2023年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷（文字版含答案解析）

这是一份2023年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷（文字版含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中的两个数，互为相反数的是（　　）
A．3和 B．3和﹣3 C．﹣3和 D．﹣3和﹣
2．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（　　）
A．1.05×105 B．0.105×10﹣4 C．1.05×10﹣5 D．105×10﹣7
3．剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示的几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．7a+a＝7a2
C．5y﹣3y＝2 D．3x2y﹣2x2y＝x2y
6．为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务手机废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（　　）
收集的废
电池数（个）
4
5
6
7
8
人数（人）
6
9
11
3
1
A．平均数是6.5节 B．众数是11节
C．中位数是5.5节 D．极差为10
7．如图，将△ABC先向右平移两个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（5，﹣2） D．（5，2）
8．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．32.5°
9．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（　　）

A． B． C．3 D．4
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（　　）

A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：4m2﹣16＝　 　．
12．一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 　 　．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
13．为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐车道于2013年9月11日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约2.5千米，该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了25%，行驶时间平均减少了1.5分钟．设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程 　 　．
14．已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是　 　．
15．如图，已知扇形AOB，点C为OA中点，点D在弧AB上，将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，若∠AOB＝120°，OA＝4，则图象中阴影部分的面积是 　 　．

16．如图，在正方形ABCD中，∠ADB的平分线交AB边于点E，点F在BC边上，BE＝CF，连接AF分别交DE和BD于点G、H，动点P在DE上，PQ⊥BD于点Q，连接PH，则下列结论正确的是：①AF⊥DE；②BF+CD＝BD；③；④若BC＝2，则PH+PQ的最小值是．其中正确的是 　 　.（填写序号）

三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17．如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．

四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）化简：M＝，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．
19．（6分）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，﹣1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，﹣2，﹣3．如果同时任意转动转盘A、B，转盘停止时，两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x，y（指针指在两个扇形的交线时，重新转动转盘）．小红和小兰用这两个转盘做游戏，若x与y的乘积是正数，则小红赢；若x与y的乘积是负数，则小兰赢．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．

20．（6分）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．求建筑物CD的高度．
（参考数据：，
​
21. (6分)促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有学生一分钟的跳绳数不少于 10 次，现随机抽取了部分学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成4、B、C、D四组，并绘制了如下统计图表:

请结合上述信息完成下列问题:
(1) m= ，n= ；
(2)上述样本数据的中位数落在组;
(3)请你估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是多少?
(4)若该校共有2000名学生，请你估计全校达不到A等级的有多少人?
22．（6分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的 ，求a的值．

23．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）若AD＝CD，当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为正方形？请说明理由．

24．（8分）问题提出：如图（1），在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求S正方形MNPQ．
问题探究：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长为 　 　；这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系 　 　；（填“＞”，“＝”“或＜”）；通过上述的分析，可以发现S正方形MNPQ与S△FSB之间的关系是 　 　．
问题解决：求S正方形MNPQ．
拓展延伸：如图（3），在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF＝1，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△PQR，求S△PQR．
（请仿照上述探究的方法，在图3的基础上，先画出图形，再解决问题）．

25．（10分）恩施州是祖国的后花园之一，旅游资源丰富．为适应市场需求，某星级大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入（元）
12000
20000
26．（10分）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．







参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：A、3和，互为倒数，故A错误；
B、3和﹣3，是互为相反数，故B正确；
C、﹣3和，绝对值不同，故C错误；
D、﹣3和﹣，绝对值不同，不是相反数，故D错误；
故选：B．
2．【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000105＝1.05×10﹣5，
故选：C．
3．【答案】B
【分析】对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．【答案】C
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图．
【解答】解：上面看，可得选项C的图形．
故选：C．
5．【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则判断即可．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并成一项，故本选项计算错误，不符合题意；
B、7a+a＝8a，故本选项计算错误，不符合题意；
C、5y﹣3y＝2y，故本选项计算错误，不符合题意；
D、3x2y﹣2x2y＝x2y，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
6．【答案】C
【分析】根据众数、中位数、平均数及极差的定义列式计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：≈5.47（节），故选项A不合题意；
众数为7节，故选项B不合题意；
中位数为：＝5.5（节），故选项C符合题意；
极差为：8﹣4＝4（节），故选项D不合题意．
故选：C．
7．【答案】B
【分析】根据图形的平移和旋转得出对应点的坐标即可．
【解答】解：根据题意，作出△A′B′C′的图如下：

