAFDE=AF，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AD=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)解：结论：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABH=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB=∠AGD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵DE=AF，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AE=BF，
∵DE=AF，
∴BH=AE，
∴BH=BF，
∵∠ABH=90°，
∴AH=AF，
∴△AHF是等腰三角形；
类比迁移：解：延长CB到点H，使BH=AE=5，连接AH，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD/​/BC，AB=AD，
∴∠ABH=∠BAD，
∵BH=AE，
∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，
∵DE=AF，
∴AH=AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=5+2=7，
∴DE=AH=7．
【解析】(1)根据矩形的性质得∠DAB=∠B=90°，由等角的余角相等可得∠ADE=∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF(AAS)，由全等三角形的性质得AD=AB，即可得四边形ABCD是正方形；
(2)利用AAS可得△ADE≌△BAF(AAS)，由全等三角形的性质得AE=BF，由已知BH=AE可得BH=BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH=AF，△AHF是等腰三角形；
类比迁移：延长CB到点H，使BH=AE=5，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH(SAS)，由全等三角形的性质得AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，由已知DE=AF可得AH=AF，可得△AHF是等边三角形，则AH=HF=HB+BF=AE+BF=5+2=7，等量代换可得DE=AH=5．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴为x=−1，
∴−b2×(−12)=−1，
∴b=−1，
将(0,4)代入y=−12x2+bx+c中，
∴y=−12x2−x+4．
答：抛物线的表达式为y=−12x2−x+4．
(2)存在．
如图，作PE⊥x轴于点E，

∵∠ABP=∠BCO，∠PEB=∠BOC=90°，
∴△PEB∽△BOC，
∴PEBE=OBOC=12，
∴P(m−12m2−m+4)，
∴PE=|−12m2−m+4|，BE=2−m，
①当点P在x轴上方时，−12m2−m+42−m=12，
解得m1=−3，m2=2(不符题意舍去)，
②当点P在x轴下方时，12m2+m−42−m=12，
解得m1=−5，m2=2(不符题意舍去)，
∴P(−3,52)或P(−5,−72)．
(3)作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N，

∴y=−12x2−x+4=−12(x+4)(x−2)，
∴A(−4,0)，B(2,0)，
设yBP=kx+b1，
将B(2,0)，P(−3,52)代入，
得2k+b=0−3k+b=52，
解得k=−12，b1=1，
∴yBp=−12x+1，
设M(a,−12a2−a+4)，则R(a,−12a+1)，
∴MR=(−12a2−a+4)−(−12a+1)=−12a2−12a+3，
∵∠MNR=∠RFB=90°，∠NRM=∠FRB，
∴△MNR∽△BFR，
∴NRMN=RFFB，
∴tan∠ABP=12=RFFB=NRMN，
在Rt△MNR中，NR：MN：MR=1：2： 5，
∴MNMR=2 5=2 55，
∴MN=− 55a2− 55a+6 55=− 55(a+12)2+5 54，
∴当a=−12时，MN最大为5 54．
【解析】(1)利用抛物线的对称轴为x=−1，求出b的值，再把b的值和C的坐标代入y=−12x2+bx+c，求解即可；
(2)作PE⊥x轴于点E，利用相似三角形的判定方法可证得△PEB∽△BOC，设P(m,−12m2−m+4)，则PE=|−12m2−m+4|，BE=2−m，再分别讨论P的位置，列式求解即可；
(3)作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N，用待定系数法求出直线BP的解析式，利用解析式表示出MR的长度，再通过求证△MNR∽△BFR，结合Rt△MNR建立比值关系，列式计算即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，三角函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质及相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．