2023年江苏省泰州市姜堰区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省泰州市姜堰区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若二次根式 x+2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥−2B. x>−2C. x≥2D. x>2
2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成( )
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C. 五棱锥
D. 五棱柱
3. “水中捞月”这个事件发生的概率是( )
A. 0B. 11000C. 12D. 1
4. 如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB//CD，∠AOB=40°，连接AC，则∠BAC等于( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
5. 一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的3倍，则这个多边形的边数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6. 将一次函数y=2x−3的图象进行如下几何变换：
①向左平移1个单位长度；②向上平移2个单位长度；③沿直线x=4翻折；④沿直线y=4翻折．
其中变换后的函数图象经过点(3,5)的是( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 某微生物细胞直径约为0.00018cm，其中0.00018用科学记数法可表示为______ ．
8. 30°角的正弦值等于______ ．
9. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
10. 若关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0没有实数根，则m的取值范围为______ ．
11. 小涵想了解某市约500万人中观看“2023年中国泰州姜堰漆渔会船节”网络直播的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了直播，那么该市约有______ 万人观看了直播．
12. 如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B(1,1)，D(3,3)，若S△AOB=2，则S△CDB= ______ ．
13. “端午食粽”是节日习俗之一.甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等.若设甲每小时包x个粽子，则可列方程为______ ．
14. 如图，已知AB=1，BC= 3,∠B=90°，BC与AC相切于点C，则AC的长= ______ ．
15. 关于x的一次函数y=mx−3m+2的图象过点(4,a)，(5,b)，(6,c)，若abc<0，则m的取值范围是______ ．
16. 四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=60°，DA=DC，BC=2，BD= 10，则AB= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)化简：(1−1x+2)÷x2−1x+2；
(2)右边是小茜同学解二元一次方程组的过程．
①第一步的变形依据是______ ；(填“等式的性质”或“等量代换)
②小茜的解答过程从第______ 步开始出错，请直接写出该方程组正确的解．
18. (本小题8.0分)
某兴趣小组为了解“五四汇演”中20名学生的综合素质，现将参演学生的“艺术素养”、“临场表现”最终得分绘制成如下统计图.并将学生“艺术素养”分、“临场表现”分按3：2计算综合素质平均分，再按综合素质平均分排序，评出一等奖、二等奖各十人．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查方式是______ (填“普查”或“抽样调查”)；
(2)20名学生“临场表现”分的众数是______ 分；
(3)评定一、二等奖时，若将“艺术素养”分或“临场表现”分高于47分的学生直接定为一等奖，根据此规则，则原来获一等奖的学生中有______ 人会被评为二等奖；
(4)小明认为：如果将学生“艺术素养”分和“临场表现”分按1：1计算综合素质平均分，那么评出的一、二等奖获得者不变.你同意他的观点吗？请结合图中数据说明理由．
19. (本小题8.0分)
在某次无偿献血活动中，有4位自愿献血者，1人为A型，1人为B型，2人为AB型．
(1)若在这4人中随机挑选1人，则下列事件中，概率为12的是______ ；(填序号)
①选中A型；②选中B型；③选中AB型；④选中O型．
(2)若在这4人中随机挑选2人，用“画树状图”或“列表”的方法，求2人的血型均为AB型的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，点A(1,m)、B(n,1)在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，点C坐标为(2,0)，连接AC．
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)①点M在直线AB上运动，当CM的长最小时，求点M的坐标；