故C'点的坐标为（﹣2，5），
故选：B．
8．【答案】A
【分析】连接OD，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据等腰三角形的性质求出∠ODC，根据三角形内角和定理求出∠DOC，求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠BAD即可．
【解答】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
9．【答案】A
【分析】先根据角平分线的性质把PM进行转化，在根据两点之间线段最短及垂线段最短找出最小值，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：如图：过P作PNAB于N，过C作CH⊥AB，
由作图得：AD平分∠BAC，则PM＝PN，
∴PM+PC＝PN+PC≥CN≥CH，

在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，
∴AB＝，
∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，
即：2＝CH，
解得CH＝，
故选：A．
10．【答案】B
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到x＝﹣＝﹣1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用二次函数的增减性可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为A（﹣4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：4m2﹣16，
＝4（m2﹣4），
＝4（m+2）（m﹣2）．
故答案为：4（m+2）（m﹣2）．
12．【答案】20．
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴＝0.2，
解得：m＝20．
经检验m＝20是原方程的解，
故答案为：20．
13．【答案】﹣＝．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，注意时间要化为小时．
【解答】解：由题意可得，
﹣＝，
故答案为：﹣＝．
14．【答案】a≤且a≠0．
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，即可得判别式△≥0且a≠0，继而可求得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×a×1＝1﹣4a≥0，
解得：a≤，
∴a的取值范围是a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
15．【答案】4．
【分析】连接DA，根据中点的性质得到DA＝DO，证明△AOD为等边三角形，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接DA．

由题意得，CD是线段OA的垂直平分线，
∴DA＝DO，
∵OA＝DO，
∴OA＝DA＝DO，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形OAD＝S扇形BOD，
∴图象中阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣（S扇形OAD﹣S△AOD）
＝S△AOD
＝×4×4×sin60°
＝4，
故答案为：4．
16．【答案】①②④．
【分析】证明△DAE≌△ABF（SAS），可得∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，AF⊥DE，即可判断A正确；再证明△ADG≌△HDG（ASA），可得AE＝BF＝BH，从而判断选项B正确；由已知条件不能说明CF＝BF，可判断选项C错误；连接AP，过A作AQ'⊥BD于Q'，AQ'交DE于P'，可得AP＝PH，即知当A、P、Q共线，即Q与Q'重合，P与P'重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ'的长，在Rt△ADQ'中，可得AQ'＝AD＝，从而判断选项D正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝90°＝∠ABF，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AF⊥DE，选项A正确，符合题意；
∴∠AGD＝90°＝∠HGD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADG＝∠HDG，
∵DG＝DG，
∴△ADG≌△HDG（ASA），
∴AD＝DH，∠DAH＝∠DHA，AG＝GH，
∵∠DAH＝∠BFH，
∴∠DHA＝∠BFH，
∴∠BHF＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AE＝BF＝BH，
∵BD＝DH+BH，
∴BF+CD＝BD，故选项B正确，符合题意；
没有条件能说明CF＝BF，故选项C错误，不符合题意；
连接AP，过A作AQ'⊥BD于Q'，AQ'交DE于P'，如图：

∵△ADG≌△HDG，
∴AG＝HG，
又DE⊥AF，
∴DE是AH的垂直平分线，
∴AP＝PH，
∴PH+PQ＝AP+PQ，
∴当A、P、Q共线，即Q与Q'重合，P与P'重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ'的长，
在Rt△ADQ'中，∠ADQ'＝∠ADB＝45°，AD＝BC＝2，
∴AQ'＝AD＝，
∴PH+PQ最小值是，故选项D正确，符合题意，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17．【答案】作图见解析部分．
【分析】过点A作EA⊥直线l，作线段AP的垂直平分线MN，直线MN交EA于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．

