第21章 二次根式 华东师大版九年级数学上册优生辅导训练(含答案)

这是一份第21章 二次根式 华东师大版九年级数学上册优生辅导训练(含答案)，共13页。
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第21章二次根式》优生辅导训练
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列各式中：，，，，，其中是二次根式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列x的值能使二次根式有意义的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
6．若x，y为实数，且++y＝6，则xy的值为（　　）
A．0 B． C．2 D．不能确定
7．若等式＝（）2成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
8．若x＝，则x2﹣2x（　　）
A． B．1 C．2+ D．﹣1
9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（　　）

A．16cm2 B．40 cm2 C．8cm2 D．（2+4）cm2

10．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）cm2．

A．2+1 B．1 C．8﹣6 D．6﹣8
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．若是二次根式，则a的取值范围是 　 　．
12．若式子x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|+的结果为 　 　．

14．计算：＝　 　．
15．如图1，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图2所示依次叠在③上，已知四边形EMNB与四边形MPQN的面积分别为9与7，则Rt△ABC的斜边长AB＝　 　．

16．化简：＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．老师让同学们化简，两名同学得到的结果不同，请你检查他们的化简过程，指出谁的做法是错误的及错误的步骤，并改正．
小丽的做法：

＝①
＝②
＝③
＝④
小明的做法：

＝①
＝②
＝③
＝④
18．计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣）×．
19．已知a＝．
（1）求a2﹣4a+4的值；
（2）化简并求值：．
20．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位km），观测者能看到的最远距离为d（单位km），则d≈，其中R是地球半径，通常取6400km．
（1）小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
（2）判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．

21．【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质＝|a|．
如：对于，设．
由，可知x＞0．
由，解得．
即．
【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．
22．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“＝”，并完成后面的问题．
×　 　，×　 　，×　 　，×　 　…
用，，表示上述规律为：　 　；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x＝，y＝试用含x，y的式子表示．
23．提出问题：
在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：
如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、．
当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．
探究二：
在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2＝8个．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个．
探究三：
如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 　 　个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 　 　条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 　 　条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 　 　个．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．
（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个．
（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 　 　个．
问题解决：
如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 　 　个．
拓展延伸：
如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 　 　个．

24．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．

参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：，是二次根式
故选：B．
2．解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故x的值可以为1，
故选：D．
3．解：A、＝2，故A选项不符合题意；
B、＝，故B选项不符合题意；
C、÷＝×＝＝＝，故C选项符合题意；
D、＝3×2××＝18，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝2，不符合题意；
C、＝，不符合题意；
D、＝，不符合题意．
故选：A．
5．解：A．＝3，与的被开方数不同，即不能与合并，故本选项不符合题意；
B．不能与合并，故本选项不符合题意；
C．＝，不能与合并，故本选项不符合题意；
D．＝2，能与合并，故本选项符合题意；
故选：D．
6．解：由题意可知：，
∴x＝，
∴y＝6，
∴xy＝×6＝2，
故选：C．
7．解：∵等式＝（）2成立，
∴a≥0．
故选：C．
8．解：∵x＝＝+1，
∴x2﹣2x＝x（x﹣2）
＝（+1）（+1﹣2）
＝2﹣1
＝1．
故选：B．
9．解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是+＝4+2，
留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．
故选：A．
10．解：如图．

由题意知：（cm2），．
∴HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（3﹣）×
＝（cm2）．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：由题意得：2﹣a＞0，
解得：a＜2．
故答案是：a＜2．
12．解：由题意可知：x+1≥0，
∴x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
13．解：∵由图可知，0＜a＜2，
∴a﹣2＜0，|a|＞0，
∴原式＝2﹣a+a＝2．
故答案为：2．
14．解：原式＝（）2﹣12，
＝5﹣1，
＝4．
故答案为：4．
15．解：如图，设等边△ABE，△ACD，△BCF的面积分别是S3，S2，S1，BC＝a，AB＝c，AC＝b，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．
∵S3＝c2，S2＝b2，S1＝a2，
∴S3﹣S2＝（c2﹣b2）＝a2＝9，S3﹣S1＝c2﹣a2＝（c2﹣a2）＝b2＝9+7＝16，
∴a＝6，b＝8，
即AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
故答案为：10．
16．解：
＝•（﹣），
＝3•（﹣），
＝﹣3xy2．
故答案为：﹣3xy2．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：小明的做法是错误的，错误的步骤是③，
改正：
＝
＝
＝
＝．
18．解：（1）﹣+
＝
＝﹣；
（2）（﹣）×
＝（2）×
＝
＝．
19．解：（1）a＝＝＝2﹣，
a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
将a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．
（2），
＝﹣
＝（a﹣1）﹣，
∵a＝2﹣，
∴a﹣1＝1﹣＜0，
∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．
20．解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，
得d＝＝＝16（km），
答：此时d的值为16km；
（2）说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h＝1.5km，
则d2＝2×1.5×6400＝19200，
2302＝52900，
∵19200＜52900，
∴d＜230，
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
21．解：设x＝，
∵，
∴x＜0．
∵x2＝＝6﹣3+6+3﹣2＝6，
∴x＝﹣．
原式＝﹣
＝5﹣2﹣
＝5﹣3．
22．解：（1）∵×＝2×4＝8，＝＝8，
∴×＝，
×＝，
×＝
×＝，
故答案为：＝，＝，＝，＝，•＝（a≥0，b≥0）；
（2）×
＝
＝
＝2；
（3）∵x＝，y＝，
∴＝
＝
＝x•x•y
＝x2y．
23．解：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度有：1、2、3、、、、、2、3共9个．
（1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 8条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 8+8×2＝24．
（3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16．
（4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16．
（5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为36+24+16+16+4＝96．
如图3，在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为244．
拓展延伸：
如图4，在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为48个．
24．解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，
∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6．
（2）设BC边上的高为h，
则×6×h＝6，
解得h＝2．