②tan∠CAB= ______ ．
21. (本小题10.0分)
证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点．
求证：DE//BC，DE=12BC．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；
方法2：过点C作CF//AB交DE的延长线于F；
方法3：过E作EF//AB交BC于F，过A作AG//BC交FE的延长线于点G．
应用：
如图2，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线BP.(要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹)
22. (本小题10.0分)
如图，用总长48m的篱笆依墙(墙足够长)围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．
(1)BCAH的值为______ ；AEEB的值为______ ；
(2)当矩形ABCD的面积为108m2时，求BC的长．
23. (本小题10.0分)
如图，为测量坡度为1：2.4的斜坡上的树AB的高，小明在D处测得树顶A的仰角为36.9°，小明沿斜坡BD从D处走6.5米到C处，在C处测得树顶A的仰角为68.2°．
(1)求小明沿垂直方向下降的高度(DE的长)；
(2)求树AB的高度.(精确到0.1米，参考数据：tan36.9°≈0.75，tan68.2°≈2.5)
24. (本小题10.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D、E分别在直径AB、弦AC上，点F在线段DE的延长线上，连接CF．
(1)请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
①DE⊥AB；②CF=EF；③CF是⊙O的切线；
你选择的补充条件是______ ，结论是______ ；(填写序号)
(2)在(1)的条件下，若DE=10，EF=13，tanB=125，求⊙O的半径．
25. (本小题12.0分)
如图1，将Rt△ABC(∠A=90°)纸片按照下列图示方式折叠：①将△ABD沿BD折叠，使得点A落在BC边上的点M处，折痕为BD；②将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF；③将△DEF沿DF折叠，点E落在点E′处，展开后如图2，BD、PF、DF、DP为图1折叠过程中产生的折痕．
(1)求证：DP//BC；
(2)若DE′落在DM的右侧，求∠C的范围；
(3)是否存在∠C使得DE与∠MDC的角平分线重合，如存在，请求∠C的大小；若不存在，请说明理由．
26. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，对于函数y1=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠c，定义：函数y2=cx2+bx+a是y1=ax2+bx+c的衍生函数，点M(a,c)是函数y1=ax2+bx+c的衍生点，设函数y1=ax2+bx+c与其衍生函数的图象交于A、B两点(点A在点B的左侧)．
(1)若函数y1=ax2+bx+c的图象过点C(−1,3)、D(1,−5)，其衍生点M(1,c)，求函数y1=ax2+bx+c的解析式；
(2)①若函数y1=ax2+bx+c的衍生函数为y2=2x−1，求A、B两点的坐标；
②函数y1=ax2+bx+c的图象如图所示，请在图中标出点A、B两点的位置；
(3)是否存在常数b，使得无论a为何值，函数y1=ax2+bx+c的衍生点M始终在直线AB上，若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥−2，
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，
则该几何体为五棱锥，
故选：C．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：“水中捞月”是不可能事件，所以这个事件发生的概率是0．
故选：A．
首先判断“水中捞月”是不可能事件，进而得出这个事件发生的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】B
【解析】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB=70°，
∵弦AB//CD，
∴∠AOD=∠OAB=70°，
∴∠C=12∠AOD=35°，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠C=35°．
故选：B．
由等腰三角形的性质得到∠OAB=70°，由平行线的性质得到∠AOD=∠OAB=70°，由圆周角定理得到∠C=12∠AOD=35°，于是得到∠BAC=∠C=35°．
本题考查平行线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理得到∠C=12∠AOD，由平行线的性质，等腰三角形的性质求出∠AOD即可．
5.【答案】C
【解析】解：这个内角相邻的外角为x，则这个内角为3x，由题意得，
x+3x=180°，
解得x=45°，
由正多边形的外角和是360°，
所以这个正多边形的边数为360°÷45°=8(条)，
故选：C．