四、解答题（本大题共9小题，共68分
18．【答案】x﹣2，x≠1且x≠0，0．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，即可得出化简的结果，根据分式有意义的条件得出x﹣1≠0且x≠0，求出x不能为1和0，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，取x＝2，再把x＝2代入化简的结果x﹣2，即可求出分式的值．
【解答】解：M＝
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式有意义，必须x﹣1≠0，x≠0，
即x≠1和0，
所以x的取值范围是x≠1且x≠0，
解不等式组得：﹣＜x＜4，
所以不等式组的整数解是0，1，2，3，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝2﹣2＝0．
19．【答案】公平，理由见解答．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

2
0
﹣1
3
6
0
﹣3
2
4
0
﹣2
﹣2
﹣4
0
2
﹣3
﹣6
0
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中乘积是正数的有4种，乘积是负数的也有4种，
所以这个游戏对双方是公平的．
20．【答案】建筑物CD的高度为18m．
【分析】点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由坡度定义得BE：AE＝5：12，设BE＝5xm，AE＝12xm，求出x＝2，得到AE＝12x＝24（m），过点B作BF⊥CD于点F，由锐角三角函数定义求出即可得到结论．
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，
设BE＝5xm，AE＝12xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝＝13x（m），
∴13x＝26，
解得：x＝2（m），
∴AE＝12x＝24（m），
过点B作BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE＝10m，BF＝DE，
∵tan∠CBF＝，
∴BF＝≈＝CF＝DE，
∵tan∠CAD＝，
∴，
即 ＝，
解得：CF＝8，
∴CD＝DF+CF＝10+8＝18（m），
答：建筑物CD的高度为18m．

22．【答案】（1）k的值为，m的值为6．
（2）a＝2或a＝﹣10．
【分析】（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解B（0，2）．由P（a，0）为x轴上的一动点，可得PC＝|a+4|．由S△CAP＝S△ABP+S△CBP，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，
得﹣4k+2＝0，
∴k＝，
∴一次函数解析式为y＝+2，
把A（2，n）代入y＝+2，得n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入y＝，得m＝2×3＝6．
∴k的值为，m的值为6．
（2）当x＝0时，y＝+2＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵C（﹣4，0），
∴OC＝4，
∴S△CBO＝＝4，
∵△ABP的面积为△CBO面积的 ，
∴S△ABP＝3，
∵P（a，0）为x轴上的一动点，
∴PC＝|a+4|．
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴，
∴a+4＝6或a+4＝﹣6，
∴a＝2或a＝﹣10．
23．【答案】（1）证明见解答过程
（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为正方形，理由见解答过程．
【分析】（1）由AAS证明△FCE≌△BOE即可；
（2）先证四边形OCFD为平行四边形，再由等腰三角形的性质得OD⊥AC，则∠COD＝90°，即可得出平行四边形OCFD为矩形．
【解答】（1）证明：∵CF∥BD，
∴∠CFE＝∠OBE，
∵E是OC的中点，
∴CE＝OE，
在△FCE和△BOE中，
，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为正方形，理由如下：
∵△FCE≌△BOE，
∴CF＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴CF＝OD，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD为平行四边形，
∵AD＝CD，OA＝OC，
∴OD⊥AC，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCFD为矩形．
∵∠ADC＝90°，
∴OC＝CD，
∴四边形OCFD为平行正方形．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）问题探究：根据AE＝BF＝CG＝DH＝1，∠AFO＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，可得△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，进而得出AD＝WE＝a；根据所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，可得新正方形与原正方形ABCD的面积相等；根据图形可得4×（S△FSB+S四边形MFBG）＝S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，即S正方形MNPQ＝4S△FSB；
（2）问题解决：根据S△FSB＝×1×1＝，即可求得S正方形MNPQ＝4S△FSB＝4×＝2；
（3）拓展应用：根据图形，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形（无缝隙，不重叠），进而得出S△PRQ＝S△ADG+S△BHE+S△CFI＝3S△ADG，再过点G作GJ⊥BA于J，根据GJ＝AG＝，可得S△ADG，最后根据S△PQR＝3S△ADG进行计算即可．
【解答】解：（1）问题探究：
∵AE＝BF＝CG＝DH＝1，∠AFO＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，
∴AE＝DW，
∴AE+DE＝DW+DE＝a，即AD＝WE＝a，
∵拼成一个新的正方形无缝隙，不重叠，
∴这个新正方形的边长为a；
∵所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a•a＝a2，
∴拼成的新正方形面积为：4×a2＝a2，
即新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
∵新正方形的面积＝4×S△MSG＝4×（S△FSB+S四边形MFBG），
原正方形ABCD的面积＝S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，
∴4×（S△FSB+S四边形MFBG）＝S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，
即S正方形MNPQ＝4S△FSB；
故答案为：a，＝，S正方形MNPQ＝4S△FSB；

