四川省成都市新都区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份四川省成都市新都区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市新都区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题。（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+5＜b+5 B．4a﹣2＜4b﹣2 C．﹣3a＞﹣3b D．
2．吉祥图案是指以象征，谐音等的手法，组成具有一定吉祥寓意的装饰纹样，谐音，文字加以说明．以下吉祥图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．3a（a﹣2b）＝3a2﹣6ab
B．m2﹣9+n2＝（m﹣3）（m+3）+n2
C．ax2+bx+c＝x（ax+b）+c
D．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2
4．如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的整数解有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，D为垂足，则CE的长度为（　　）
​

A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（　　）
​

A．AD＝BC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．OA＝OC，AD∥BC
8．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣3）（﹣4，0），正比例函数y＝mx（m≠0）的图象过点A（k﹣m）x+b≥0的解集为（　　）
​

A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣4≤x＜﹣2
二、填空题。（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．分解因式：m2﹣16m＝　 　．
10．当分式有意义时，则x的取值范围是　 　．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AB的中点．若AB＝4，BC＝6　 　．
​

12．一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是900°，过这个多边形的一个顶点可画出　 　条对角线．
13．如图，在△ABC中，∠B＝36°，分别以点B，C为圆心长为半径作弧，两弧相交于G，作直线GH交AB于点F，并与∠BAC的平分线交于点D，CF与AD相交于点M，则∠AMF＝　 　度．

三、解答题。（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上（4，﹣1）．
（1）画出△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

16．（8分）2023年3月17日，是新都区抗日民族英雄王铭章将军壮烈牺牲85周年纪念日．为了弘扬铭章精神，缅怀抗战英烈，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时．
17．（10分）如图，已知AB＝AF，∠BAF的平分线和∠ABC的平分线相交于点E，且D恰好为AF的中点．
（1）求证：△BEC≌△FED；
（2）求证：AB＝CD．

18．（10分）已知，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，其中，△ADE绕着A点逆时针进行旋转，CE．
（1）若△ADE旋转至图1位置时，求证：∠ABD＝∠ACE；
（2）若△ADE旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线；
（3）若△ADE旋转至图3位置时，线段AD恰好垂直于BC，此时BD的延长线与CE交于点F，若，求线段AD的长．
​
四、填空题。（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．若a+b＝5，则a2﹣b2+10b＝　 　．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，交AC于点D，若BD＝BC　 　度．

21．若关于x的不等式组的整数解只有2，3，4，且a，则a+b的最大值为　 　．
22．定义，如：．若F（2，3），，且关于x的方程F（x，k）+F（x+1，2x），则实数k的值为　 　．
23．在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为▱ABCD外的一点，且OP＝8．若点P到▱ABCD边的最短距离记为d，d的取值范围是 　 　．

五、解答题。（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）新繁棕编是成都市新都区新繁镇的传统手工艺品之一，起源于清代嘉庆末年，早在200多年前就已走出国门，期间发现新繁棕编这一手工艺品新奇有趣，大为赞叹．于是甲乙两人均购买了部分产品打算回家赠送亲友，共花了215元，乙买了5个A类产品，共花了195元．
（1）求A类产品和B类产品的单价分别是多少元？
（2）该代表团考虑到端午节临近，决定投入不超过1550元给单位的每一位员工都买一个棕编作为端午节的慰问礼物之一，但要求购买的A类产品数量不超过B类产品的，请问该代表团共有几种购买方案？哪种方案费用最低？
25．（10分）已知直线l1y＝kx+2经过点A，将直线l1向右平移4个单位后，得到的直线l2与y轴相交于点B，且经过点C（2，3），点P为x轴正半轴上的一个动点．
（1）请求出直线l1与l2的函数表达式；
（2）当四边形ABCP的周长最小时，求四边形ABCP的面积；
（3）在直线l2上是否存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
​
26．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，点D为BC边上的一个动点，以CD为边作等边△CDE，连接AE，将等边△CDE绕点C旋转．
（1）如图1，当点D在BC上，四边形ABDE是平行四边形时；
（2）如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，若B，D，E共线；
（3）如图3，在等边△CDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P，若，，求线段AP的长．
​