根据“多边形的内角与其相邻外角互补”可求出这个外角的度数，再根据正多边形的外角和是360°即可求出答案．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的内角与其相邻的外角互补以及外角和是360°是正确解答的前提．
6.【答案】D
【解析】解：①将一次函数y=2x−3的图象向左平移1个单位长度，得到一次函数为y=2(x+1)−3=2x−1，
∵x=3时，y=2×3−1=5，
∴将一次函数y=2x−3的图象向左平移1个单位长度后经过点(3,5)；
②将一次函数y=2x−3的图象向上平移2个单位长度，得到一次函数为y=2x−3+2=2x−1，
∵x=3时，y=2×3−1=5，
∴将一次函数y=2x−3的图象向上平移2个单位长度后经过点(3,5)；
③∵x=4时，函数y=2x−3=5，
∴一次函数y=2x−3的图象沿直线x=4翻折后经过点(4,5)和(8,−3)，
∴5=4k+b−3=8k+b，解得k=−2b=13，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线x=4翻折，得到一次函数为y=−2x+13，
∵x=3时，y=−2×3+13=7≠5，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线x=4翻折后不经过点(3,5)；
④∵y=4时，则4=2x−3，解得x=72，
∴一次函数y=2x−3的图象沿直线y=4翻折后经过点(72,4)和(0,11)，
∴72k+b=4b=11，解得k=−2b=11，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线y=4翻折，得到一次函数为y=−2x+11，
∵x=3时，y=−2×3+11=5，
∴将一次函数y=2x−3的图象沿直线y=4翻折后经过点(3,5)；
综上，将一次函数y=2x−3的图象进行几何变换后的函数图象经过点(3,5)的是①②④，
故选：D．
求得几何变换后的直线解析式，把点(3,5)代入即可判断．
本题考查了一次函数图象的几何变换，熟练掌握平移的规律，轴对称的性质是解题的关键．
7.【答案】1.8×10−4
【解析】解：0.00018=1.8×10−4．
故答案为：1.8×10−4．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】12
【解析】解：Sin30°=对斜=12．
故答案为：12．
利用30°角所对的直角边是斜边的一半可得结果．
本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
故答案为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
10.【答案】m>4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−3=0没有实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(m−3)=16−4m<0，
解得：m>4．
故答案为：m>4．
由方程的系数结合根的判别式Δ<0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ<0时，方程没有实数根”是解题的关键．
11.【答案】300
【解析】解：根据题意可知，500×(6001000×100%)=300(万人)．
即该市约有300万人观看了直播．
故答案为：300．
首先计算出调查的人中观看了“2023年中国泰州姜堰漆渔会船节”网络直播的人数所占的百分比，可推算出该市观看了“2023年中国泰州姜堰漆渔会船节”网络直播的人数所占百分比，再用全市人数×百分比即可．
此题主要考查了用样本估计总体，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
12.【答案】8
【解析】解：∵△AOB与△CDB关于点B位似，
∴△AOB∽△CDB，
∵B(1,1)，D(3,3)，
∴OB= 12+12= 2，BD= (3−1)2+(3−1)2=2 2，
∴△AOB与△CDB的相似比为1：2，
∴△AOB与△CDB的面积比为1：4，
∵S△AOB=2，
∴S△CDB=8，
故答案为：8．
根据位似变换的概念得到△AOB∽△CDB，根据两点间的距离公式分别求出OB、BD，进而求出△AOB与△CDB的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13.【答案】40x=3035−x
【解析】解：设甲每小时包x个粽子，乙每小时包(35−x)个粽子，
根据题意可得：40x=3035−x，
故答案为：40x=3035−x．
设甲每小时包x个粽子，乙每小时包(35−x)个粽子，进而利用等式列出方程解答即可．
此题考查分式方程的应用，关键是根据题意得出方程解答．
14.【答案】23π
【解析】解：如图，设AC所在的圆心为O，连接OA、OC、AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= 3，
∴AC= AB2+BC2=2，
∵AB=12AC，
∴∠ACB=30°，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB=90°，
∴∠OCA=90°−30°=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形，
∴∠AOC=60°，OA=OC=AC=2，
∴AC的长为60π×2180=23π，
故答案为：23π.