（2）问题解决：
∵S△FSB＝×1×1＝，
∴S正方形MNPQ＝4S△FSB＝4×＝2；

（3）拓展应用：
如图所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形（无缝隙，不重叠），
∴S△PRQ＝S△ADG+S△BHE+S△CFI＝3S△ADG，
如图，过点G作GJ⊥BA于J，
根据∠ADG＝∠BDP＝30°，∠DAF＝60°＝∠GAJ可得，∠ADG＝∠AGD＝30°，
∴AD＝AG＝1，
∴GJ＝AG＝，
∴S△ADG＝AD×GJ＝×1×＝，
∴S△PQR＝3S△ADG＝3×＝．


25．【答案】（1）该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为400元；
（2）该酒店将豪华间的价格上涨425元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为27225元．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；
（2）设该酒店将豪华间的价格上涨到x元时，豪华间的日总收入为y元，根据题意列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设该酒店豪华间有a间，淡季每间价格为b元，则旺季每间价格为（1+）b元，
由题意可得：，
解得：，
∴（1+）b＝400，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为400元；
（2）设该酒店将豪华间的价格上涨到x元时，豪华间的日总收入为y元，
由题意可得y＝x（50﹣×1）＝﹣x2+66x＝﹣（x﹣825）2+27225，
∵﹣＜0，
当x＝825时，y最大为27225，
∴该酒店豪华间上涨的价格为825﹣400＝425（元）．
答：该酒店将豪华间的价格上涨425元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为27225元．
26．【答案】（1）当t为s时，PE∥AB；
（2）y＝﹣t+48；
（3）当t＝时，FP⊥AD．
【分析】（1）由菱形的性质得出OA＝6cm，OB＝8cm，求出AD的长，得出，则可求出t的值；
（2）过点P作PQ⊥OD于Q，证明△DQP∽△DOA，得出，求出PQ，由比例线段可得出，求出OF，则可得出答案；
（3）证明△AOD∽△APF，得出，得出t的方程，解方程即可得解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝，BO＝DO＝，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
在Rt△AOD中，
由勾股定理，得AO2+DO2＝AD2，
∴AD＝．
∵PE∥AB，
∴，
即，
∴t＝，
因此，当t为s时，PE∥AB．
（2）如图1，过点P作PQ⊥OD于Q，

∴∠DQP＝∠DOA＝90°，
又∵∠QDP＝∠ODA，
∴△DQP∽△DOA，
∴，
即，
∴PQ＝，
∵EF∥BC，
∴，
即，
∴OF＝6﹣t，
∴y＝S四边形EFDP＝S△EFD+S△EDP＝•DE•PQ＝t+48．
因此，y与t之间的函数关系式为y＝﹣t+48．
（3）存在．理由如下：
假设存在t，使得FP⊥AD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵FP⊥AD，
∴∠APF＝90°，
∴∠AOD＝∠APF，
∵∠OAD＝∠PAF，
∴△AOD∽△APF，
∴，
∵OF＝6﹣t，DP＝2t，
∴AF＝12﹣t，AP＝10﹣2t，
∴，
∴t＝，
因此，当t＝时，FP⊥AD．
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