参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）
1．若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+5＜b+5 B．4a﹣2＜4b﹣2 C．﹣3a＞﹣3b D．
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵a＞b，原变形错误；
B、∵a＞b，∴4a﹣2＞7b﹣2，不符合题意；
C、∵a＞b，原变形错误；
D、∵a＞b，∴＞，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
2．吉祥图案是指以象征，谐音等的手法，组成具有一定吉祥寓意的装饰纹样，谐音，文字加以说明．以下吉祥图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．
【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形形；
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．3a（a﹣2b）＝3a2﹣6ab
B．m2﹣9+n2＝（m﹣3）（m+3）+n2
C．ax2+bx+c＝x（ax+b）+c
D．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2
【分析】运用因式分解的定义进行辨别、求解．
【解答】解：∵把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫因式分解，
∴选项A，B，C不符合题意，
选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．如图，表示了某个不等式的解集，该解集中所含的整数解有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据题意可得：不等式的解集为：﹣2＜x≤4，从而可得该不等式的整数解为﹣1，0，1，2，3，4，即可解答．
【解答】解：由题意得：
不等式的解集为：﹣2＜x≤4，
∴该不等式的整数解为﹣3，0，1，5，3，4，
∴该解集中所含的整数解有8个，
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，D为垂足，则CE的长度为（　　）
​

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，因此∠EBA＝∠A＝30°，求出∠ABC＝60°，即可得到∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝30°，因此CE＝BE，得到CE＝AE，于是CE＝AC＝×6＝2．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝30°，
∴CE＝BE，
∴CE＝AE，
∴CE＝AC＝．
故选：B．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，关键是由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠EBC＝30°，由直角三角形的性质即可求解．
6．已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】将x＝1代入方程，即可求a的值．
【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴＝，
解得a＝﹣5，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（　　）
​

A．AD＝BC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．OA＝OC，AD∥BC
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
D、∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣3）（﹣4，0），正比例函数y＝mx（m≠0）的图象过点A（k﹣m）x+b≥0的解集为（　　）
​

A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣4≤x＜﹣2
【分析】将不等式（k﹣m）x+b≥0可变形为kx+b≥mx，然后结合图象写出答案即可．
【解答】解：不等式（k﹣m）x+b≥0可变形为kx+b≥mx，
∵两函数的图象都经过点A，
∴kx+b≥mx的解集为x≤﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，将不等式边形是解决问题的关键．
二、填空题。（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．分解因式：m2﹣16m＝　m（m﹣16）　．
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．
【解答】解：原式＝m（m﹣16）．
故答案为：m（m﹣16）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．
10．当分式有意义时，则x的取值范围是　x≠﹣　．
【分析】根据分母不为零即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3x+2≠5，
∴x≠﹣，
故答案为：x≠﹣．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AB的中点．若AB＝4，BC＝6　10　．
​

【分析】首先根据D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，确定EF、ED分别是△ABC的中位线，可判定四边形BDEF是平行四边形以及各边的长度，即可求得四边形BDEF的周长．
【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AB的中点，
∴EF、ED分别是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，ED∥AB且EF＝×6＝8＝×4＝3，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD＝EF＝3，BF＝ED＝2，
∴四边形BDEF的周长为：BF+BD+ED+EF＝2+3+2+2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半，利用平行四边形的判定及性质进行解题；解题的关键是利用三角形中位线定理判定四边形BDEF是平行四边形．
12．一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是900°，过这个多边形的一个顶点可画出　2　条对角线．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n边形的内角和是360°，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180+360＝900，
解得：n＝5．
那么过这个多边形的一个顶点可作2﹣3＝2条对角线．
故答案为：6．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数＝边数﹣3．
13．如图，在△ABC中，∠B＝36°，分别以点B，C为圆心长为半径作弧，两弧相交于G，作直线GH交AB于点F，并与∠BAC的平分线交于点D，CF与AD相交于点M，则∠AMF＝　73　度．

【分析】根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣36°﹣74°＝70°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝BAC＝，根据线段垂直平分线的性质得到BF＝CF，根据等腰三角形的性质得到∠FCB＝∠B＝36°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝36°，∠ACB＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣36°﹣74°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝，
∵DF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠B＝36°，
∴∠AFM＝∠B+∠FCB＝72°，
∴∠AMF＝180°﹣35°﹣72°＝73°，
故答案为：73．
【点评】此题考查了作图﹣复基本作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角线段垂直平分线的作法是解题的关键．
三、解答题。（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）计算：
（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝
【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集；
（2）将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x＞﹣；
解不等式②得：x≥﹣1，
故不等式组的解集为：x≥﹣1；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上（4，﹣1）．
（1）画出△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求；
（2）如图，△A2B2C8即为所求，点C2的坐标（﹣5，6）．