根据直角三角形的边角关系可求出AC，∠ACB，再根据切线的性质可求出∠OCA=60°，进而得到△AOC是正三角形，得出扇形的圆心角度数和半径由弧长公式进行计算即可．
本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系，等腰三角形的判定和性质以及弧长的计算，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系，等腰三角形的判定和性质以及弧长的计算公式是正确解答的前提．
15.【答案】m<−2或−1【解析】解：∵y=mx−3m+2=m(x−3)+2，
∴一次函数y=mx−3m+2的图象过定点(3,2)，
∵一次函数y=mx−3m+2的图象过点(4,a)，(5,b)，(6,c)，且abc<0，
∴m的值不大于0，
∴a<0或b>0c<0，
∴m+2<0或2m+2>03m+2<0，
∴m<−2或−1故答案为：m<−2或−1由y=mx−3m+2=m(x−3)+2，即可求得一次函数y=mx−3m+2的图象过定点(3,2)，结合一次函数y=mx−3m+2的图象过点(4,a)，(5,b)，(6,c)，且abc<0，即可得出m的值不大于0，当a<0或b>0c<0满足题意，得到m+2<0或2m+2>03m+2<0，解得m<−2或−1本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
16.【答案】3− 3
【解析】解：如图，作等边三角形ABE，连接CE，

∵∠ADC=60°，AD=DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∵△ABE为等边三角形，
∴AE=AB，∠BAE=60°，
∴∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD(SAS)，
∴EC=BD= 10，
过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，
∴∠EBF=30°，
∴BE=2EF，
设EF=x，则BE=2x，
∴BF= 3x，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+( 3x+2)2=( 10)2，
∴x=3− 32(负值舍去)，
∴AB=2x=3− 3．
故答案为：3− 3．
作等边三角形ABE，连接CE，证明△EAC≌△BAD(SAS)，由全等三角形的性质得出EC=BD= 10，过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，由勾股定理可得出答案．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】等式的性质 二
【解析】解：(1)(1−1x+2)÷x2−1x+2
=x+1x+2÷x2−1x+2
=x+1x+2×x+2(x+1)(x−1)
=1x−1．
(2)解方程组：2x+y=4①4x−3y=−2②
解：①×2，得4x+2y=8，③
③−②，得y=2，
将y=2代入①，得x=1，
所以原方程组的解为x=1y=2．
∴①第一步的变形依据是等式的性质；
②小茜的解答过程从第二步开始出错，该方程组正确的解为x=1y=2．
(1)先将括号内的通分合并，然后把除法变成乘法，再约分化简即可；
(2)利用加减消元求解即可．
此题主要是考查了分式的混合运算，二元一次方程组的解法，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．
18.【答案】抽样调查 44 2
【解析】解：(1)本次调查的方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
(2)这20名学生“临场表现”分出现次数最多的是44分，共出现5次，因此“临场表现”分的众数是44分，
故答案为：44；
(3)有图可得，评定一、二等奖时，若将“艺术素养”分或“临场表现”分高于47分的学生直接定为一等奖，根据此规则，则原来获一等奖的学生中有2人会被评为二等奖，
故答案为：2；
(4)不同意，理由：
分别计算“艺术素养”分和“临场表现”分按照3：和1：1的比例计算综合素质平均分及名次如下：
从表格中的数据可得，例如，16号学生名次1是第9名，而名次2是第11名，说明评出的一、二等奖获得者人员有变化，所以不同意小明的观点．
(1)根据题意可得答案；
(2)由众数的定义，找出这20名学生的“临场表现”分出现次数最多的即可；
(3)根据图中的数据可得答案；
(4)分别计算学生“艺术素养”分和“临场表现”分按1：1计算综合素质平均分，和学生“艺术素养”分和“临场表现”分按3：2计算综合素质平均分，进行排序，得出结论．
本题考查众数、加权平均数以及抽样调查与全面调查，理解全面调查、抽样调查的意义，掌握众数、加权平均数的计算方法是正确解答的前提．
19.【答案】①②
【解析】解：(1)由题意知，①选中A型的概率为14；②选中B型的概率为14；③选中AB型的概率为24=12；④选中O型的概率为0；
