新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A． B．3 C． D．
3．函数的定义域是（   ）
A． B． C． D．
4．如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（      ）

A． B． C． D．
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，则山高MN等于（    ）

A． B． C．200 D．
7．已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（    ）
A．9 B．3 C．4 D．
8．若奇函数的定义域为，且时，，则时，（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；
B．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；
C．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；
D．一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．
10．抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（    ）
A． B．
C． D．
11．下列四个命题中假命题是（    ）
A．， B．，
C．，使 D．，
12．函数的一个单调递减间为（   ）
A． B．
C． D．

三、填空题
13．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为
14．函数的零点为 ．
15．已知α为第三象限的角，且，则 ．
16．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则 ．

四、解答题
17．已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
18．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．

(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
19．已知不等式的解集为M.
(1)若2∈M，求实数a的取值范围；
(2)当M为空集时，求不等式＜2的解集.
20．已知、、是三角形的内角，、是方程的两根.
（1）求角.
（2）若，求.
21．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
  
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
22．若函数的最小值为，且它的图象经点和，且函数在上单调递增．
(1)求的解析式；
(2)若，求的值域．

参考答案：
1．B
【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合，集合，
可得.
故选：B.
2．D
【详解】,
,故选D.

3．B
【分析】根据根号下大于等于0，对数真数大于0，分母不等于0，列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意得解得即，
故定义域为
故选：B.
4．B
【分析】利用勾股定理可求得，可还原，由此可求得结果.
【详解】，，，，
则如图所示，

其中，，，.
故选：B.
5．B
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
6．A
【分析】在△ABC中，利用正弦定理求得，然后在△MAC中，利用正弦定理求得，然后在Rt△AMN中求出山高．
【详解】解：在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，
所以可得AC＝＝＝200，
在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝100，
在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM•sin∠MAN＝100×＝100；
故选：A．
7．A
【分析】如图所示，设点是内切球的球心，设内切球半径为，外接球半径为．由题可知，在Rt△中，，即，又，化简可得：，即可得出答案.
【详解】如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．

在Rt△中，，即，
又，可得，.
故选：A．
8．D
【分析】利用奇函数的性质即可求解.
【详解】设，则，
则，
因为函数为奇函数，所以，
即时.
故选：D
9．ABD
【分析】根据分层抽样的计算规则分析A选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD选项.
【详解】选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；
选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后.B正确；
选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，
方差.C错误；
选项D：，因为的平均数是5，所以，新平均数，又因为的方差是1，所以，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.
故选：ABD.
10．AB
【分析】利用古典概率模型求解即可.
【详解】由题可得基本事件有：


，
共有36个，
记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点，
则A正确；
两次的点数之和小于7，
事件包含的基本事件有：，，共15个，
，B正确，D错误，；
对于，事件包含的基本事件有：，
共3个，C错误.
故选:.
11．ABD
【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，所以A为假命题；
对于B中，当时，，所以B为假命题；
对于C中，当时，，所以C为真命题；
对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.
故选：ABD.
12．BC
【分析】先求出函数的单减区间为，对照选项一一验证.
【详解】由已知可得原函数可化为.
要求原函数的单调递减间，只需令，解得： ,
∴原函数的单调递减区间为.
依次给k赋值可得原函数的单调递减区间为
对照四个选项，只有B、C正确.
故选：BC
13．/
【分析】根据向量在向量上的投影向量为，由求解.
【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
即，
因为，
所以，
故答案为：
14．3
【分析】根据函数零点的定义列式求解即得答案.
【详解】令，得，解得，
所以函数的零点为3.
故答案为：3
15．
【分析】由平方关系求得，再由商数关系即可求得．
【详解】因为为第三象限的角，，
所以，
所以
故答案为：．
16．
【分析】设则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析得，即，进而可得、的值，结合余弦定理即可得结果．
【详解】在△中，设，则，又，
且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，

所以对，恒成立，即恒成立，只需即可，
所以，即，
又，则，，.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由不等式恒成立判断出，即可确定三角形各边的长度.
17．(1)或
(2)
(3)

【分析】（1）设，根据和列方程组求解即可；
（2）将向量坐标代入，再根据向量相等列方程组求解即可；
（3）求出，再根据向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】（1）设，
由，且，得
，解得或
或
（2），

，解得

（3）由已知，
又，
，
解得
18．(1)小吃类16家，玩具类4家；
(2)（i）中位数为342.9，平均数为352.5；
（2）128.

【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；
（2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可；
（ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.
【详解】（1），，
所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.
（2）（i）根据题意可得，解得，
设中位数为，因为，，所以，解得，
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.
（ii）,
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.
19．(1)a＞2
(2)(－∞，1)∪

【分析】（1）由已知2∈M可得，2满足已知不等式，代入即可求解；
（2）由M为空集，可求得a，然后代入解分式不等式即可求解.
【详解】（1）由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，
所以实数a的取值范围为；
（2）当M为空集，则，即；
所以，即
∴＜2，即＜2，
∴＞0，解得x＞或x＜1.
∴此不等式的解集为(－∞，1)∪.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可根据韦达定理得出，然后与联立，解得的值和的值，最后将的值代入中检验，即可得出结果；
（2）本题可通过同角三角函数关系将转化为，求出的值，然后通过即可得出结果.
【详解】（1）因为、是方程的两根，
所以，
因为，所以，
即，解得（舍去）或，或，
将或代入中易知当时不成立，
故.
（2），即，
，，解得或，
因为，所以，
故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查同角三角函数关系的应用，考查通过构造正、余弦齐次式解决三角函数问题，考查韦达定理的应用，在得出结果时要注意检验，考查计算能力，是中档题.
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明；
（3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
  
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，，

设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，

设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；
  
（3）法一：过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.
    
法二：平面的法向量为，
平面的法向量为，
所以，
因为，所以，
故二面角的正弦值为.
22．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，求得，由的图经过点，结合三角函数的性质，求得或，在结合函数在上单调递增，利用三角函数的性质，得到解析式为.
（2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】（1）根据题意，可得，即，
因为，所以，所以，
又由函数的图经过点，可得，
所以，解得
由，可得，
因为在上单调递增，则，
解得，所以
所以函数解析式为.
（2）由函数解析式为.
因为，可得，
当时，即时，函数取得最小值；
当时，即时，函数取得最大值；
所以函数的值域为.