【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
16．（8分）2023年3月17日，是新都区抗日民族英雄王铭章将军壮烈牺牲85周年纪念日．为了弘扬铭章精神，缅怀抗战英烈，结果提前了2分钟到达，求大巴车原计划车速为多少千米/小时．
【分析】设大巴车原来的速度为x千米/小时，根据题意，列出分式方程，进行求解即可．
【解答】解：设大巴车原来的速度为x千米/小时，2分钟＝
由题意得，﹣＝，
解得x＝30，
经检验x＝30是原方程的解，
答：大巴车原来的速度是30千米/小时．
【点评】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
17．（10分）如图，已知AB＝AF，∠BAF的平分线和∠ABC的平分线相交于点E，且D恰好为AF的中点．
（1）求证：△BEC≌△FED；
（2）求证：AB＝CD．

【分析】（1）根据等腰三角形与角平分线的定义推出AF∥BC，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝EF，再根据ASA可证明结论；
（2）根据（1）的距离得出DF＝BC，再根据平行四边形的判定证明四边形ABCD是平行四边形即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F，
∴∠F＝∠CBF，
∴AF∥BC，
∵AE平分∠BAF，AB＝AF，
∴BE＝EF，
在△BEC和△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（ASA）；
（2）由（1）知，△BEC≌△FED，
∴DF＝BC，
∵D是AF的中点，
∴AD＝DF，
∴AD＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
18．（10分）已知，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，其中，△ADE绕着A点逆时针进行旋转，CE．
（1）若△ADE旋转至图1位置时，求证：∠ABD＝∠ACE；
（2）若△ADE旋转至图2位置时，发现B，D，E三点恰好共线；
（3）若△ADE旋转至图3位置时，线段AD恰好垂直于BC，此时BD的延长线与CE交于点F，若，求线段AD的长．
​
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结果；
（2）由△BAD≌△CAE推出BD＝CE，由△ADE是等腰直角三角形得出DE＝AD，进而推出BE＝CE+AD；
（3）连接CD，设AD的延长线交BC于G，AC和BF交于点O，设AD＝x，则CD＝DE＝x，由直角三角形性质可得AG＝CG＝BC＝，从而得出DG＝AG﹣AD＝﹣x，在Rt△CDG中，由勾股定理列出（x）2﹣（）2＝（）2，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）证明：由（1）得：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∴BE＝BD+DE＝CE＝DE，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
∴BE＝CE+AD；
（3）解：如图，

连接CD，设AD的延长线交BC于G，
由（1）知：∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAD＝90°，
∵点F是CF的中点，
∴CD＝AD，
设AD＝x，则CD＝DE＝x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BG＝CG，
∵∠BAC＝90°，
∴AG＝CG＝BC＝，
∴DG＝AG﹣AD＝﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得，
（x）2﹣（）2＝（）2，
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AD＝．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，根据勾股定理列方程．
四、填空题。（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．若a+b＝5，则a2﹣b2+10b＝　25　．
【分析】原式前两项利用平方差公式分解后，把a+b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝5，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）+10b
＝5（a﹣b）+10b
＝8a﹣5b+10b
＝5a+3b
＝5（a+b）
＝25．
故答案为：25．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，交AC于点D，若BD＝BC　36　度．

【分析】设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得∠A．
【解答】解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠A＝x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
故答案为36．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
21．若关于x的不等式组的整数解只有2，3，4，且a，则a+b的最大值为　10　．
【分析】先把两个不等式解出来，然后表示不等式组的解集，根据整数解只有2，3，4可判断a，b的值，即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x＜，
∵整数解只有2，3，4，
∴4＜≤5＜2，
解得：7＜a≤9，≤b＜2，
∵a，b均为整数，
∴当a＝9，b＝4时，
最大值为：9+1＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据整数解只有2，3，4找到不等关系是解题关键．
22．定义，如：．若F（2，3），，且关于x的方程F（x，k）+F（x+1，2x），则实数k的值为　2或4　．
【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程F（x，k）+F（x+1，2x）＝2化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解得出x＝0或x＝1，分别代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：根据题意得，
，
解得，
∴，
∵F（x，k）+F（x+7，
∴，
整理得，
去分母得，（2x﹣k）x+2（x﹣3）＝2x（x﹣1），
整理得，（5﹣k）x＝2，
∵关于x的方程F（x，k）+F（x+1，
∴x＝3或x＝1或4﹣k＝2，
当x＝0时，﹣2＝3，舍去；
当x＝1时，2﹣k＝2，
解得k＝2，
当4﹣k＝2时，k＝4；
综上实数k的值为2或4．
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义．
23．在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为▱ABCD外的一点，且OP＝8．若点P到▱ABCD边的最短距离记为d，d的取值范围是 　8﹣≤d≤8﹣　．