故答案为：①②；
(2)列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中2人的血型均为AB型的有4种结果，
所以2人的血型均为AB型的概率为416=14．
(1)直接根据概率公式出各事件的概率，从而得出答案；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20.【答案】35
【解析】解：(1)∵点A(1,m)、B(n,1)在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，
∴m=41，1=4n，
∴m=n=4，
∴A(1,4)、B(4,1)，
设直线AB的函数解析式我y=kx+b，
∴k+b=44k+b=1，
解得k=−1b=5，
∴直线AB的函数解析式我y=−x+5；
(2)①过点C作CM⊥AB于点M，则CM的长最小，
由于点M在直线AB上，
可设M(a,−a+5)，
由y=−x+5，当y=0时，x=5，
∴直线AB与x轴的交点F的坐标为(5,0)，
当x=0时，y=5，
∴直线AB与y轴的交点E的坐标为(5,0)，
∴EF= OE2+OF2=5 2，
∵S△ACF=12CF⋅OE=12EF⋅CM，
∴CM=(5−2)×55 2=3 22，
∵EC= OE2+OC2= 52+22= 29，
∴EM= EC2−CM2=7 22，
∴FM=5 2−7 22=3 22，
∴CM=FM，
∴a=5+22=72，−a+5=32，
∴点M的坐标为(72,32)；
②∵A(1,4)、M(72,32)，
∴AM= (1−72)2+(4−32)2=5 22．
在Rt△ACM中，tan∠CAB=tan∠CAM=CMAM=3 225 22=35．
故答案为：35．
(1)根据已知条件列方程m=n=4，求得A(1,4)、B(4,1)，设直线AB的函数解析式我y=kx+b，解方程组即可得到结论；
(2)①过点C作CM⊥AB于点M，则CM的长最小，由于点M在直线AB上，可设M(a,−a+5)，求得直线AB与x轴的交点F的坐标为(5,0)，当x=0时，y=5，根据勾股定理得到即可得到结论；
②根据两点间的距离公式得到AM= (1−72)2+(4−32)2=5 22.根据三角函数的定义即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求好划算的解析式，勾股定理，三角函数的定义，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】证明：如图1，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，
∵D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，
∴AD=BD，AE=CE，
在△ADE和△CEF中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE，
∴△ADE≌△CEF(SAS)，
∴AD=CF，∠A=∠F，
∴AB//CF，
∵AD=BD=CF，
∴四边形BDFC为平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∴DE//BC，DE=12BC；
应用：如图2，BP为所作．
【解析】如图1，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，先证明△ADE≌△CEF得到AD=CF，∠A=∠F，则AB//CF，加上BD=CF，则可判断四边形BDFC为平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF=BC，DF//BC，从而得到DE//BC，DE=12BC；
应用：先在DE上截取DF=DB，连接BF并延长交AC于P点，由DB=DF得到∠DBF=∠DFB，再根据DE为△ABC的中位线得到DE//BC，所以∠DFB=∠CBF，则∠DBF=∠CBF，从而得到BP平分∠ABC．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质和三角形中位线定理．
22.【答案】2 2
【解析】解：(1)∵矩形①和矩形②的面积相等，
∴AH=DH，
又∵BC=AH+DH=2AH，
∴BCAH=2AHAH=2；
∵矩形①和矩形③的面积相等，且BC=2AH，
∴AE=2EB，
∴AEEB=2EBEB=2．
故答案为：2，2；
(2)设EB=x m，则AE=2xm，BC=48−3×2x−2x2=(24−4x)m，
根据题意得：(2x+x)(24−4x)=108，
整理得：x2−6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∴24−4x=24−4×3=12．
答：BC的长为12m．
(1)由矩形①和矩形②的面积相等，可得出AH=DH，结合BC=AH+DH，可得出BCAH=2；由矩形①和矩形③的面积相等且BC=2AH，可得出AE=2EB，进而可得出AEEB=2；
(2)设EB=x m，则AE=2xm，BC=(24−4x)m，根据矩形ABCD的面积为108m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入(24−4x)中，即可求出BC的长．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得：CE⊥DE，
∵斜坡BD的坡度为1：2.4，
∴DECE=12.4=512，
∴设DE=5a米，则CE=12a米，
在Rt△CDE中，CD= CE2+DE2= (12a)2+(5a)2=13a(米)，
∵CD=6.5米，
∴13a=6.5，
∴a=12，
∴DE=2.5米，CE=6米，
∴小明沿垂直方向下降的高度为2.5米；
(2)过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F，延长EC交AB于点G，过点D作DH⊥AB，垂足为H，

由题意得：BF=GE=DH，BH=DF，GH=DE=2.5米，
∵斜坡BD的坡度为1：2.4，
∴DFBF=12.4=512，
∴设DF=5x米，则BF=12x米，
∴BH=DF=5x米，GE=DH=BF=12x米，
∴CG=GE−CE=(12x−6)米，
在Rt△ADH中，∠ADH=36.9°，
∴AH=DH⋅tan36.9°≈12x⋅0.75=9x(米)，
∴AG=AH+HG=(9x+2.5)米，
在Rt△ACG中，∠ACG=68.2°，
∴AG=CG⋅tan68.2°≈2.5(12x−6)米，
∴9x+2.5=2.5(12x−6)，
解得：x=56，
∴AH=9x=7.5(米)，BH=5x=256(米)，
∴AB=AH+BH=7.5+256≈11.7(米)，
∴树AB的高度约为11.7米．
【解析】(1)根据题意可得：CE⊥DE，再根据已知斜坡BD的坡度为1：2.4，可设DE=5a米，则CE=12a米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，即可解答；
(2)过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F，延长EC交AB于点G，过点D作DH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：BF=GE=DH，BH=DF，GH=DE=2.5米，再根据已知斜坡BD的坡度为1：2.4，可设DF=5x米，则BF=12x米，从而可得BH=DF=5x米，GE=DH=BF=12x米，进而可得CG=(12x−6)米，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出AG的长，再在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键
24.【答案】①② ③
【解析】解：补充条件是①②，结论是③，理由如下：
连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AED=∠FEC，
∴∠FCE=∠AED，
∵ED⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠OCA+∠FCE=90°，
∴半径OC⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
(2)作FH⊥CE于H，
∵CF=FE，
∴CE=2EH，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ADE=90°，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠AED=∠B，
∴tan∠AED=tanB=125，
∴ADDE=125，
∵DE=10，
∴AD=24，
∴AE= AD2+DE2=26，
∵∠AED=∠FEH，∠ADE=∠EHF，
∴△FEH∽△AED，
∴EH：DE=EF：AE，
∴EH：10=13：26，
∴EH=5，
∴EC=10，
∵△AED∽△ABC，
∴AE：AB=AD：AC，
26：AB=24：36，
∴AB=39，
∴⊙O的半径长是19.5．
(1)由等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，∠FCE=∠FEC，由对顶角的性质得到∠FCE=∠AED，由直角三角形的性质即可推出∠OCA+∠FCE=90°，即可证明问题；
(2)作FH⊥CE于H，由CF=FE，得到CE=2EH，由三角形内角和定理得到∠AED=∠B，因此tan∠AED=tanB=125，得到ADDE=125，即可求出AD=24，由勾股定理求出AE= AD2+DE2=26，由△FEH∽△AED，求出EH的长，得到CE的长，由△AED∽△ABC，即可求出AB=39，得到圆的半径长，