【分析】根据题意可看作▱ABCD不动，点P绕点O旋转，当点A，C在OP上时，此时d取最小值，当OP垂直AD时，此时d取最大值，分别求解即可得出结论．
【解答】解：根据题意可看作▱ABCD不动，点P绕点O旋转，C在OP上时，当OP垂直AD时；

如图，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，

∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝60°，∠EAB＝30°，
∵AB＝6，
∴BE＝3，AE＝3，
∴CE＝11，
在Rt△ACE中，AC＝，
∴OA＝OC＝，
∴d的最小值为8﹣；
当OP⊥AD时，d取最大值，延长PO交BC于点G，
∴四边形AEGF是矩形，

∴OF＝AE＝，
∴d的最大值为8﹣；
∴d的取值范围为：8﹣≤d≤2﹣．
故答案为：8﹣≤d≤8﹣．
【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，找到何时d取最大值最小值的状态是解题关键．
五、解答题。（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）新繁棕编是成都市新都区新繁镇的传统手工艺品之一，起源于清代嘉庆末年，早在200多年前就已走出国门，期间发现新繁棕编这一手工艺品新奇有趣，大为赞叹．于是甲乙两人均购买了部分产品打算回家赠送亲友，共花了215元，乙买了5个A类产品，共花了195元．
（1）求A类产品和B类产品的单价分别是多少元？
（2）该代表团考虑到端午节临近，决定投入不超过1550元给单位的每一位员工都买一个棕编作为端午节的慰问礼物之一，但要求购买的A类产品数量不超过B类产品的，请问该代表团共有几种购买方案？哪种方案费用最低？
【分析】（1）设A类产品的单价是x元，B类产品的单价是y元，根据“甲买了3个A类产品和4个B类产品，共花了215元；乙买了5个A类产品，2个B类产品，共花了195元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个A类产品，则购买（50﹣m）个B类产品，根据“总费用不超过1550元，且购买的A类产品数量不超过B类产品的”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该代表团共有3种购买方案，再求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A类产品的单价是x元，B类产品的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A类产品的单价是25元，B类产品的单价是35元；
（2）设购买m个A类产品，则购买（50﹣m）个B类产品，
根据题意得：，
解得：20≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，
∴该代表团共有3种购买方案，
方案5：购买20个A类产品，30个B类产品；
方案2：购买21个A类产品，29个B类产品；
方案3：购买22个A类产品，28个B类产品．
∵1550＞1540＞1530，
∴方案5费用最低．
答：该代表团共有3种购买方案，购买22个A类产品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．（10分）已知直线l1y＝kx+2经过点A，将直线l1向右平移4个单位后，得到的直线l2与y轴相交于点B，且经过点C（2，3），点P为x轴正半轴上的一个动点．
（1）请求出直线l1与l2的函数表达式；
（2）当四边形ABCP的周长最小时，求四边形ABCP的面积；
（3）在直线l2上是否存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在；若不存在，请说明理由．
​
【分析】（1）设直线l1交x轴于K，直线l2交x轴于T，在y＝kx+2中，令y＝0得K（﹣，0），设直线l2函数表达式为y＝kx+b，把C（2，3）代入可得y＝kx+3﹣2k，令y＝0可求得T（，0），即知﹣（﹣）＝4，k＝﹣，故直线l1函数表达式为y＝﹣x+2；直线l2函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）作A关于x轴的对称点A'，连接A'C交x轴于P，求出A（0，2），B（0，4），知AB＝2，BC＝，即知当PA+PC最小时，四边形ABCP的周长最小，而PA＝PA'，故当A'，P，C共线时，四边形ABCP的周长最小，由A'（0，﹣2），C（2，3）得直线A'C函数表达式为y＝x﹣2，可得P（，0），又S△A'BC＝A'B•xC＝×6×2＝6，S△AA'P＝AA'•OP＝×4×＝，从而可得四边形ABCP的面积是；
（3）设P（m，0），Q（n，﹣n+4），分三种情况：①当PQ，AC为对角线时，PQ，AC的中点重合，②当PA，QC为对角线时，PA，QC中点重合，③当PC，QA为对角线时，PC，QA中点重合，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）设直线l1交x轴于K，直线l2交x轴于T，如图：

在y＝kx+3中，令y＝0得x＝﹣，
∴K（﹣，0），
由直线l1∥直线l5，设直线l2函数表达式为y＝kx+b，把C（2
2＝2k+b，
∴b＝3﹣7k，
∴直线l2函数表达式为y＝kx+3﹣6k，
在y＝kx+3﹣2k中，令y＝2得0＝kx+3﹣5k，
解得x＝，
∴T（，0），
∵将直线l6向右平移4个单位后，得到的直线l2，
∴KT＝6，即﹣（﹣，
解得k＝﹣，
经检验，k＝﹣，符合题意，
∴直线l1函数表达式为y＝﹣x+23函数表达式为y＝﹣x+6；
（2）作A关于x轴的对称点A'，连接A'C交x轴于P

由y＝﹣x+5得A（0，由y＝﹣，4），
∵C（2，3），
∴AB＝2，BC＝＝，
∴四边形ABCP的周长为7++PA+PC，
∴当PA+PC最小时，四边形ABCP的周长最小，
∵A，A'关于x轴对称，
∴PA＝PA'，
∴当A'，P，C共线时，
由A（0，7）可得A'（0，
∴A'B＝6，AA'＝5，
由A'（0，﹣2），6）得直线A'C函数表达式为y＝，
令y＝8得x＝，
∴P（，0），
∴S△A'BC＝A'B•xC＝×6×2＝3，S△AA'P＝AA'•OP＝＝，
∴S四边形ABCP＝S△A'BC﹣S△AA'P＝4﹣＝，
∴四边形ABCP的面积是；
（3）在直线l2上存在一点Q，使得以A，C，P，理由如下：
设P（m，6），﹣n+5），
又A（0，2），3），
①当PQ，AC为对角线时，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴Q（﹣2，4）；
②当PA，QC为对角线时，QC中点重合，
∴，
解得，
∴Q（10，﹣7）；
③当PC，QA为对角线时，QA中点重合，
∴，
解得，
∴Q（6，8），
综上所述，Q的坐标为（﹣2，﹣1）或（3．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
26．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，点D为BC边上的一个动点，以CD为边作等边△CDE，连接AE，将等边△CDE绕点C旋转．
（1）如图1，当点D在BC上，四边形ABDE是平行四边形时；
（2）如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，若B，D，E共线；
（3）如图3，在等边△CDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P，若，，求线段AP的长．
​
【分析】（1）可得出CD＝DE＝AB＝4，∠CDE＝60°，∠CFD＝90°，解直角三角形CDF求得结果；
（2）可得出∠BCE＝90°，∠CBE＝30°，∠ABE＝30°，解直角三角形BCE求得BE，解斜三角形ABE求得AE；
（3）将△DEP绕点D顺时针旋转60°至△DCG，连接FG，可得出DG＝DP，∠PDG＝60°，∠DGC＝∠DPE＝150°，CG＝EP＝2，从而得出△PDG是等边三角形，于是可求得PG＝DP＝，∠PGD＝60°，从而得出∠CGP＝∠DGC﹣∠PGD＝90°，从而求得CP，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝7，DE∥AB，
∴∠CFD＝∠BAC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE＝4，∠CDE＝60°，
∴DF＝CD•cos∠CDE＝4cos60°＝5；
（2）如图1，

作AG⊥BE于G，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝∠ECD＝60°，CD＝DE，
∵∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠DBC＝∠EDC﹣∠ACB＝60°﹣30°＝30°，∠BCE＝∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴BD＝CD，
在Rt△BCE中，BC＝8，
∴CE＝BC•tan∠CBD＝4•tan30°＝，
∴BE＝2CE＝，
∵∠ABG＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴AG＝AB＝7，
∴EG＝BE﹣BG＝，
∴AE＝＝；
（3）如图2，

将△DEP绕点D顺时针旋转60°至△DCG，连接FG，
∴DG＝DP，∠PDG＝60°，CG＝EP＝5，
∴△PDG是等边三角形，
∴PG＝DP＝，∠PGD＝60°，
∴∠CGP＝∠DGC﹣∠PGD＝150°﹣60°＝90°，
∴CP＝＝，
∵AC＝AB•tan∠ABC＝4tan60°＝4，
∴AP＝AC﹣CP＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题关键是利用旋转作辅助线．