本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，切线的判定，关键是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出∠OCA+∠FCE=90°；由锐角的正切求出AD长，由△FEH∽△AED和△AED∽△ABC，即可求出AB长．
25.【答案】(1)证明：由第二次翻折可得EF垂直平分BD，由第一次翻折可得EF=EP，
∴PF与BD垂直且互相平分，
∴四边形PBFD是菱形，
∴DP//BC；
(2)解：设∠ABD=α，
∵四边形PBFD是菱形，
∴PB//DF，
∴∠BDF=α，∠ADP=∠FDM=∠C=90−2α，
当DE′落在DM的右侧时，α>90−2α，
∴a>30°，
∴90°−2α<30°，
∴0°<∠C<30°；
(3)解：不存在．
若存在∠C使得DE′与∠MDC的角平分线重合，
设∠ABD=α，∠ADP=∠FDM=∠C=90−2α，∠MDC=2α，
∴90−2α+α=α，
∴α=45°，
∴∠C=0°，
∴不存在∠C使得DE与∠MDC的角平分线重合．
【解析】(1)由第二次翻折可得EF垂直平分BD，由第一次翻折可得EF=EP，证出四边形PBFD是菱形，则可得出结论；
(2)设∠ABD=α，求出∠BDF=α，∠ADP=∠FDM=∠C=90−2α，当DE′落在DM的右侧时，α>90−2α，求出a>30°，则可得出答案；
(3)设∠ABD=α，∠ADP=∠FDM=∠C=90−2α，∠MDC=2α，得出90−2α+α=α，求出α=45°，∠C=0°，则可得出结论．
本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵函数y1=ax2+bx+c的衍生点M(1,c)，
∴a=1，
∵函数y1=ax2+bx+c的图象过点C(−1,3)、D(1,−5)，
∴1−b+c=31+b+c=−5，
∴b=−4c=−2，
∴y1=x2−4x−2．
(2)①∵函数y1=ax2+bx+c的衍生函数为y2=2x−1，
∴y1=−x2+2x，
∴−x2+2x=2x−1，
∴x=−1或x=1，
∴A(−1,−3)、B(1,1)，
②由图象结合(1)得y1=x2−4x−2，
∴y2=−2x2−4x+1，
∴x2−4x−2=−2x2−4x+1，
∴x=−1或x=1，
∴A(−1,3)、B(1,−5)，见图所示：

(3)∵点M(a,c)，y1=ax2+bx+c，y2=cx2+bx+a，
∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，
∴x=−1或x=1，
∴A(−1,a−b+c)、B(1,a+b+c)，
设直线AB的表达式为y=kx+m，则
∴−k+m=a−b+ck+m=a+b+c，
∴ k=bm=a+c，
∴y=bx+a+c，
代入M(a,c)得，c=ab+a+c，
∴a(b+1)=0，
∵a是任意实数，
∴b+1=0，
∴b=−1．
【解析】(1)由衍生点M(1,c)，知a=1，然后用待定系数法求函数y1=ax2+bx+c的解析式；
(2)①由衍生函数的定义求出y1=ax2+bx+c，联立y1=ax2+bx+c与y2=2x−1，解方程组求A、B两点的坐标；
②仿照①的过程进行求解；
(3)求出直线AB的表达式，代入点M，寻求a，b，c之间的关系．
本题是新定义题，考查了二次函数的图象与性质，解题关键是紧靠定义，尤其第(3)问，用字母表示，有一定难度．
解方程组：2x+y=4①4x−3y=−2②
解：①×2，得4x+2y=8，③…第一步
③−②，得y=6，…第二步
将y=6代入①，得x=−1…第三步
所以原方程组的解为x=−1y=6…第四步
学生序号
艺术素养分
临场表现分
艺临比3：2平均分
名次1
艺临比1：1平均分
名次2
1号
40
48
43.2
17
44
16
2号
41
44
42.2
20
42.5
20
3号
42
44
42.8
19
43
19
4号
42
45
43.2
18
43.5
18
5号
43
45
43.8
15
44
15
6号
43
48
45
12
45.5
10
7号
44
44
44
14
44
14
8号
44
49
46
6
46.5
4
9号
45
42
43.8
16
43.5
17
10号
45
46
45.4
10
45.5
9
11号
46
43
44.8
13
44.5
13
12号
46
44
45.2
11
45
12
13号
46
46
46
7
46
7
14号
47
48
47.4
3
47.5
3
15号
47
49
47.8
2
48
2
16号
48
42
45.6
9
45
11
17号
48
43
46
8
45.5
8
18号
48
44
46.4
5
46
6
19号
49
43
46.6
4
46
5
20号
49
47
48.2
1
48
1
A
B
AB
AB
A
(A,A)
(B,A)
(AB,A)
(AB,A)
B
(A,B)
(B,B)
(AB,B)
(AB,B)
AB
(A,AB)
(B,AB)
(AB,AB)
(AB,AB)
AB
(A,AB)
(B,AB)
(AB,AB)
(AB,AB)